数值计算方法课后习题答案李庆扬等

1、精品文档第一章绪论(12)1、设x>0,x的相对误差为6,求lnx的误差。解设X>0为x的近似值，则有相对误差为a(x)=5，绝对误差为名(x)=ax,tt-»_-.、人，.、i、八、r * *(2) x1 x2x3;*L*从而lnx的尿差为(lnx)=(lnx)|£(x)=*相对误差为；*(八)二*二言。2、设x的相对误差为2%求xn的相对误差解设x为x的近似值，则有相对误差为孰(x)=2%，绝对误差为£(x)=2%xJtn-n一、一、,.、>*nJ*n1*I*从而xn的误差为w(Inx)=(xn)XTW(x)=n(x)2%x=2n%x*相对误

2、差为s*(lnx)=三卑学=2n%。(x)n3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*._*_*_*_x1=1.1021,x2=0.031,x3=385.6,x4=56.430,x5=7M1.0。解x1=1.1021有5包有效数字；x2=0.0031有2包有效数字；x3=385.6有4包有效数子；x4=56.430有5包有效数子；x5=7父1.0有2包有效数子。4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限，其中x；,x；,x3,x4均为第3题所给的数。(1)x+x2+x4；* *e (x1x2n*x4)=k Wf<f,*,.*.

3、*.*.*(xk)=E(x1)+(x2)+“x4)<cxkJ.?1_41_31_3_310410，104=1.0510“222n*.*、一e (xi X2X3)= 'k 1.*、.*、.*、.*、.*、.*、.*、；(Xk)=(X2X3)；(Xi)(XiX3)；(X2)(X1X2)；(X3)解=(0.031M385.6)1父10+(1.1021M385.6)1父10学+(1.1021M0.031)1父10；222=0.5976810，212.4848810，0.01708255104=213.0996425510'=0.21309964255*.*n*.*.*、 一e (

4、X2 /X4)=k 1；(Xk) =r 佟)X4*X2/ *、2 (X4)(X4)(3)x2/x4。精品文档11八与0.0311八当56.4611八与解=x-x10+2X-X10=2X-X10。56.4302(56.430)22(56.430)2256.4611工5=2100.8865410(56.430)225、计算球体积要使相对误差限为1%问度量半径R允许的相对误差是多少?解由 1% = 4(4n(R*)3) =3* 4(一二(R )3)可知,(R)3* 4* 34* 3(R)=1% 丁(R)；(R ) = 4二(R )2*MW (R ),dI从而名(R)=1%m - R ,故名 3*.*

5、=(R)11r (R ) =*= 1% 父 一 =oR33006、设Y0 =28 ,按递推公式Yn =Yn-v'783 (n =1,2,)计算到X。，若取100月83定27.982 (五位有效数字，)试问计算Y100将有多大误差?解令工表示Yn的近似值，e*(Yn) =Yn -Yn ,则e* (Y0) = 0 ,并且由Yn =Yn411 一一27.982 , Yn =Yn二一一乂4783可知,1001001"一工厂而父卬球一局八即e (Yn) =e (Yn。工工(27.982-7783) =e* (Yn)(27.982-<783);，从100100而 e*(Y100)

6、=e*(Y0) -(27.982-<"783) =7783-27.982 ,W|<783-27.982<1x10-,所以8*（Yi00）=1父10”。7、求方程x2-56x+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字（J783电27.982）解由x=28±"83与"83st27.982（五位有效数字）可知，xi=28+7783=28+27.982=55.982（五位有效数字）。而X2=28683=2827.982=0.018,只有两位有效数字，不符合题意。112但是x2=28-J783=1=1.7863M10。28,78355.982N1

7、8、当N充分大时，怎样求frdx?N1x2N11解因为NQdx=arctan(N+1)arctanN,当N充分大时为两个相近数相tan(:工F):tan 二 - tan :1 tan : tan :减，设豆=arctan(N+1),P=arctanN,则N+1=tana,N=tanP,从而(N1)-N_11N(N1)-N2N1N 1因此1.：,1dx=a-p=arctan2。1x2N2N19、正方形的边长大约为100cm应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2?解由君(l)2)=|(l)2y(l)=2l名(l)可知，若要求E(l)2)=1,则*、2、名*（）=J（l*）即边长应满足l=100&

8、#177;'。2l2100200200一110、设S=1gt2,假定g是准确的，而对t的测量有±0.1秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。证明因为名*（S）=（dS）*晨（t）=gt*/（t）=0.1gt*,dt* _；（S）；(S) _ gt ； (t)2g(t)*2 ； (t) _ 1* *t 5t,所以得证。11、序歹Nyn满足递推关系yn=10yn=T（n=1,2,），若y0=72定1.41（三位有效数字），计算到火。时误差有多大？这个计算过程稳定吗?解设yn为yn的近似值,晨(yn) = yn yn ,则由yo = 42与yn =i0yn-1

9、y =1.41Jn =10yn-1可知,*12注(丫0)=2父10,ynyn=10(ynyn)，即*n*8(yn)=108(yn/)=108(y°),1o1从而w(y10)=101屋(y0)=1010X-X10=-X108,因此计算过程不稳定。12、计算f=(J2-1)6,取V22.4,利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好?-J(3-2<2)3,1-,9970”。(21)(32.2)1 1解因为w(f)=_M10，所以对于f1=一6,2 (-21)e*(f1)=f1e*(1.4)=6-T父1父10=6.54父10、父10/，有一位有效数字;(1.4+1)722对于f2=(3-

10、272)3,e*(f2)=f2e*(1.4)=6(32父1.4)2父1正。=0.12父10,C1M10，没有有效数对于f31(3+2M2)3 '字；e*(f3)=f3e*(1.4)=64M1M10，=2.65父10，父父1。"，有一位有效数(321.4)422字；对于f4=9970后，e*(f4)=f4e*(1.4)=70x1x10"1=35x10'L<1x101,没有有效数字。13、f(x)=ln(x-&2-1),求f(30)的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式ln(x-%；x2-1)=-ln(x+%；x2-1

11、)计算，求对数时误差有多大？解因为«3021=、颔=29.9833(六位有效数字)，/汽)=父10"，所以e(fi)=(fi)e(x)=(30-302-1)-10230-29.98332110工=0.299410立e(f2)=(f2)e(x)=3029.983321工10x.x2-11。"14、试用消元法解方程组可靠?=0.833610x1+1010x2=1010xx21010F一,x21010-1x1=1,x2=1,结果可靠。115、已知二角形面积s=absinc2,假定只有三位数计算，问结果是否1010-21010-1其中c当使用位数运算时为弧度,0<c

12、（土，且测量2a,b,c的误差分别为Aa,Ab,Ac,证明面积的误差As满足解因为Q(s)=S目A(xk)1,.,1bsincAa+akW所以sincAb+(abcoscAcLSc1-bsinc2-c1L1+asincAb十-abcosctanc1absinc2-cc(40-42 )第二章插值法1、根据(2.2)定义的范德蒙行列式，令x0x(2xni2nxnx”,vxn:ix2xnxVn(x0,xi,xn，x)=,证明Vn(x)是n次多项式，它的根是xi,x2,xn)目Vn(xo,xi,xn,，x)=Vn(xo,xi,xn)(x-xo)(xxn/)°nJiJnJVn(x0,xi，xn

13、，x)：|(为-*上)1(x-Xj)证明由nij-j"可得求证。=Vn(x°,xi，xn)|1(x-xj)j=02、当x=i,-1,2时，f(x)=0,与,4,求f(x)的二次插值多项式(x-xi)(x-x2)、，(xx0)(xx2)、，(x-x0)(x-xi)L2(x);y0：yi:y2:(x0xi)(x。-x2)(xi-x0)(xi-x2)(x2x0)(x2-xi)解=0M(x*i)(x-2)+(_3)X(Xi)(x2)+4x(x"x*)(ii)(i-2)(-i-i)(-i-2)(2-i)(2i)=(x2-3x2)(x2-i)=-x2x-236233、给出f(

14、x)=lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值X0.70.8Inx-0.9i629i-0.693i47P-0.5i0826-0.357765-0.223i44解若取X。=0.5,xi=0.6,则y0=f(x。)=f(0.5)=-0.693i47,yi=f(xi)=f(0.6)=-0.5i0826,贝U，/、x-xix-x0x-0.6x-0.5Li(x)=y0yi=-0.693i470.5i0826x0-xixi-x00.5-,=6.93i47(x-0.6)-5.i0826(x-0.5)=i.8232ix-i.604752从而Li(0.54)

15、=i.8232i0.54-i.604752=0.9845334-i.604752=-0.6202i86若取x0=0.4,xi=0.5,x2=0.6,则y0=f(x0)=f(0.4)=-0.9i629i,yi=f(x1)=f(0.5)=-0.693i47,y2=f(x2)=f(0.6)=-0.5i0826,则(x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)(X-x0)(X-x1)L2(x)二v。y1y(x0-x1)(x0-'x2)(x1-x0)(x1-'x2)(x2-x0)(x2-'x1)(x-0.5)(x0.6)(x-0.4)(x0.6)-0.916291(-0.693

16、147)(0.4-0.5)(0.4-0.6)(0.5-0.4)(0.5-0.6)(x一0.4)(x一0.5)(-0.510826)(0.6-0.4)(0.6-0.5),2,2-45.81455(x2-1.1x0.3)69.3147(x2-x0.24)-25.5413(x2-0.9x0.2)-2.04115x24.068475x-2.217097._一_2从而L2(0.54)=-2.041150.544.0684750.54-2.217097二-0.595199342.1969765-2.217097=-0.615319844、给出cosx,0Zx£90二的函数表，步长h=1=(1/6

17、0)；若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界解设插值节点为x0<x<x1=x0+h,对应的cosx值为y0,y1,函数表值为.1c1y0,V1,则由题意可知，y0-y0<-><10,|y1-y1110,近似线性插值多项式为L1(x)=%匕二次+y12-二至，所以总误差为x°-XX-x0R(x)=f(x)-L1(x)=f(x)-L(x)L1(x)-L1(x),从而二三以0,2=fTpxx°)(xx1)(y°_y°)x_x1(y1_y1)xxo2!x0-xxI-x0-cos-(x-x0)(xx1)(y

18、0y0)JL-(y1-1)2x0-x1x一x01R(x)三 2cos：(x x0)(x x1)+ yx x -x1一 y0x0 x1x -x0y1 - y1x -x0-1(xx0)(x-x1)110'x-x1110*x-x022x0-x12x1-x021h21.111.1%1工工10106.941010=3.47102422144002225、设xk=x0+kh,k=1,2,3,求maxl2(x)。乂0332解max L(x)=xo <x 坐3( x - xo )( x X1 )( x x3 )max x0 3 ( x2 x0 )( x2 x1 )( x2 x3 )(x - x0

19、 )( x xo h )( x xo 3h)=max xo 遇绦(2h)h(h)2h3 多max (x -xo)(x -xo -h)(x - xo -3h) x ：:xf(x) = (x - xo)(x - xo - h)(x - xo - 3h)=x3 -(3xo 4h)x2 (3x； 8xoh 3h2)x -(x；f '(x) =3x2 -2(3xo +4h)x +(3x2 +8x0h +3h2),从而极值点可能为_2_2 _22(3xo 4h) - 4(3xo 4h) -12(3x° 8x°h 3h )x 二_6 _,又因为(3xo - 4h) - -7h 4

20、7=xo h334 - , 74 口17 5713f(xo h) =h h h (14. 7 -2o)h ,333327-474.7 1.77 -5-13f(xoh)hh h (2o 14.7)h ,333327显然4 77f(xo +h) E f (xo3吧3l2(x)=12h34 + v7f(xo +4yh)11 一3(2o 14 7)h2h3 271。7 7276、设xj（j=o,1，n）为互异节点,求证:n1) £xklj(x)三xk(k=o,1，n);jon2) £区-x)klj(x)三xk(k=1,2,，n)；jo解1)因为左侧是xk的n阶拉格朗日多项式，所以求

21、证成立。2)设f(y)=(y-x)k,则左侧是f(y)=(y-x)k的n阶拉格朗日多项式，令y=x,即得求证。7、设f(x)wC2kb】且f(a)=f(b)=o,求证maxf(x)W，(ba)2maxf”(x)。解见补充题3,其中取f(a)=f(b)=0即得。8、在-4MXE4上给出f(x)=ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10上，问使用函数表的步长h应取多少？解由题意可知，设x使用节点x0=x1h,X1,x2=x1+h进行二次插值，则插值余项为f()R2(x)=(x-xo)(x-xi)(x-x2)e加爪上一的叨二三 ix0,x23!322222、令f(x)

22、=x-(xi-h)(xxi)x(xi+h)=x-3xix+(3xi-h)x+xi(x1-h),3则f(x)=3x-6x1x+(3x1-h),从而f(x)的极值点为x=x1士h,故3.3.3,32,33max f(x)=x - x x2一h(1十一)h(1-)h=h,而3339,e 一R2(x) '了费xf(x)苒曾“吸仪要使其不超过1广则有吸八10'即亨M_23.4863/立10 球父10 =0.47210 。7.3899、若yn=2n,求A4yn及64yn。4jayj4/4)%=(EI)4yn=工(1)jE4Tyn=2(-1)j愠y口j王j曰<jJ04)412中3&qu

23、ot;4'Z、解=(-1)yn+(1)"yn芯+(1)Jyn七十(i)°yn+(1)，yn。Dl2)44J=2n4-42n3+62n2-42n1+2n二162n-322n242n-82n2n=2n11、.4yn =(E，-E)4yn4='、(-1)jj 04；E1(4)e Jyn4八(-1)jj =042yn C.(-1)jj总2、. 1yn* J J01411(4)24、二(-1)0 n yn 车 +(-1)1 ,弘平+(-1)2 c yn0J“幻=2n 2 -4 2n 16 2n -4 2nJ 2心+ (-1)3：iyn(-1)""/

24、。3 4=16 2nN -32 2ni 24 2n? -8 2n2 2n立二2110、如果f(x)是m次多项式，记Af(x)= f(x + h) f(x),证明f(x)的k阶差分kf(x) (0 Mk Mm)是m-k次多项式，并且Am+f (x) =0 (l为正整数)证明对k使用数学归纳法可证。11、证明 A(fkgk) =/gk书 + fkAgk。证明：(fkgk) = fk 1gk1 - fkgk = fk 1 gk 1 一 fkgk1 fkgk1fkgko三 (fk 1 一 fk)gk 1 fk(gk 1 gk) = ；fkgk1 fk ：gkn Jn J12、证明工 fkAgk = f

25、ngn - f0g0 - £ gk 书 M。k z0k=0证明因为' fk'gk '、gk 1'fk(fk ;gk gk ifk)k=Sk=0k=Sn -4n-1-"fk(gk1 -gk) gk1(fk1 - fk) =" (gk1fk1 _ fkgk)-k =0k =0,故得证fngn - f0g0n 113、证明：Z=为0Ay。j 0n 1n 4证明Z yj = E (Ayj由Ayj) = Ayn - Ay0。j $j =014、若 f(x) = a0 +a1x + anxn，+anxn有n个不同实根？?,xn,证明k-4a n

26、 ,Xjf(xj)n证明由题意可设f(x)=an(xx1)(xx2)(xxn)=anf(x-Xj),故i1nf'(Xj)=ann(Xj-Xi),再由差商的性质1和3可知:n kn Xj jj (Xj)n=£j ikXj1 krrn= X X1, Xn =anan I 1 (Xj - X ) i 4i T1 (xk)(n)an (n-1)!,从而得证。15、证明n阶均差有下列性质:1)若F(x)=cf(X),则FX0,X1，Xn=cfX0,X1,2)若F(x)=f(x)+g(X),则FX0,X1，Xn=fX0,X1，Xn+gX0,X，Xn。nFX0,Xi, ,Xn = &quo

27、t;j日证明1)nj 0F(Xj)； cf(Xj)-= ' -I 1 (xj - Xi) j I 1 (xj - xi )i =0i 4i-ji-jf(Xj)= cf X0 , X1 , XnH (Xj - X)i =0 i：jnFx0 , X1 ,> Xn=j =02)nj 0f(Xj)nII (Xj -Xi)i =0"j16、f (x) = x7 +F(Xj)nH (Xj - Xi) i =0 i二jf(Xj) g(Xj)n11 (Xj - Xi) i=0 i=jJ g njz0ll (Xj - Xi)i =0y=fXo,X1, ,Xn gXo,X1, ,Xnx4

28、+3x+1 ,求 f20,21，27 , f2°,21，,28 =f(8)()8!二0。f()7!r而91fro0o1o7i(),0fro0o1-o8i则f2,2,2=-7=1,f2,2,2。17、证明两点三次埃尔米特插值余项是R3(x)=f(4)(-)(x-Xk)2(x-Xk+)2/4!,士JXk,Xk*),并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。解见P30与P33,误差限为©(h)+hmaxf；018、XXXXXXXXXX19、求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)=P'(0)=0,P(1)=P'=1,P(2)=1。解设P(x)=a4x4

29、+a3x3+a2x2+a1x+a0,贝UP'(x)=4a4x3+3a3x2+2a2x+a1,再由P(0)=P(0)=0,P(1)=P(1)=1,P(2)=1可得：0 = P(0) = ao0 = P(0)=a1d = P(1) = a4 +a3 +a2 +a1 +a01 = P'(x) =4a4 +3a3 +2a? +a11 = P(2) = 16a4 8a3 4a2 2a1- a。0 = a。0 = a1解得J9 = a2o43从而14=a41 4P(x) = - x4-3x39x224(x2-6x 9)22x (x - 3)420、设f(x)wCa,b,把b,b】分为n等分

30、，试构造一个台阶形的零次分段插信函数Q(x),并证明当nTg时，%(x)在"b】上一致收敛到f(x)supf(x)inff(x)M令*(幻=323，I，2"""21、设f(x)=1/(1+x2),在-5Ex<5上取n=10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),计算各节点中点处的"(x)与f(x)的值，并估计误差Ih(x) = fklk_1 x-xk、一 d I 21 k xk - xk 1解由题息可知，h=1,从而当xxk,xk由1时，1x-xk21(k1)xk1-xkh(1 k2)(x -xk 1)h1 (k 1)2(x - xk)

31、22、求f(x)=x2在a,b】上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差。解设将a,b划分为长度为h的小区间a=x0<x1W宅xn=b,则当xLxk+Lk=0,1,2,，n-1时,2x - xk 12x - xk_ xk 1(x- xk ) - xk (x - xk1)I h (x) - 1 klk fkllkl - xk xk 1 二xk - xk 1x(xk 1 _ xk ) xk Ixk - xk 1 xk二 x(xk 1 Xk) - xk 1xkxk 1 -'xkf (),从而设差为 R2(x) =?!(x xk)(x xk +) (x xk)(x xkjl),故 R2

32、(x)|(x -Xk)(x - xk 1)h2W O423、求f(x)=x4在a,b】上的分段埃尔米特插值，并估计误差。解设将a,b】划分为长度为h的小区间a =x0 < xi <- < xn = b ,则当xwlxk,XkJ, k =0,1,2,，n 1 时,4 =xk4x3. fk 1-：k 12一 1十2、Xk Xk 书 J IX - Xk 书xk -xk+j- fk -k - fk i -k i(x)，/-2X-Xkxk I 'Xk- x4 13(x - xk) 4xk 1X -xkxk 1 -xkX-XkXk 书 一 Xk J I2一(x - xk l)x

33、- xk 11 - 2xk -'Xk 1f(4)©.h40 o16从而误差为R2(x)=r(x-xk)2(x-xk+)2=(x-xk)2(x-xk*)2，故R2(x)=(x-Xk)2(X-xk1)224、给定数据表如下:xj0.250.300.390.450.53yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条函数S(x),并满足条件:1) S'(0.25)=1.0000,S'(0.53)=0.6868;2) S"(0.25)=S"(0.53)=0。解由h0=0.300.25=0.05,%=0.390.30=0.

34、09,h?=0.450.39=0.06,hjhji.、h3=0.530.45=0.08,及(8.10)式%=,j='-=,(!=1,，n1)h2hih20.0620.09 0.06 一 5%hjjhj,hj'hi0.09_9h0h1-0.050.0914hh0.08'3='二IZh2h30.060.08ho_0.05_5h0h1 - 0.05 0.09 14hi0.093h1 h2 - 0.09 0.06 - 5h2_0.063h2h3-0.060.08-7由(8.11)式gj=3(九jfXj,Xj+NjfXj,Xj书)(j=1,n-1)可知,5 f(X2)-f

35、(X1)14x2 - x1,9f(x1)-f(x0)g1=3。#国凶*、2)=3(g0.5477-0.5000A0.6245-0.5477)140.30-0.25140.39-0.30o94775768、19279八.”=3()=2.754114500149007000g2 = 3( 2 f X1 , x2 2 f x2, X3 ) = 32 f(X2)-f(X1)5 x2 -x13 f (X3)- f®)5x3 - x2c,20.6245-0.547730.6708-0.6245、=3(-)50.39-0.3050.45-0.39-2.413:3(27683256346359005

36、6001000g3二3('3fX2,X33f网心若弋卜詈f 7 X4 - X3c ,4 0.6708-0.6245 3 0.7280-0.6708、二3 (-)70.45-0.3970.53 - 0.4544633472、4 463 9118 1457=3 ()2.08147600780014007000从而14011)矩阵形式为:m2m3 J92.7541-X 1.0000142.4132.0814-3 父 0.686872.11122.413-1.7871"ml 1m2=m3.0.90780.82780.6570n从而 S(x) =£ yjCtj(x) +mj%

37、(x)。j=02）此为自然边界条件，故g。f(Xi) - f (X0) c 0.5477 -0.5000。477: 3fX0,Xi=3M= 3父=3父=2.862 ;Xi -X00.30 -0.25500gn= 3fXn，Xn =3f(Xn) - f 仰)Xn - Xnc 0.7280 -0.6708 o 572=3 父=3 父=2.145 ,0.53 -0.45800矩阵形式为：21_91414m°lm1m2m3.m412.8622.75412.4132.08142.145-m0-m1m2m3nS(x)=ZyjSj(X)+mj%(X)。j625、若f(x)wC2a,b,S(x)是三

38、次样条函数，证明bbbbDf"(x)2dx-fSF(x)2dx=ff"(x)S*(x)2dx+2JS"(x)f“(x)S"(x)dx;aaaa2)若f(X)=S(xi)(i=0,1,，n)，式中Xi为插值节点，且a=X0<x(<Xn=bb则fS"(x)f“(x)-S”(x)dx=S"(b)fr(b)-Sb)-SF(a)fr(a)-Sr(a)oab2bf(x)-S(x)2dx2S(x)f(x)-S(x)dxaab=.f(x)-S(X)22S(x)f(x)-S(x)dxab解1)=f"(x)-S"(x)+2

39、S"(x)f“(x)S"(x)dx。abb=.f(X)S(x)f(x)-S(x)dx=.f(X)2-S(x)2dxaab_-2b_-2=f(x)dx-S(x)dxaa2)由题意可知，S7x)=A,xw%b，所以b. bI S"(x) f*(x) S*(x)dx =S"(x)(x) S<x) b - £ f '(x) S<x)Syx)dx aab=S (b)f (b) S(b) - S (a) f (a) - S (a) - A勺f (x) - S (x)dx=S (b) f (b) 一 S (b) 一 S (a) f (a)

40、 一 S(a)-Af(x)-S(x)：= S (b)f (b)-S(b)-S (a)f (a)-S (a)补充题：1、令 x0 =0 , x1 =1 ,写出y(x) = e"的一次插值多项式L(x),并估计插值余项。解由 No =y(x0) = e_0 =1 , y1=y(xi) =e可知,xxxx°L1 (x)= Vo V1x0 - x1x1 - x0=-(x -1) e,x =1 (e,-1)xx -1x - 0=1 e 0-11-0 ,余项为 R1 (x) = f ( ) (x x0)(x -x1) = ex(x -1),0 (0,1 ),2!2,.、1.11m ma

41、xx(x -1) = x 1 x = o03m2482、设f (x) =x4 ,试利用拉格朗日插值余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。解由插值余项定理，有f(4)(LR3(x) =(x - x0)(x x1)(x -x2)(x -x3)4!4!2243(x 1)x(x-1)(x-2) =(x -2x)(x -1)=x -2x 4!-x2 2x从而 L3(x) = f(x) R3(x) = x4 -(x4 -2x3 -x2 +2x) = 2x3 +x2 -2x03、设f(x)在a,b 内有二阶连续导数，求证:maaxb f (x) f (a),f(b)-f(a)b - a上

42、1(x - a) E -(b - a证因为 f(a) + f (b) f(a)(x a)是以 ab - ab为插值节点的f(x)的线性插值多项式，利用插值多项式的余项定理，得到：f(x)-f(a)+:”(x-a)=1f”(，xa)(xb),从而b-a2maxf(x)f(a)十aXf(b)-f(a)b-a1m(X-a)'嘤了(虬maxx(x-a)(xa：xb-b)o1_.1=2maxf4(b-2a±ib212-&a)=8(b-a)哽f(x)4、设f(X)X7+5X3+1求美商f2021f202122f202127和T、f(X)XJX>刁tZEI口Jf2,2>

43、f2,2,2>f2,2,2个Uf20,21，28。解因为f(20)=f(1)=7,f(21)=f(2)=27+5M23+1=169,f(22)=f(4)=47+5父43+1=16705，所以f20,21=“2)-f=1697=162,2-1192f(4)-f(2)f2,24T16705-1692=8268,_1_2_0_1_0c1c21,f2,2-f2,28268-162-f2,2,2:l<c：，J=-=2702,2-23091.97f(7)()7!091.98f(8)()0f2,2,2=7r1,f2,2,2=8ro5、给定数据表：i=1,2,3,4,5,Xi12467f(Xi)4

44、1011Xif(Xi)一阶差商二阶差商二阶差商四阶差商1421-340_1256611214760710161121180求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项解由差商表可得4次牛顿插值多项式为:57N4(x)=43(x-1)(x1)(x一2)-一(x1)(x-2)(x-4)6601(x-1)(x-2)(x-4)(x-6)180,插值余项为5 7=4-3(x-1)-(x-1)(x-2)-(x-1)(x-2)(x-4)6 601(x-1)(x-2)(x-4)(x-6)180f()=1,7 )oR4(x)=(-2(x-1)(x-2)(x-4)(x-6)(x-7),5!6、如下表给定函数：i=0,1,

45、2,3,4,xi01234f(xi)36111827试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式解构造差分表：xifi珏A2fi03320016二52r021172318:9427N4(x0th)=f0tf。地口：2f。由差分表可得插值多项式为：2=33tt(t-1)2=33tt(t-1)=t22t32第三章函数逼近与计算(80-82)1、(a)利用区间变换推出区间为b,b】的伯恩斯坦多项式；(b)对 f (x) =sin x在|0,-1 I上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。解(a) 4x=a+(b-a)t ,则twb,1

46、,从而伯恩斯坦多项式为Bn(f，x)=£f( 1 )Pk(x),其中 Pk(x) =n xk (b - a -x)nA o(b)令x=t ,则tw 01,从而伯恩斯坦多项式为2一 二 kBn(f,x)=E f(，)pk(x),其中 R(x) =k zQ吊Id-x产。<k；2)一 二kB(f,x)=" f( )Pk(x) = f(0) k z02110r c xO <(五-x f(2)= sin0M -x l+sin x x = 0m -x1+x = x12 JJnkB3(f,x)=" f ()Pk(x)k =06<2= f(0)2，x°

47、(万-x)3+f(g%-x)2f(3)3 x2(-x)1f(-) 3x3(-x)0222 32. 一行 ?.冗_ M 、2 .冗 一 2= sin0 x J sin 3x( x) sin 3x2623(-x) sin 323 3 233 /二 2 23、3.3 /二 23、3=-x( x) x (- -x) x = 一 (x -秋 x )( x - x ) x2 2222 42 223c、21 c 、3-x - - 7 (2 - 3)x - - (3 3 - 5)x2、求证：(a)当 m W f (x) W M 时，mWBn(f,x)WM；(b)当 f(x)=x 时,Bn(f,x)=x。k证明

48、(a)由 Bn(f,x)=£ f()Pk(x)及m< f(x) <M 可知,k=0m£Pk(x)<ZmPk(x)<Bn(f,x)<ZMPk(x)<MZPk(x),k=0而 v Pk(x) J= x + (1x)n =1,从而得证。(b)当f(x)=x时,kBn(f,x)- f( ) Pk (x)一k、n "、x (1 - x) kf(-)n _kf(0) z0 nn!k 4 n k! (n -k)!kn _kx (1 -x)=£(n -1)!ki(k -1川(n D -'(k -11)!kJ(n J) .(k

49、J)xx (1 - x) 。=XL.(n -1)!z k!(n -1 -k)!k(n)_kn Jx (1 -x) = xx (1 - x)= x3、在次数不超过6的多项式中，求f(x)=sin4x在0,2元】的最佳一致逼近多项式。解由sin4x,xw0,2n可知，-1Wsin4xE1,从而最小偏差为1,交错点为33仃5灯7仃9仃111r13仃15灯1Hz目口为P/ywH的雪手寿本普占幺日M而,冗，冗，冗，冗，冗，冗，兀,皿P(x)=H6口匚Lm人乂十日忌4i,/AUU88888888P(x)是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得P(x)=0。4、假设f(x)在Kb】上连续，求f(x)的零次

50、最佳一致逼近多项式。解m=inff(x),M=supf(x),则f(x)=Mm在Ab】上具有最小偏差aibaixib2,从而为零次最佳逼近一次多项式。25、选择常数a,使得mx3ax达到极小，又问这个解是否唯一？解因为x3-ax是奇函数，所以maxx3-ax=maxlx3-ax,再由定理7可知,0当x3ax=,丁3='(4x33x)时，即a=0时，偏差最小。4446、求f(x)=sinx在.p,土上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。一2解由 a1 = (-)-(-) = f (x2) = cosx2 =b -ajisinsin02ji一 022r/口2 ,=一可得 x2 = arccos，从nn:而最佳一次逼近多项式为1y = f (a) f M) a(x - 22 二2(x_1arccoW)=2x二 2 二 二2 二12一 一 arccos冗冗21220arccos-2)sin0sin(arccos)(x-)31冗7、求f(x)=ex在b,1】上的最佳一次逼近多项式解由