3.6.2圆的切线的判定及内切圆

1、.第3课时圆的切线的断定及内切圆关键问答切线的断定方法有哪些？什么是三角形的内心？它有什么性质？1.以下直线中一定是圆的切线的是A与圆有公共点的直线 B到圆心的间隔 等于半径的直线C垂直于圆的半径的直线 D过圆的直径的端点的直线2假设直线l是O的切线，要断定ABl，还需要添加的条件是AAB经过圆心O BAB是直径CAB是直径，B是切点 DAB是直线，B是切点3如图3623，点O是ABC的内切圆的圆心，假设BAC80°，那么BOC_°.图3623命题点 1证明圆的切线热度：99%4如图3624，在ABC中，BAC90°，D为BC边的中点，O是线段AD上一点，以点O为

2、圆心，OA长为半径的O交AC于点E，EFBC于点F，那么EF_O的切线填“是或“不是图36245.2019·白银如图3625，AN是M的直径，NBx轴，AB交M于点C.1假设点A0，6，N0，2，ABN30°，求点B的坐标；2假设D为线段NB的中点，求证：直线CD是M的切线图3625方法点拨要证明直线是圆的切线，假设直线过圆上某一点，那么可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于该半径；假设未指明直线与圆有公共点，那么可过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的间隔 等于圆的半径.62019·黄石如图3626，A，B，C，D，E是O上的五个点，O的直径BE2 ，BCD120

3、°，A为的中点，延长BA到点P，使BAAP，连接PE.1求线段BD的长；2求证：直线PE是O的切线图3626命题点 2与三角形的内切圆有关的计算热度：92%7直角三角形的两条直角边长分别为12 cm和16 cm，那么这个直角三角形的内切圆的半径是A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm解题打破1三角形的内心与各顶点的连线将三角形分成3个小三角形，而每个小三角形的高均为其内切圆的半径，底为三角形的三边，所以SABCABACBC·rr为其内切圆的半径；2直角三角形内切圆半径的计算公式：ra，b为直角边长，c为斜边长8如图3627，圆I是三角形ABC的内切圆，D，E，F为3

4、个切点，假设DEF52°，那么A的度数为图3627A68° B52° C76° D38°92019·荆门如图3628，在平面直角坐标系xOy中，A4，0，B0，3，C4，3，I是ABC的内心，将ABC绕原点O逆时针旋转90°后，I的对应点I的坐标为图3628A2，3 B3，2 C3，2 D2，310.如图3629，ABC的内切圆与三边分别相切于点D，E，F，那么以下等式：EDFB；2EDFAC；2AFEDEDF；AEDBFECDF180°，其中等式成立的有图3629A1个 B2个 C3个 D4个11.如图3630，

5、O是ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，DEF45°.连接BO并延长交AC于点G，AB4，AG2.1求A的度数；2求O的半径图3630方法点拨对于三角形的内切圆中的计算问题，要注意切线性质的应用，一般情况下，看到切点连半径是常用辅助线的作法.命题点 3切线的断定与性质的综合应用热度：99%12如图3631，在ABO中，OAOB，C是AB边的中点，以点O为圆心的圆过点C.1求证：AB与O相切；2假设AOB120°，AB4，求O的面积图363113.如图3632，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA长为半径的圆交AB于点D，延长AO交O于点E，连

6、接CD，CE，假设CE是O的切线，解答以下问题： 1求证：CD是O的切线；2假设BC3，CD4，求OABC的面积图3632方法点拨解决有关切线问题的关键是正确添加辅助线，添加辅助线的原那么与方法是“有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径.14如图3633，RtABC的两条直角边长分别为6和8，作RtABC的内切圆，那么内切圆的半径为2；作RtABC斜边上的高，那么RtABC被分成两个小直角三角形，分别作其内切圆，得到图，这两个内切圆的半径的和为_；在图中继续作小直角三角形斜边上的高，再分别作被分成的小直角三角形的内切圆，得到图，依此类推，假设在RtABC中作出了16个这样的小直角三角形

7、，它们的内切圆面积分别记为S1，S2，S16，那么S1S2S16_图363315.联想三角形内心的概念，我们可引出如下概念定义：到三角形的两边间隔 相等的点，叫做此三角形的准内心举例：如图3634，假设PDPE，那么点P为ABC的准内心应用：如图3634，BF为等边三角形ABC的角平分线，准内心P在BF上，PDAB，PEBC，且PFBP，求证：点P是ABC的内心图3634方法点拨理解新情境下的定义，并在新问题中，把新定义或新法那么转化成已经学过的根本领实、定理、定义新定义问题往往涉及分类讨论的数学思想.详解详析1B解析 A项，割线与圆也有公共点但不是切线，故不正确B项，符合切线的断定，故正确C

8、项，应为垂直于圆的半径且过半径外端点的直线，故不正确D项，应为过圆的直径的端点并与该直径垂直的直线，故不正确应选B.2C解析 根据圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径进展分析，那么这里的AB是直径，且一端是切点应选C.3130解析 BO，CO分别是ABC，ACB的平分线，OBCOCBABCACB×180°80°50°，BOC180°50°130°.4是解析 如图，连接OE.BAC90°，D为BC边的中点，ADBCCD，CDAC.OAOE，DACAEO，CAEO，OEBC.EFBC，EFOE，EF是O的切线5

9、解：1A0，6，N0，2，AN4.ABN30°，ANB90°，NB4 ，B4，22证明：连接MC，NC.AN是M的直径，ACN90°，NCB90°.在RtNCB中，D为NB的中点，CDNBND，CNDNCD.MCMN，MCNMNC.MNCCND90°，MCNNCD90°，即MCCD，直线CD是M的切线6解：1如图，连接DE，BCDDEB180°，DEB180°120°60°.BE是O的直径，BDE90°.在RtBDE中，sin60°，BDBE·sin60°

10、2 ×3.2证明：如图，连接EA，BE是O的直径，BAE90°，PAE90°.A为的中点，ABAE，ABE45°.在ABE和APE中，ABAP，BAEPAE，AEAE，ABEAPE，PABE45°，PEB90°，PEBE，直线PE是O的切线7C解析 直角三角形的两条直角边长分别为12 cm，16 cm，直角三角形的斜边长是20 cm，内切圆的半径为121620÷24cm应选C.8C解析 圆I是三角形ABC的内切圆，D，F为切点，IDAB，IFAC，IDAIFA90°，ADIF180°.DIF2DEF2&#

11、215;52°104°，A180°104°76°.应选C.9A解析 过点I作IFAC于点F，IEOA于点E.A4，0，B0，3，C4，3，BC4，AC3，那么AB5.I是ABC的内心，I到ABC各边的间隔 相等，等于其内切圆的半径，IF1，故I到BC的间隔 也为1，那么AE1，故IE312，OE413，I3，2ABC绕原点O逆时针旋转90°，I的对应点I的坐标为2，3应选A.10B11解：1连接OD，OF，O是ABC的内切圆，ODAB，OFAC.又DOF2DEF2×45°90°，A360°ODA

12、DOFOFA360°90°90°90°90°.2设O的半径为r，由1知四边形ADOF是矩形，又ODOF，ODAC，ODOFADAFr，BODBGA，即，解得r，O的半径为.12解：1证明：连接OC.在ABO中，OAOB，C是AB边的中点，OCAB.以点O为圆心的圆过点C，AB与O相切2OAOB，AOB120°，AB30°.AB4，C是AB边的中点，ACAB2，OCAC·tanA2×2，O的面积为×224.13解析 1连接OD，要证CD是O的切线，需证ODC90°，可转化为证CEOCDO

13、，故证ODCOEC即可；2OABC的面积是OCD面积的2倍，求出OCD的面积即可解：1证明：连接OD.ODOA，ODAOAD.四边形OABC是平行四边形，OCAB，COEOAD，CODODA，CODCOE.又ODOE，OCOC，ODCOECSAS，ODCOEC.CE是O的切线，OEC90°，ODC90°.又OD是O的半径，CD是O的切线2SOCDCD·OD×4×36，而OABC的面积是OCD面积的2倍，故OABC的面积为6×212.14.4解析 1如图，过点O作OEAC，OFBC，垂足分别为E，F，那么OECOFC90°.C90°，四边形OECF为矩形OEOF，矩形OECF为正方形设圆O的半径为r，那么r2.S1×224.2如图，由SABC×6×8×10×CD，得CD.由勾股定理，得AD，BD10.同理可得：O的半径，E的半径，这两个内切圆的半径的和，S1S2×2×24.3如图，由SCDB×××8×MD，得MD，由勾股定理得CM，MB8，由2得O的半径，同理得E的半径，F的半径，S1S2S3×2×2×24.观察规律可知S1S2S3S164.15证明：ABC是等边三