2019中考数学第一轮复习导学案解直角三角形及其应用

1、解直角三角形及其应用课前热身1 .图1是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中 AR CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，/ABC=150 ,BC的长是8 F则乘电梯从点B到点C上升的高度h。50是（ ）ChD2019-2020 学年C. 4 掷 mD. 8 mA BE -图12 .如图2,长方体白长为15,宽为10,高为2 0 ,点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B,需要爬行的最短距离是（）A. 5 . 21 B. 25 C. 105 5 D. 353.如图3,先锋村准备在坡角为 口的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离

2、人8为（）A. 5 cos：B.C. 5sin :D.5cos工5sin工4.如图 4,在 Rt ABC 中，/ACB =90 , BC =1 , AB = 2 ,则下列结论正确的是（“、3A sin A = 2_ ,1B. tan A =-2 D 3C- cos B =2D. tan B = 35.如图5,在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为（A. 5m B . 6m C . 7m D . 8m【参考答案】1. BCE 一【解析】过点 B作直线 AB的垂线，垂足为 E,在 RtBCE中，s

3、in / CBE=J ,即BCh 1sin3 0 =h=1,所以h=4m.【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利82用已知锐角的正弦关系解答即可.本题还可以利用“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”来求解.2. B解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论53. B【解析】利用锐角三角函数解答，在以AB为斜边的直角三角形中，cos a =上，所AB以AB= 5 .【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系. cos 4. D【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知/ A=30° , / B=60°

4、 ,对照30。、60。的三角函数值选择正确答案.【点评】熟记特殊角30。、45。、60。的三角函数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出AC,然后根据锐角三角函数定义判断.5. A【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在这里设铅直高度为 h米，则有h:4=0.75 , h=3,利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离 为.3242 =5m.【点评】在理解坡度、坡面距离、水平距离等概念的基础上，通过直角三角形的知识来解答 .考点焦1 .掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点.2 . 了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题

5、转化为直角三角形问题时，？怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点.备考兵法正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，？工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键.注意：（1）准确理解几个概念：仰角，俯角；坡角；坡度；方位角.（2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形.（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，？从而转化为解直角三角形的问题.考点链接1 .解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些 2 .解直角三角形的类型 ：已知.;已知.3 .如图（1）解直角三角形的公式：（1）三边关系：.（2）角

6、关系：/ A+/ B= ,（3） 边系： sinA= , sinB=, cosA=cosB=, tanA= , tanB=4 .如图（2）仰,俯5 .如图（3）方向角：OA , OB , OC6 .如图（4）坡度：AB的坡度iAB=, / “叫_B北0西70O；， C 东D南B（图2）（图3）叫做解直角三角形.A- bf _. AC a B, OD ., tan a = i =.A ZU B C（图4）典例精析例1 （安徽省）长为4 m的梯子搭在墙上与地面成则梯子的顶端沿墙面升高了 m .45°角，作业时调整成60°角（如图所示），【答案】2（事初 （约0.64）.【解析】

7、涉及知识点有锐角三角函数的应用.4m的梯子、地面和墙高构成了直角三角形，当梯子搭在墙上与地面成 45。的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4Xsin45 ° =2 J2 ,当梯 子搭在墙上与地面成 60°的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4Xsin60 ° =2 J3 .则梯子的 顶端沿墙面升高了 2（/-&）（约0.64） m.【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形， 利用锐角三角函数或勾股定理解答即可 . 例2 （山东临沂）如图，A, B是公路l （l为东西走向）两旁的两个村庄， A村到公路l的 距离AC=1km B村到公路l的距离BD=2km B

8、村在A村的南偏东45°方向上.（1）求出A, B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站巳要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）.北【分析】（1）设AB与CD的交点为O,那么三角形 AOC BO迎两个等要直角三角形，根据A、B到公路的距离，利用勾股定理计算 AO BO进而计算AB的长度.或者以AB为斜边构造 直角三角形解答.（2）作AB的垂直平分线，与公路l的交点即为所求.【答案】解：（1）方法一：设 AB与CD的交点为O根据题意可得/A=/B=45°.ACO和 BDO都是等腰直角三，角形.

9、, AO = 42, BO = 2金.:.A B两村的距离为 AB =AO+BO = J2 + 2，2 = 3，2 (km).方法二：过点 B作直线l的平行线交 AC的延长线于E .易证四边形CDBE是矩形，:.CE =BD =2 .在 RtAAEB 中，由 /A=45° ,可得 BE =EA =3 .二 AB 73 +32 =372 （km）二A B两村的距离为3J2 km.（2）作图正确，痕迹清晰.作法：分别以点 A B为圆心，以大于 1AB的长为2半径作弧，两弧交于两点M, N,作直线MN ； 直线MN交l于点P ,点P即为所求.【点评】（1）点到线的距离是垂线短的长，所以图形

10、中就包含了直角三角形，然后利用勾股定理计算便是.本题也可以利用锐角三角函数计算 .（2） “到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”把握这个特征是找出确切位置的基础迎考精练、选择题1.（山东泰安）在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60。方向走了 5km到达B地，然后再沿北偏西 30。方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为D 5 3 .B.km3D.5.3km如图，小明要测量河内小岛B到河边公路A.10km3C. 5.2km2.（山东潍坊）l的距离，在 A点测得/BAD =30° ,在C点测得/BCD

11、=60° ,又测得AC =50米，则小岛B到公路l的距离为（）米.2题B. 253C.100 .33D. 25 2513、填空题1.（四川遂宁） 如图，已知 ABC中,AB=5cmi BC=12cm AC=13cm那么AC边上的中线 BD的长为 cm.2.（浙江宁波）如图，在坡屋顶的设计图中,AB = AC ,屋顶的宽度l为10米，坡角o（为A. 2535° ,则坡屋顶高度 h为 米.（结果精确到0.1米）3 .（湖南益阳）如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABCg直线BC平移得到 AB'C',使点B'与C重合，连结 A'B ,则tan/

12、A'BC'的值为4.（山东济南）如图，/AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos/ AOB 的值5 .（山东泰安） 如图，在 RtABC中，/ ACB=90 , / Av / B,沿 ABC的中线 CM将 CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与M丽直，则tanA的值为 6 .（湖南衡阳） 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2J5米，则这个坡面的坡度为7 .（湖北孝感）如图，角ot的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上，另一边 OA上有一点P (3, 4),贝U sin =O 12 3 4三、解答题1.（河南省）如图所示，电工李师傅借助梯子安

13、装天花板上距地面2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m.矩形面与地面所成的角”为78。.李师傅的身高为l.78m ,当他攀升到头顶距天花板0.050.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计 算判断他安装是否比较方便？（ 参考数据：sin78 ° =0.98, cos78° =0.21 , tan78 ° =4.70.）2 .（福建福州）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1） 用签字笔 画AD/ B

14、C （D为格点），连接CQ（2） 线段CD的长为 ;（3） 请你在4ACD的三个内角中任选一个锐角.，若你所选的锐角是 ,则它所对 应的正弦函数值是（4） 若E为BC中点，则tan / CAE的值是3 .（山东德州）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1: <3, AC= 10米.坡顶有一旗杆 BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带 AB相连，AB= 14米.试求旗杆BC的高度.8a4 .（浙江台州）如图，有一段斜坡 BC长为10米，坡角/CBD=12:为方便残疾人的轮 椅车通行，现准备把坡角降为(1)求坡高CD ;(2)求斜坡新起点 A与原起点B的距离(精确到 0.1米). C(第4题)5.(河

15、北省)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O,参考数据sin12° &0.21cos12° 电 0.98tan5° st 0.09直径AB是河底线，弦 CD12是水位线，CD/ AB,且 CD = 24 m , OaCD于点E.已测得 sin / DOE = 13(1)求半径OD(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干?6 .(江苏省)如图，在航线l的两侧分别有观测点 A和B,点A到航线l的距离为2km,点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处.现有一艘 轮船从位于点B南偏西76°方向的C

16、处，正沿该航线自西向东航行， 5min后该轮船行至点A的正北方向的 D处.(1)求观测点B到航线l的距离;(2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1km/h ).(参考数据: 我如 1.73, sin 76° - 0.97 ,cos76 "0.24, tan 76 ° = 4.01)O7 .（湖南娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE,张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端 A的仰角为50。，测得条幅底端 E的仰角为30。.问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（

17、参考数据：sin50 ° = 0.77 , cos50 ° = 0.64 , tan50 °= 1.20 , sin30 ° =0.50 , cos30 ° =0.87 , tan30 ° =0.58）8 .（山东烟台）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点 C,利用三角板测得雕塑顶端 A点的仰角为30°,底部B点的俯 角为45° ,小华在五楼找到一点 D,利用三角板测得 A点的俯角为60° （如图）.若已知CD为10米，请求出雕塑 AB的高度.（结果精确

18、到0.1米，参考数据73=1.73）. B9 .（山东济南）九年级三班小亮同学学习了 “测量物体高度” 一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点 A处安置测倾器，测得风筝 C的仰角/CBD =60 口；（2）根据手中剩余线的长度算出风筝线BC的长度为70米；（3）量出测倾器的高度 AB =1.5米.根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为 米.（精确到0.1米,73 定1.73）10 .（山东威海）如图，一巡逻艇航行至海面B处时，得知其正北方向上 C处一渔船发生故C处在A处的北偏东65障.已知港口 A处在B处的北偏西37：方向上，距B处20海里;方向上.求B,C

19、之间的距离（结果精确到0.1海里）.参考数据：sin37 ： 0.60,cos37" ： 0.80,tan37:0.75,sin 65> 0.91,cos65' ： 0.42,tan65： ： 2.14.11 .（广东省）如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB）,经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数据：用1.732,&1.414）AB12 .（湖

20、北襄樊）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我护航舰正在某小岛A北偏西45©并距该岛20海里的B处待命.位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东 60 1的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号.我护航舰接警后，立即沿 BC航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个位.参考数据：J2=1.4,J3 = 1.7）13 .（湖南长沙）校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动.如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然

21、后从A点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C处，测得B在点C的南偏西60。方向上，他们测得的湘江宽度是多 少米？（结果保留整数，参考数据：721.414, J3= 1.732）【参考答案】 选择题1. A【解析】此题考查了锐角三角函数的应用.由方位角可求得/ BAC=30 , / ABC=90 ,所以由/ BAC的余弦定义得cos30。=胆 = _5- = g ,所以AC151km .【点评】根据角度AC AC 23判断三角形的形状，再选择适当的关系式.2.【解析】过点B作BE垂直于AC,垂足为E,因为N BAD =30° , N BCD =60° ,所以/ ABC=/B

22、AD=30 ,贝U BC=AC=50在RtBCE中，sin Z BCD=BE ,所以小岛 B到公路l的距离BCBE=BC- sin Z BCD=50>< 3 = 25>/3 （米）.【点评】遇到非直角三角形的问题，通常最垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答填空题1. 13【解析】知识点：勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线性质.由52+122=1322知 ABC是直角三角形，AC是斜边，所以BD=1 AC=13cm.【点评】由数量关系判断三角形22的形状，这是数形结合思想的体现.学习时要注意把直角三角形所有的知识都归纳起来，从而达到综合运用知识的能力 .2.

23、 3.5【解析】知识点：等腰三角形三线合一的性质、坡角 a函数关系、计算器的操作.根据三线合一的性质可知，坡屋顶高度h把等腰三角形分成了两个全等的直角三角形，且有tan a = h ,所以h约为3.5米.【点评】利用三线合一的性质把等腰三角形转化为直角三5角形，利用相应的函数关系时解答.3. -【解析】由题意可知， ABC平移的距离是等腰直角三角形的斜边长，过点A'彳AD3LB' C于点D,设A' D为a,根据等腰三角形三线合一的性质则有BC=B C =2a,所以BD=3a,AD 1在RtA' BD中，tan/ABC = .【点评】准确地构造直角三角形是解答此题

24、的关IT4. _25. 【解析】本题所考查的知识点有轴对称、直角三角形斜边的中线性质、等边对等角、3同角的余角相等、30°的正切函数值.由CM是Rt ABC斜边的中线可得 CM=AM则/A=/ACM 由折叠可知/ ACM= DCM 又/ A+Z B=Z BCD吆 B=90° ,则/ A = Z BCD 所以/ A=/ ACM=3/DCMW BCD=30 ,因此tanA=tan30 =-.【点评】把直角二角形与等腰二角形结合起来，根据折叠的不变性转化角与角之间的关系，求出角的大小，函数值即可跃然纸上.6. 1:2【解析】如图，由题意得直角三角形ABC AB=10米，AC=2j

25、5米，由勾股定理得BC=4<5米，坡度为 绰 =14、5 27. 4（或0.8）【解析】根据点5P的坐标利用勾股定理可以求得OP=；32 +42 =5.所以a的对边sin =斜边解答题1.【解析】过点A作AELBC于点E,过点D作DFL BC于点F,利用三角函数计算 AE、DF, 结合电工身高计算其头顶到天花板的距离在0.050.20m范围内即可判断安装方便；否则，不方便.【答案】解：过点 A作AE± BC于点E,过点D作DH BC于点F.,.AB=AC, .CE=1BC=0.5.2.0 AE在 RtABC RtDFC中，tan78 0=,EC.AE=EC tan78 0 期0

26、.5 X 4.70=2.35.AEACDFDCDF= DC - AE=3 X AEz 1.007 . AC 7李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为:1.007+1.78=2.787头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787%0.11 . 0.05 <0.11 <0.20 ,它安装比较方便.【点评】将等腰三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题2.【解析】按要求作图，因图中的三角形是格点三角形，所以线段的计算要用它与网格线【答案】(1)如图;(2) B,构成的直角三角形，通过勾股定理计算，然后计算有关锐角的函数值(3) / CAD 空(或/ADC 25) 55

27、(4)【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础.3.【解析】BC所在的三角形是斜三角形，所以它的高度无法直接求得，我们可以过点AD的垂线，结合坡比这个条件计算CE AE,再1f算BE,从而通过BE、CE的差求BC.【答案】解：延长 BC交AD于E点，则CE! AD.DE在 RtAEC中，AC= 10, 由坡比为 1： J3可知：/ CAE= 30° ,CE = AC sin30 ° = 10X 1 = 5,2AE= AC- cos30 ° = 10X5曲 .2在 RtABE中，BE= Jab2 AE2 = 0142 -(5石)2 =11

28、. BE=BC+ CE,BC=BE CE= 11-5=6 (米).答：旗杆的高度为 6米.线段的长【点评】过合适的点作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理计算4 .【解析】在 RtBCD中，利用/ CBD勺正弦计算 CD利用/ CBD勺余弦计算BR在Rt ACD,利用/ A的正切计算 AD, AD与BD的差则是A、B的距离.【答案】解：（1）在 RtABCD 中，CD=BCsin12。定 10x0.21 = 2.1 （米）.（2）在 R3BCD 中，BD = BCcos12。电 10x0.98 = 9.8 （米）；CD2.1在 RtAACD 中，AD = 2 2 23.33 （米），

29、tan50.09AB =AD -BD *23.339.8=13.53 球 13.5 （米）.答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米.【点评】这是一道锐角三角函数的应用题，结合图形和已知条件， 选择合适的函数关系式计算线段的长度.5 .【解析】根据垂径定理可知DE的长度，在 RtADOE,禾1J用/ DOE的正弦求半径 OD再利用勾股定理计算 OE然后结合水面下BI的速度得时间.【答案】解：(1) . OEL CD于点E, CD=24ED = 1CD =12.2在 RtDOE中，. sin /DOE =ED OD1213.OD =13( m). OE= od2 -ED2=J132

30、 -122 = 5 .将水排干需：5+0.5=10 （小时）.【点评】在直角三角形中，已知一边和与它相关的函数关系式时用函数关系计算另一边，当知道两条边长时，则用勾股定理计算第三边.6.【解析】在 RtOAD中，利用/ A的余弦关系求 OA便知OB的长度，然后在 RtABOE 中利用/ OBE勺余弦关系求 BE;在RtOAD Rt BOEiJ用60°的正切关系求出 OD OE, 便得DE,利用路程和时间求速度.【答案】解：(1)设AB与l交于点O .AD在 RtzXAOD 中，NOAD=60 , AD =2, OA=。=4 .cos60又 AB =10,，OB = AB -OA =6

31、 .在 RtBOE 中，/OBE =NOAD =60°,. BE =OB|_cos60° =3 (km).二观测点B到航线l的距离为3km.(2)在 RtzXAOD 中，OD = ADJtan60° =2褥.在 RtBOE 中，OE =BEan60° =34.:.DE =OD+OE=5技在 RtACBE 中，/CBE =76°, BE =3,. CE =BEtan/CBE =3tan 76° .二 CD =CE - DE =3tan76 ° -573 = 3.38 . .1.CD ,5min =h ,.=12CD =12父3

32、.38 = 40.6 (km/h).12112答：该轮船航行的速度约为 40.6km/h【点评】根据已知的边和角，在相应的直角三角形中选择三角函数关系式计算线段的长度即距离.7.【解析】过 D点作DF, AB于F点，DF的长度便是张明同学是在离该单位办公楼水平距离.【答案】解：方法一：过 D点作DF, AB于F点在 RtDEF中，设 EF=x,贝U DF=73 x在 RtADF 中，tan50 ° = 30 +x 1.204 分. 3x30+x=73xX 1.20x=27.8DF=Qx= 48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的方法二：过点 D作DF，AB于F点在 RHDEF

33、中，EF=FD- tan30 °在 RtMFD中,AF=FD- tan30 ° AE+EF=AF30+FDtan30 ° =FD- tan50 ° Fg 48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的【点评】作垂线构造直角三角形，根据锐角三角函数直接或间接计算所要求的距离8 .【解析】过点C作CE，AB于E则AB被分为AE、计算即可.【答案】解：过点 C作CE，AB于E .；'/D =90° -600=30°, /ACD =90 -30° =60° , ：,£ CAD =90° .1,

34、CD =10, AC = CD =5.2在 RtAACE 中，5 AE =ACLsin/ACE =5_Sin30 =,2CE = AC Los/ACE =5Jcos30。=出，2在 RtABCE 中，；/BCE =45。,二 BE =CEl_tan45。=43,2AB =AE +BE =5 +5石=5（百十 1）=6.8 （米） 2 22所以，雕塑AB的高度约为6.8米.【点评】利用已知角度判断三角形的形状一一直角三角形，角三角函数关系把未知转化为已知，步步为营，水到渠成BE两部分，在相应的直角三角形中作垂线构造直角三角形， 通过锐9 .【解析】首先利用三角函数关系计算DC的长度，加上侧倾器的高度 AB,便得风筝的高度CE.【答案】解：在 RtCBD中,sin60 ° =理=*=三3,BC 702.,.CD=35V'3 60.55 . CE=CD+DE=CD+AB62.1 （米）答：风筝的高度CE约为62.1米.【点评】把实际问题转化为数学问题一一直角三角形，这是锐角三角函数的应用10.【解析】过点