上海市宝山区2016届高考数学一模试卷(解析版)

1、2016年上海市宝山区高考数学一模试卷一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1方程4x2x6=0的解为2已知：（i是虚数单位 ），则z=3以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y35=0相切的圆的方程是4数列所有项的和为5已知矩阵A=，B=，AB=，则x+y=6等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为7若（x）9的展开式中x3的系数是84，则a=8抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于9已知，t0，函数的最小正周期为2，将f（x）的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函

2、数，则t的最小值为10两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是11向量，满足，与的夹角为60°，则=12数列，则是该数列的第项13已知直线（1a）x+（a+1）y4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是14如图，已知抛物线y2=x及两点A1（0，y1）和A2（0，y2），其中y1y20过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3（0，y3），此时就称A1，A2确定了A3依此类推，

3、可由A2，A3确定A4，记An（0，yn），n=1，2，3，给出下列三个结论：数列yn是递减数列；对nN*，yn0；若y1=4，y2=3，则其中，所有正确结论的序号是二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分15如图，该程序运行后输出的结果为（）A1B2C4D1616P是ABC所在平面内一点，若，其中R，则P点一定在（）AABC内部BAC边所在直线上CAB边所在直线上DBC边所在直线上17若a，b是异面直线，则下列命题中的假命题为（

4、）A过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面与直线b平行B过直线a至多可以作一个平面与直线b垂直C唯一存在一个平面与直线a、b等距D可能存在平面与直线a、b都垂直18王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位）网络月租费本地话费长途话费甲：联通13012元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算（）A300秒B400秒C500秒D600秒三解答题（本

5、大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内19在三棱锥PABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥PABC的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）20设a、b、c分别是ABC三个内角A、B、C的对边，若向量，且，（1）求tanAtanB的值；（2）求的最大值21某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发

6、放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列an，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列bn，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=a4=b1=2b2=b3= b4=（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称（1）若已知，M为椭圆上动点，证明：；（2）求实数m的取值范围；（3）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）23已知函数f（x）=logkx（k为常数，k0且k1），且数列f（an）是

7、首项为4，公差为2的等差数列（1）求证：数列an是等比数列；（2）若bn=an+f（an），当时，求数列bn的前n项和Sn的最小值；（3）若cn=anlgan，问是否存在实数k，使得cn是递增数列？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由2016年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1方程4x2x6=0的解为log23【考点】指数式与对数式的互化；二次函数的性质【专题】计算题【分析】由4x2x6=0，得（2x）22x6=0，由此能求出方程4x2x6=0的解【解答】解：由4x2x6=0，

8、得（2x）22x6=0，解得2x=3，或2x=2（舍去），x=log23故答案为：log23【点评】本题考查指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化2已知：（i是虚数单位 ），则z=34i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再求其共轭复数得答案【解答】解：由，得：，z=34i故答案为：34i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础的计算题3以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y35=0相切的圆的方程是（x1）2+（y2）2=25【考点】圆的标

9、准方程；直线与圆的位置关系【专题】计算题【分析】先求圆心到直线4x+3y35=0的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程【解答】解：以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y35=0相切，圆心到直线的距离等于半径，即：所求圆的标准方程：（x1）2+（y2）2=25故答案为：（x1）2+（y2）2=25【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切，是基础题4数列所有项的和为2【考点】等比数列的前n项和【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】先求出数列前n项和，再求出前n项和的极限，从而求出结果【解答】解：数列前n项和：Sn=21（）n，数列所有项的和为：S=2故答案为：2

10、【点评】本题考查等比数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用5已知矩阵A=，B=，AB=，则x+y=8【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换【分析】利用矩阵乘法法则求解【解答】解：矩阵A=，B=，AB=，AB=，解得x=5，y=3，x+y=8故答案为：8【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意矩阵乘法法则的合理运用6等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何【分析】直角边长为1的等腰直角三角形

11、，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案【解答】解：直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，故该几何体的体积V=2××=故答案为：【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，难度不大，属于基础题7若（x）9的展开式中x3的系数是84，则a=1【考点】二项式系数的性质【专题】计算题【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得【解答】解：展开式的通项为=（a）rC9rx92r令92r=3得r=3展开式中x3的

12、系数是C93（a）3=84a3=84，a=1故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法8抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】写出抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线方程是解决本题的关键，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积【解答】解：抛物线y2=12x的准线为x=3，双曲线的两条渐近线方程分别为：y=x，y=x，这三条直线构成边长为2的等边三角形，因此，所求三角形面积等于×2×2×sin60&#

13、176;=故答案为：【点评】本题考查三角形形状的确定和面积的求解，考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考查学生直线方程的书写，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基本题型9已知，t0，函数的最小正周期为2，将f（x）的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；二阶矩阵【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质【分析】由题意得到函数解析式，利用辅助角公式化积后结合周期求得，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合平移后的函数为偶函数求出t的取值集合得答案【解答】解：

14、 =f（x）的最小正周期为2，得=1将f（x）的图象向左平移t个单位，得f（x+t）=函数f（x+t）为偶函数，则t=取k=0时，t的最小值为故答案为：【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象平移，训练了函数奇偶性的求法，是中档题10两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是48【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】计算题【分析】只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达再分奥迪车上没有小孩、奥迪车上有一个小孩、奥迪车上有2个小孩这三种情况，分别求得乘车的

15、方法数，相加即得所求【解答】解：只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达若奥迪车上没有小孩，则有=10种方法；若奥迪车上有一个小孩，则有=28种；若奥迪车上有两个小孩，则有=10种综上，不同的乘车方法种数为10+28+10=48种，故答案为 48【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题11向量，满足，与的夹角为60°，则=【考点】平面向量数量积的运算【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用【分析】求出，对两边平方，解出|【解答】解： =|×=|，（）2=2+=1|+|2=解得|=故答案为：【点评】本题考查了平面向量的数量积运

16、算，是基础题12数列，则是该数列的第128项【考点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性【专题】等差数列与等比数列【分析】该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，由此可知：分子、分母之和为16的有15项而分子、分母之和为17的有16项，排列顺序为：，；即可得出是分子、分母之和为17的第8项【解答】解：观察数列，该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，分子、分母之和为16的有15项而分子、分母之和为17的有16项，排列顺序为：，；其中是分子、分母之和为17的第8项；故共有项故答案为128【点评】本题考查了通过观察所

17、要解决的提问转化为利用等差数列的前n项和公式解决，属于中档题13已知直线（1a）x+（a+1）y4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是3，+）【考点】恒过定点的直线；直线的斜率【专题】直线与圆【分析】直线方程即 x+y4+a（x+y4）=0，由，求得定点P的坐标，设点Q（m，m+），m0，则PQ连线的斜率为为=3，再利用二次函数的性质求得它的范围【解答】解：已知直线（1a）x+（a+1）y4（a+1）=0即 x+y4+a（x+y4）=0，由，解得，故定点P的坐标为（0，4）设点Q（m，m+），m0，则PQ连线的斜率为=1+=33，故PQ连线的

18、斜率的取值范围为3，+），故答案为3，+）【点评】本题主要考查直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题14如图，已知抛物线y2=x及两点A1（0，y1）和A2（0，y2），其中y1y20过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3（0，y3），此时就称A1，A2确定了A3依此类推，可由A2，A3确定A4，记An（0，yn），n=1，2，3，给出下列三个结论：数列yn是递减数列；对nN*，yn0；若y1=4，y2=3，则其中，所有正确结论的序号是【考点】数列与解析几何的综合【专题】计算题；压轴题【分析】先确定直线Bn1Bn2的方程，求

19、得，由此即可得到结论【解答】解：由题意，Bn1（），Bn2（），则直线Bn1Bn2的方程为令x=0，则，y1y20，yn0，故正确；，ynyn1，故正确；若y1=4，y2=3，则，y4=，故正确故答案为：【点评】本题考查数列与解析几何的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分15如图，该程序运行后输出的结果为（）A1B2C4D16【考点】程序框图【专题】计算题；图表型【分析】由题意可得：

20、a=13，b=2，a=1+1=2；a=23，b=4，a=2+1=3；a=33，b=16，a=3+1=4；进而程序结束得到答案【解答】解：由题意可得：a=13，b=2，a=1+1=2；a=23，b=4，a=2+1=3；a=33，b=16，a=3+1=4；因为a=43不成立，所以输出b的数值为16故选D【点评】本题考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法16P是ABC所在平面内一点，若，其中R，则P点一定在（）AABC内部BAC边所在直线上CAB边所在直线上DBC边所在直线上【考点】向量在几何中的应用【专题】平面向量及应用【分析】根据，代入，根据共线定理可知与共线，从而可

21、确定P点一定在AC边所在直线上【解答】解：，=，则，即与共线，P点一定在AC边所在直线上，故选B【点评】本题主要考查向量的共线定理，要证明三点共线时一般转化为证明向量的共线问题属于中档题17若a，b是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面与直线b平行B过直线a至多可以作一个平面与直线b垂直C唯一存在一个平面与直线a、b等距D可能存在平面与直线a、b都垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】在A中，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面平行于b；在B中，只有a、b垂直时才能作出一个平面与直线b

22、垂直；在C中，由唯一性定理得唯一存在一个平面与直线a、b等距；在D中：若存在平面与直线a、b都垂直，则ab【解答】解：由a，b是异面直线，知：在A中：a，b是两异面直线，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面，因此经过直线a只能作出1个平面平行于b，故A正确；在B中：只有a、b垂直时才能作出一个平面与直线b垂直，否则过直线a不可以作一个平面与直线b垂直，故B正确；在C中：由唯一性定理得唯一存在一个平面与直线a、b等距，故C正确；在D中：若存在平面与直线a、b都垂直，则直线与平面垂直的性质定理得ab，故D错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面

23、、面面间的位置关系的合理运用18王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位）网络月租费本地话费长途话费甲：联通13012元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算（）A300秒B400秒C500秒D600秒【考点】函数与方程的综合运用；函数的值；分段函数的应用【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用【分析】根据每月的通话时间和甲方式的收费标准，可知所

24、需花费=月租费+本地话费+长途话费，可求所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式；将乙方式所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式求出，将两个式子进行比较，可得出较为省钱的入网方式【解答】解：每月接打本地电话的时间是接打长途电话的5倍，王先生每月拨打长途电话时间为x（分钟），他所需话费y（元），联通130他所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式为y=12+0.36×5x+3.6x（x0）；移动“神州行”他所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式为：y=0.6×5x+4.2x，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算，可得：12+0.

25、36×5x+3.6x0.6×5x+4.2x，解得：x（分钟）=400秒故选：B【点评】本题主要是应用数学模型来解决实际问题，考查一次函数的应用三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内19在三棱锥PABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥PABC的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角【分析】由三棱锥PABC的体积为20，得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，则AQD

26、为异面直线PB，AQ所成的角，由此能求出异面直线PB，AQ所成的角【解答】解：在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥PABC的体积为20，解得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，则AQD为异面直线PB，AQ所成的角，DA=5，QD平面PAC，QDAD，tanAQD=2，异面直线PB，AQ所成的角为arctan2【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间能力的培养20设a、b、c分别是ABC三个内角A、B、C的对边，若向量，且，（1）求tanAtanB的值；（2）求的最大值【考点】三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算【

27、专题】计算题【分析】（1）由，化简得 4cos（AB）=5cos（A+B），由此求得tanAtanB的值（2）利用正弦定理和余弦定理化简为，而，利用基本不等式求得它的最小值等于，从而得到tanC有最大值，从而求得所求式子的最大值【解答】解：（1）由，得即 ，亦即 4cos（AB）=5cos（A+B），所以 （2）因，而，所以，tan（A+B）有最小值， 当且仅当时，取得最小值又tanC=tan（A+B），则tanC有最大值，故的最大值为【点评】本题主要考查两个向量数量积公式，正弦定理和余弦定理，两角和的正切公式，以及基本不等式的应用，属于中档题21某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型

28、汽车牌照10万张，电动型汽车2万张为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列an，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列bn，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=9a4=8.5b1=2b2=3b3=4.5 b4=6.75（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？【考点】数列的应用【专题】应用题；点列、

29、递归数列与数学归纳法【分析】（1）利用从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，可得n2+17n200，即可得出结论【解答】解：（1）a1=10a2=9.5a3=9 a4=8.5 b1=2b2=3b3=4.5 b4=6.75 当1n20且nN*，an=10+（n1）×（0.5）=0.5n+10.5；当n21且nN*，an=0an=而a4+b4=15.251

30、5bn=，（2）当n=4时，Sn=a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=53.25当5n21时，Sn=（a1+a2+an）+（b1+b2+b3+b4+b5+bn）=10n+6.75（n4）=n2+17n由Sn200得n2+17n200，即n268n+8430，得34n21 到2029年累积发放汽车牌照超过200万张【点评】本题考查数列的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称（1）若已知，M为椭圆上动点，证明：；（2）求实数m的取值范围；（3）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设M（x，y），则+y2=1，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出（2）由题意知m0，可设直线AB的方程为与椭圆方程联立得0，再利用中点坐标公式、根与系数的