指、对数函数,幂函数

1、页眉指、对数函数,曷函数指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。一、指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a-a(an个)=an导出乘方，这里的n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。欧拉指出：对数源出于指数一般地，如果a(a>0,awl的b次哥等于N,就是ab=N,那么数b叫做以a为底N的

2、对数，记作：logaN=b其中a叫做对数的底数，N叫做真数。ab=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。二、指数运算与对数运算的性质1 .指数运算性质主要有3条：axay=aX+y,(aX)y=aXy,(ab)X=aXbx(a>0,aw1,b>0,b型2 .对数运算法则(性质)也有3条：(1) loga(MN)=logaM+logaNlogaM/N=logaM-logaN(3)logaMn=nlOgaM(nCR)(a>0,aW1,M>0,N>0)3

3、.指数运算与对数运算的关系：X=alogaX.mlogan=,ogam4 .负数和零没有对数；1的对数是零，即loga1=0；底的对数是1,即logaa=15 .对数换底公式及其推论：换底公式：logaN=logbN/logba推论1：logamNn=(n/m)logaN1卜皂f一年卜皂电N-巴bg*推论2:三、指数函数与对数函数函数y=ax(a>0,且aw叫做指数函数。它的基本情况是：(1)定义域为全体实数(-8,+8)(2)值域为正实数(0,+8),从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0(3)对应关系为一一映射，从而存在反函数-对数函数。(4)单调性是：当a>1时为增

4、函数；当0<a<1时，为减函数。(5)无奇偶性，是非奇非偶函数，但y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称，y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称；y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称。(6)有两个特殊点：零点(0,1),不变点(1,a)(7)抽象性质：f(x)=ax(a>0,awif(x+y)=f(x)f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)函数y=logax(a>0,且awl)U做对数函数，它的基本情况是：(1)定义域为正实数(0,+8)(2)值域为全体实数(8,+OO)(3)对应关系为一一映射，因而有反函数一一指数函数。(4)单调性是：当a>1时

5、是增函数，当0<a<1时是减函数。(5)无奇偶性。但y=logax与y=log(1/a)x关于x轴对称，y=logax与y=loga(-x)图象关于y轴对称，y=logax与y=ax图象关于直线y=x对称。(6)有特殊点(1,0),(a,1)(7)抽象运算性质f(x)=logax(a>0,aw,1)f(xy)=f(x)+f(y),f(x/y)=f(x)-f(y)例题讲解1 .若f(x)=(a'/(ax+Ja)求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000/1001)2 .510g25等于：()(A)1/2(B)(1/5)101og25(C)

6、1010g45(D)101og523 .计算4,试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。5.已知(a,b为实数)且f(1g1og310)=5,则f(1g1g3)的值是()(A)-5(B)-3(C)3(D)随a,b的取值而定例题答案：1.分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不可取的。需找出f(x)的结构特征，发现规律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=1,而f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+v/a)+(a-x/(a1-x+v/a)=(O/(ax+v/a)+

7、(a/(a+a-Va)=/(aix+v/a)+(v/Ot+/(aa)=(a+，必许，喇=1规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：原式=f(1/1001)+f(1000/1001)+f(2/1001)+f(999/1001)+f(500/1001)+f(501/1001)=(1+1+1)5000个=500说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。(1)取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4x/(4x+2),那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000加001。(2)上题中取a=9,则f(x)=(9x/(9x+

8、3),和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+f(-n)/n).(3)设f(x)=(1/(2x+V2)利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f+f(6)值为。这就是2003年春季上海高考数学第12题。2,解：.5l0g25=(10/2)10g25=(1010g25)/(210g25)=(1/5)1010g25，选(B)说明：这里用到了对数恒等式：a10gaN=N(a>0,aw1,N0)这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。3.解法1:先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。也也也二1昌式$3+一"75

9、=jog22=2解法2:利用算术根基本性质对真数作变形，有由十有7Y=/后石-后-局=/十心+3-书-T-舟-2承=近.Ids(*+奉-4-、肉=麻J2=li2说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。4.解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记122003=a>0,则有(122002+1)/(122003+1)K122003+1)/(122004+1)=(a/12)+1)/(a+1)(12a+1)/(a+1)=(a+12)(12a+1)/(12(a+1)2)=(12a2+145a+12)/(12a2+24a+12)>1故得：(122002+1)/(122003+1)>(122003+1)/(122004+1)5.解：设lglog310=t,则lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t而f(t)+f(-t尸sinr+1+4)+dfsin(-r)+bV+4)士(smint+hJt44)4-(asinf-b-Jt4-4)=2f(-t)=8-f(t)=8-5=3说明：由对数换底公式可推出logablogba=(lgb/lga)(lga/lgb)=1,即logab=(1