2017高考数学(理)二轮专题复习专题能力提升练(五)Word版含解析

1、专题能力提升练（五）圆锥曲线一、选择题（每小题5分）1 .过点（5,2）且在y轴上截距是x轴 上截距的2倍的直线方程是（）A. 2x + y12=0B. 5x10y+12=0C. 2x+y12=0 或 2x5y=0D. x2y9=0 或 2x5y=0解析：设直线在x轴上截距为a,则 在y轴上截距为2a,若a=0,得直线方程是2x5y=0;若aw0,则方程为a丈=1,又直线过点（5,2）,得a=6,得直 2a线方程是2x+y12=0.答案：CE. 已知命题p： 4<r<7,命题q：圆 （x3）2+（y+5）2=r2（r>0）上恰好有 2 个 点到直线4x3y2=0的距离等于1,

2、 则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为圆心(3, 5)到直线4x 3y2=0的距离等于5,所以当圆(x 3)2+(y+5)2=r2(r>0)上恰好有 2 个点 到直线4x3y2=0的距离等于1时， 4<r<6.所以p是q的必要不充分条件.答案：B3.已知直线11过直线12： x+ 2y=0 与& 2x+2y1 = 0的交点，与圆x2 + y2+2y=0相切，则直线li的方程是 ()A. 3x + 4y1 = 0B. 3x+ 4y+9=0«g x= 1C. 3x+ 4y+9=0D. 3x + 4y1

3、= 0 或 x=1解析：将过直线 -x+2y=0与13： 2x+ 2y1 = 0的交点的直线系设为(x+ 2y)+ *2x+2y1)=0(*),即(1 + 2姒+ (2+2»y 入=0 , 由相切得| 2 2斗r=2 不=2: 1)角牛得 入=虫) 4(1 + 2"+(2+2 /'代入(*)式，整理得选D.答案：D4.若圆 C: x2 + y2+2x4y+3=0 关于直线2ax+by+6 = 0对称，则由点 M(a, b)向圆所作的切线长的最小值是 ()A. 2 B. 3C. 4 D. 6解析：由题意知直线2ax+by+6 = 0过圆心C( 1,2),则ab3=0,

4、当点M(a)b)到圆心的距离最小时)切线长最|MC| : Ma+1）2 +（b 2）2a+26,当 a=2时最小，此时b1,切线长等于4.答案：C5.已知宜线 x+yk=0(k>0)与圆 x2+y2=4交于不同的两点A, B, O是坐 标原点，且有|OA-卜曲|AB|,那么k3的取值范围是A.他,+8)B.也 +8)C.五2的D.点2/)、3解析：当 |OA+ OB| = 七|AB|时，A,3B, O三点为等腰三角形的三个顶点，其 中|OA|=|OB|, /AOB=120°,从而圆心O到宜线x+ yk=0(k>0)的距离为1,此时，k=/；当 k>42时，|OA+

5、OB| |AB|,又宜线与圆x2+y2 = 4存在两交点, 故k<2也.综上，k的取值范围为，2, 2也).答案：C226.已知方程产二十>=1表示|m| 1 2 m焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为()3A；-00, 2 B. (1,2)C.( x, 0)U(1,2) D( x, 3T)叩2解析：依题意得不等式组|m| 1>0 2m>03)解得 m< 1 或 1<m<2B.D.解析：设P(x。，y°),根据题意知xo2m>|m| 1答案：D7 .已知焦点在x轴上的椭圆的离心.1率为1,设椭圆与抛物线y2=4x的交点P 3到点F(1,

6、0)的距离为5,则椭圆的标准方程为()A+ C.5 +(T) = 2,所以 X0=3,代入 y2=4x,得y0=*反所以P13，亚由椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆方程为1(a>b>0),a= 3 b=2 2,I ,c= 12+ yT = 1.9 46 d”已1则c 1a3a2=b2+c2所以椭圆的标准方程为X9答案:8 .过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A, B两点，若线段AF, BF的长分别为m, n,则等 m+ n于()11A2a B.4aaC 2a D.41,解析：设宜线方程为y=kx+7)与 4ay= ax2联立消去y得ax2kx4 = 0,设

7、 4aA(xi, ax1), B(x2, ax2),则xi 十 x2=a，XlX2 =春 m=ax2 +21rztr= ax2+丁)可得 mn4a't3 m4a a a 'k2 1mn 1a'm+ n 4a.答案：B229 .设F为双曲线C:争一b2=1(a>0, b>0)的右焦点，过点F且斜率为一1的直 线l与双曲线C的两条渐近线分别交于 A, B两点，若A为线段BF的中点，则 双曲线C的离心率e=()A. 10 B. 2c 10 CC. 3 D.5 2解析：由题意知，直线l的方程为y= 一(xc)=(xc),解方程组 b,1y = ax得AMl，解方程组

8、b y axBla3b,bca- b'因为A为线段BF的中点，所以2aca+ b-aca bc,即 b=3a,所以 e2 =c2 a2 + b22=2a a= 1 + 9=10,所以 e=Vl0.答案：A10.与抛物线22双曲线1x6= 1y2= 2x相切，且与 的渐近线平行的直线A.32Ty=4x3 或y= -4x+ 3B.C.D.23f 32y=3x-4y=-4x+332f23y=4x-»=-3x+423f23y=3x-4或 y= 3x+ 422解析：双曲线y2=1的渐近线为916y=电，设所求直线的方程为v=奉m.把y= 4x+ m代入抛物线y2= - 2x,得16x2

9、+j3m+ 2，x+ m2=0,由= >3m + 2j2 4x；96m2=0,得m= 2,所以切线方.32 .3程为y=4x3;把y= 4x+m代入抛物 线 y2= 2x,得x2吃2b+m2=0, 由= *一212 4x 16m2= 0,得 m=3,32所以切线方程为y= 4x+3.综上，切线 方程为y=3x 2或y=一务+ 2.4343答案：A二、填空题(每小题5分)11 .直线 x-ky+1 = 0 与圆 O: x2 + y2=4相交于两点A、B,则动弦AB中 点M的轨迹方程是.解析：设动点M的坐标为(x, y), 易知直线恒过定点P( 1,0),由垂径定理可得OM±PM,

10、故OM PM = x(x+ 1) + y2 =0,即1x+12+y2=1.答案：x+2'2+y2=412 .两条互相垂直的直线 2x+ y+2 =0和ax+4y 2 = 0的交点为P,若圆C 过点P和点M( 3, 2),且圆心C在直 1. 线y = 2x上，则圆 C的标准万程为解析：由 2x+y+2= 0 和 ax+ 4y2 =0垂直得2a+ 4= 0,故a= 2,代入 直线方程，联立解得交点坐标为 P(- 1,0),易求得线段MP的垂直平分线l的 方程为xy+3=0.设圆C的标准方程为 (xa)2+(yb)2= r2(r>0),则圆心(a, b)1为直线l和直线y=2x的交点，

11、联立xy+3=0<1，解得圆心C的坐标为(一y=2x6, 3),从而解得r2= 34,所以圆C的 标准方程为(x+6)2+(y+3)2=34.答案：(x+6)2+(y+3)2=3413.过抛物线x2=4y上一点M(x0, y0)(x0>0)作抛物线的切线与抛物线的准 线交于点N(x1, y0,则x° x1的最小值 为.解析：由x2=4y,得y=4x2,则y'1 一，= 2x,抛物线的准线方程为y=1.因为 点M(x0, yo)是抛物线x2 = 4y上一点，所以y0=1x2,且过点M的抛物线的切线的八一 11斜率k=2xo,切线方程为yyo=5xo(x一一 1 2

12、14x0),即 y4x0=2x0(x x0), 令 y= - 1,人 12112一得 x1 = 2x0x，所以 x。一x1 = 2x0 + q>2, 所以x0x1的最小值为2.答案：214 .在平面宜角坐标系中，点 P为2椭圆:+y2=1上的一个动点，则点P到3直线xy+6=0的最大距离为解析：设直线xy+a = 0与椭圆相xy+a=0切，则方程组jx?+y2_1有唯一解，消去 x,得 4y22ay+a23 = 0, = 4a216(a23)=0,解得a=9 所以直线xyd2=0与椭圆相切，所以点P到直线x y+6=0的最大距离为宜线 x y2=0与宜线x-y+6 = 0间的距离,最大距

13、离为二=4 2答案：4 215 .过双曲线X2 2=1左焦点F的 3直线交双曲线于A, B两点，若|AB|=3, 则4AOB的面积为.解析：根据题意知，直线AB的斜率 存在，设为k, F( 2,0),则直线AB的 方程为y=k(X+ 2),代入双曲线方程X2 2-y = 1,得 3x2k2(X+ 2)23=0,即(3 -k2)X2-4k2X- 4k2- 一3 = 0.设 A(xi, y。.B(X2)丫2),贝U Xi + X2 =-4kL4k2+33k2，XiX2 k2-3 J,、2(Xi X2)=4k2 十 3/、2/(Xi + X2) 4XiX236(k2+1)"73 = 773

14、324k2 2=13,所以|AB|M 1 + k2）（ Xi X2）2 =6（k2+ 1|k2-3|3,解得,所以直线AB的方程为v=道32),原点到宜线 AB的距离为 d =解答题(第16,17,18,19题每题1 了= 1 ,所以4AOB的面积为112 x 3X 1=3., 3答案：212分，第20题13分，第21题14分)16.过平面内M点的光线经x轴反 射后与圆C: *2+(丫2)2=2相切于A, B两点.(1)若M点的坐标为(5,1),求反射光 线所在直线的方程；3 14(2)若|AB|= 4 ,求动点M的轨迹方程.解：(1)由光的反射原理知，反射光 线所在直线必过点(5, 1),设

15、反射光线 所在直线的斜率为k,则此直线方程可以 设为 y+1 = k(x5),即 kx y5k1 = 0(*) .又反射光线与圆C: x2+(y2)2=2相切，所以|-2-5k- 1|2,解得k=-1或I，代入(*)化简整理，得反射 23光线所在直线的方程为x+y4 = 0或7x + 23y12=0.(2)设动点M的坐标为(x, y)(y>0), 则反射光线所在直线必过点 M关于x轴 的对称点Q(x, -y),设动弦AB的中点 为 P ,则 |AP| = 3乎，故 |CP| = 即 x2+(y+2)2=128(y>0).由射影定理3 14 2217.已知直线 li： mx y=0,

16、 I2： x - my 2m 2 0.(1)证明：m取任意实数时，l1和l2 的交点总在一个定圆C上；(2)直线AB与(1)中的圆C相交于A, B两点，、，一11 一八 ，一若弦AB被点P1, *平分，求直 线AB的方程.若直线AB经过定点(2,3),求使 ABC的面积取得最大值时的直线 AB的 方程.解：(1)设11和12的交点坐标为(x,V),则有mx y= 0lx+ my 2m2 = 0 '消去m得，x2-V 2x 2y =0）即(x1)2+(y1)2=2,所以 li 和 I2 的交点 总在圆心坐标为(1,1),半径为亚的圆上.(2)当弦AB被点P，1平分时，1一一 1 2 ,一

17、CPXAB,因为 kcP=-1=1,所以 kAB1 11 2=1,由点斜式方程，得直线 AB的方1 1_程为 y2=2,即 x+ y1 = 0.当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=2,可求得|AB|=2, $abc 1=2x 2X1 = 1；当宜线AB的斜率存在 时，设直线AB的方程为y3=k(x2), 即kx-y+32k= 0,则圆心C到直线 AB的二天/=3 又S ABC 2dX242-d2 =寸 2d2-d4 =一3一=1)即k= 4时) ABC面积取得最大值1,此时，直线AB的方程为y3 = 4(x2),即 3x4y+6 = 0.综上所求直线AB的方程为x=2或 3x- 4y

18、+6=0.x218.已知抛物线D的顶点是椭圆-4 + ?= 1的中心，焦点与椭圆的右焦点重 合.(1)求抛物线D的方程；(2)已知动直线l过点P(4,0),交抛物 线D于A, B两点.是否存在垂直于 x 轴的直线m被以AP为直径的圆M所截 得的弦长恒为定值？如果存在，求出 m 的方程；如果不存在，说明理由.解：(1)由题意，可设抛物线D的方 程为 y2=2px(p>0).由43=1,得抛物线的焦点为 (1,0),，p=2.抛物线D的方程为y2= 4x.(2)设A(x1，y”,假设存在直线m： x=a满足题意，则圆心Mix 一A/、 z、上 1y 4 X+4）a（xa, ya）, b（xb

19、, yB）.由，4,空，过 M作直线x= a的垂线，垂足为E,设直 线m与圆M的一个交点为G.则|EG|2= |MG|2一|ME|2,即 |EG|2 = |MA|2 |ME|2 = (xi-4)2 + y2fxi + 4121 24一 丁a = 4y 1 十 ,2,2(Xi 4)(Xi + 4)24+ a(xi + 4) a = Xi 4xi + a(xi + 4) a2= (a 3)xi + 4aa2.当a=3时，|EG|2=3,此时直线m 被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒 为定值2吸.因此存在直线m： x= 3满足题意.i9.已知双曲线G的中心在原点， 它的渐近线与圆x2+y2-i0x+

20、 20=0相 切.过点P( 4,0)作斜率为4的直线I, 使得直线I和双曲线G交于A, B两点， 和y轴交于点C,并且点P在线段AB上， |FA| |PB|=|PC|2.(1)求双曲线G的方程；(2)椭圆S的中心在原点，焦点在y 轴上，它的短轴是G的实轴.如果S中 垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是 G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S 的方程.解：(1)设双曲线G的渐近线的方程 为y=kx,则由已知可得 <5k 1 =V5,所 以k= 4 即双曲线g的渐近线的方程为y=设双曲线G的方程为x1 2 3 4y2 =m.所以(XpXA)(XB Xp)=(Xp Xc)2,整 理得：4(Xa+ X

21、b) + xaXb+32=0,将(*)代 入上式，解得：m= 28.22所以双曲线G的方程为280=1.22(2)由题可设椭圆S的方程为：28+学 28 a=i(a>25),弦的两个端点分别为M(xi, yi), N(X2, y2), MN 的中点为 Q(xo, yo),fX_ ,28 由22822=a2 +a2二1Xi X2 Xi + X2(yi y2)(yi 十 y2)0,因为"2=4)Xi + X2 = 2xo)yiy2 2yo,所以啜竽=。，28 a '所以S中垂宜于l的平行弦的中点的轨迹为宜线2-4y= 0 28 a部分.又这个轨迹恰好是截在椭圆S内的S内的部

22、分，所以G的渐近线截在1112= 2'22所以a2=56,椭圆S的方程为28+56=1.22b2=1(a>b>0)的离心率e=兴 且过点-3,2.20.已知椭圆C: x2+ a(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A, B两点(A, B不是椭圆C的顶点).点D 在椭圆C上，且ADLAB,直线BD与x 轴交于点M,在第一象限内是否存在 A 点，使得AM与椭圆相切？若存在，求 出A点的坐标；若不存在，说明理由.一3 ，1,一，解：(1)由e=彳3,得a=2b,把点r l 1)、/3)2瓜 1代入椭圆方程可得：-z-22b y22X1? b=1,所以椭圆C的方程为4

23、 + =1.(2)假设存在 A(X1, y1)(X1>0, y1>0),则B( X1,一力)，宜线AB的斜率kAB=y1,X1又AB，AD,所以直线X1y'设直线AD的方程为AD的斜率ky= kx+ m, mw0)由X2'4+ y2= 1,可得(1 + 4k2)x2D(X2, y2),由题意知 kw0, y= kX+ mmkx+ 4m24= 0.所以 Xi + X2= 一mk= k(xi + x2)+2m=1+402m因此yi + y21 + 4k2'由题意知,X1，x2,所以丘=雅 _ 1 _ yi= JyL4xi4k-4xf所以直线BD的方程为y+yi+

24、 x3令 y=0,得 x= 3xi,即 M(3xi,0), 可得kAM=兴1".设过点A的直线l:2X1y=tx+p与椭圆相切)则把y=tx+p代A x入4+y21,得(1 +4t2)x2+8ptx+4P2 4 =0有两个相等实根，所以 A=(8pt)2 4X4(p21)(1+4t2) = 0,所以 4t2=p2 1.又方程的解为x1,即x1 =y1 p=1,所以t=廿.p4y1若AM是椭圆的切线，则x)即 x2 = 2y2)x12又因为m+ y2= 1,所以 x2= 4, y2=3，所以xi = *, yi=者,所以在第一 33象限内存在点A呼，审,使得AM与 33椭圆相切.221.已