静电场中的导体与电介质一章习题解答

1、静电场中的导体与电介质一章习题解答习题8 1 A、B为两个导体大平板，面积均为 S,平行放置，如图所示。A板 带电+Qi, B板带电+ Q2，如果使B板接地，则AB间电场强度的大小E为：(A)Qi2 ；oS(B)Qi Q22 ；oS(C)QiwpSQ"i +Q2(D1+ QiA+Q2B习题8 1解：B板接地后，A、B两板外侧均无电荷，两板内侧带等值异号电荷，数值分别为+Qi和-Qi，这时AB间的场应是两板内侧面产生场的叠加，即E板间Qi2 ；oSQiQi；oS所以，应该选择答案(C) 习题82 Ci和C2两个电容器，其上分别标明 200pF(电容量)，500V(耐压值)和300pF，

2、900V。把它们串联起来在两端加上 i000V的电压，贝(A) Ci被击穿，C2不被击穿(B) C2被击穿，Ci不被击穿(C)两者都被击穿(D)两者都不被击穿答：两个电容器串联起来，它们各自承受的电压与它们的电容量成反比，设Ci承受的电压为Vi，C2承受的电压为V2,则有Vi.V2 CCi =3 2Vi Vi000联立、可得y =600V，V2 =400V可见，Ci承受的电压600V已经超过其耐压值500V，因此，Ci先被击穿，继 而i000V电压全部加在C2上，也超过了其耐压值900V，紧接着C2也被击穿。 所以，应该选择答案(C)。习题8 3三个电容器联接如图。已知电容Ci=C2=C3，而

3、Ci、C2、C3的耐压值分别为i00V、200V、300V。则此电容器组的耐压值为(A) 500V(B) 400V(C) 300V(D) i50V (E) 600V解：设此电容器组的两端所加的电压为u,并且用Ci/ C2表示Ci、C2两电容器的并联组合，这时该电容器组就成为Ci / C2与C3的串联。由于 Ci=C2=C3，所以Cl/ C2= 2C3,故而Cl/ C2承受的电压为 u/3, C3承受的电压为 2u/3。由于C1/C2的耐压值不大于100V，这要求-<100(V)3即要求u乞3 0(V)同理，C3的耐压值为300V,这要求u 乞？ 300 二 450( V )2对于此电容器

4、组的耐压值，只能取两者之较低的，即 案(C)。习题8 4 一个大平行板电容器水平放置，两极 板间的一半充有各向同性均匀电介质，另一半为 空气，如图，当两极板带上恒定的等量异号电荷 时，有一质量为m、带电量为+q的质点，平衡在 极板间的空气区域中，此后，若把电介质抽去， 则该质点：Ci习题83图C3300V。因此，应该选择答-Q习题8 4图(A)保持不动。(B)向上运动。(C)向下运动。(D)是否运动不能确解：在抽出介质前，相当于左右两半两个“电容器”并联，由于这两个“电容器”电压相等，而右半边的电容又小于左半边的，因此由q=CU公式可知，右半边极板的带电量小于左半边的。当抽去介质后，极板电荷重

5、新分布而 变为左右均匀，使得右半边极板电荷较抽出介质前为多，因此这时带电质点受到向上的静电力将大于其重力，它将向上运动。所以应当选择答案(B)习题8 5 一个平行板电容器充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极板间距拉大，则两极板间的电势差 Ui2、电场强度的大小E和电场能量 W将发 生如下变化：(A) Ui2减小，E减小，W减小。(B) Ui2增大，E增大，W增大。(C) Ui2增大，E不变，W增大。(D) Ui2减小，E不变，W不变。解：电容器充电后与电源断开，其极板上的电荷将保持不变。由公式Ui2当将电容器两极板间距拉大，其电容C将减小，这将使其极板间的电势差Ui2Q-°S增

6、大；因为极板电荷保持不变，使得板间场强亦不变；由电容器储能公式1W qu122因电势差Ui2增大而极板电荷保持不变，故电场能量W将增大。综上所述，应当选择答案（C）。习题8 6 一个平行板电容器充电后仍与电源连接，若用绝缘手柄将电容器两 极板间距拉大，则极板上的电量 Q、电场强度的大小E和电场能量 W发生如下 变化：（A） Q增大，E增大，W增大。 （B） Q减小，E减小，W减小。（C） Q增大，E减小，W增大。 （D） Q增大，E增大，W减小。解：电容器充电后仍与电源连接，其两极板间的电压Ul2不变。若此时将电容器两极板间距拉大，其电容量 C将变小，由公式Q = CU 12可知,极板上的电量

7、Q将减小；与此同时，由公式匚Ui2E =d可知,可知,极板间电场也将减小；又由公式1 2 W cu122电场能量 W将减小。综上所述，应当选择答案（B）。习题8 7 一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种 各向同性、均匀电介质，则电场强度大小 E、电容C、电压U、电场能量W四 个量各自与充入介质前相比较，增大（T）或减小（J ）的情形为：（a）eT、CT、u T、WT （B） eJ、CT、u J、Wj（B）EJ、CT、U T、Wj （D） ET、Cj、U J、WT解：设未充满电介质时电容器的电容为Co，电压为Uo，场强为E。，电场能量为Wo。充满电介质后则有1U八J-Uo

8、: Uo所以U、;电场强度的大小变为L UUo1厂LE 二EoEod；rd所以EJ，;电容变为小QQoC -耳rCo > CoUUo'r所以CT；电场能量为2 21 Q2 1 Q021W0W0 :：: W02 C 2 srC0 环所以WJ。综上所述，应当选择答案(B)。习题8 8 G和C2两空气电容器并联起来接上电源充电，然后将电源断开， 再把一电介质板插入Ci中，贝U:(A) Ci和C2极板上电量都不变。(B) Ci极板上电量增大，C2极板上电量不变。(C) Ci极板上电量增大，C2极板上电量减少。(D) Ci极板上电量减少，C2极板上电量增大。解：充电后将电源断开，两电容器的

9、总电量不变，即qi q2二常量(探)由于两电容器并联，它们的电势差 U相等，因此它们所带的电量(q=CU)与它们 的电容量成正比，但因 Ci中插入了介质板，所以 Ci的电容量增加，即qiT， 由怪)式可知，这时q2应当减少，所以应当选择答案(C)。习题89两个薄金属同心球壳，半径各为 Ri和R2(Ri<R2)，分别带有电荷qi 和q2,二者电势分别为 Ui和U2，设无穷远点为电势零点，现用导线将两球壳 连起来，则它们的电势为：(A) Ui(B) U2(C) Ui+U2(D) (Ui+U2)/2解：用导线将两球壳连起来，电荷都将分布在外球壳，现在该体系等价于一个半径为R2的均匀带电球面，因

10、此其电势为.qiSu =4殆 0R2原来两球壳未连起来之前，内球电势为Ui外球电势为U2qi. q24二；0R24二；°R2qi q24二；0只2或者:drQ2R214聴 °r4二；°r2dr =qiq2 牛二；0 R2因此,所以，应选择答案（B）习题8 10 一平行板电容器充满相对介电常数为 ；r的各向同性均匀电介质, 已知介质表面极化电荷面密度为二匚。则极化电荷在电容器中产生的电场强度 的大小为： (A)(B)CJ；0 ；r(C)2-一匚的无限大平行平解：介质表面的极化电荷可以看成两个电荷面密度为 面，由叠加原理，它们在电容器中产生的电场强度大小为CT， CT

11、， +=2 ；o所以，应当选择答案（A）习题811两块面积均为S的金属板A和B彼此平行放置，板间距离为 d（d 远小于板的线度），设A板带电为qi，B板带电为q2，则A、B两板间的电势差 为：(A)d(B)d(C)定(D)g %4 ；o S解：如图所示，设A、B两块平行金属板的四个q1q2表面的电荷面密度分别为二二3和二4，则根CT 1(T 2(T 3 C 4AB题解8 11图厶2 ；o2po联立解得；厂qq2一 j -2Sla=卬71 232S据电荷守恒有FS ；2s =qi根据静电平衡条件有02；o 2；o 2 ；。2；o根据叠加原理，两个外侧表面的电荷在两极板间产生的场强相互抵消；两内侧

12、 的电荷在两板间产生的场强方向相同，它们最终在板间产生的场强为E6 十 6厉2q1 _q22农02名0名02名oS因而A、B两板间的电势差为 q 2U ab =Ed 1 d2可以看出，应该选择答案(C)。习题812 一空气平行板电容器，两极板间距为d，充电后板间电压为U。现将电源断开，在两板间平行地插入一厚度为d/3的金属板，则板间电压变成U = 0解法I :电源断开前后极板带电量不变，因而极间场强不变；由于在两板 间平行地插入一厚度为d/3的金属板，相当于极板间距变为原来的2/3,因此，板间电压相应地也变为原来的2/3，即U丄2 U3解法U:设未将电源断开(也未插入金属板)时电容器的电容为C

13、，这时电 容器极板的电压为C将电源断开后极板的电量将保持不变，但因在两板间平行地插入一厚度为d/3的金属板，这相当于极板间距变为 2d/3，因而电容器的电容变为C =32因此，现板间电压为习题813 A、B为两个电容值都等于 C的电容器，A带电量为Q，B带电量 为2Q,现将A、B并联后，系统电场能量的增量W =。解：A、B并联后，系统的等效电容为2C，带电量为3Q,因此，系统电场 能量的增量为,1 (3Q)2:Q2 丄(2Q)2 Q22 2C 2C 2C 一 4C习题8 14 一空气平行板电容器，其电容值为 Co。充电后电场能量为 Wo。在保持与电源连接的情况下在两极板间充满相对介电常数为:r

14、的各向同性均匀电介质，则此时电容器的电容值C=，电场能量W=。解：充满介质后，电容器的电容值增大了；r倍，因此有C二；rCo ；由电容器储能公式1 2 WCU2充满介质后，两极板间电压U不变，只是电容值增大了 ；r倍，因而其能量相应地增大为原来的；r倍，即W二；rW0习题815半径为0.1m的孤立带电导体球，其电势为 300V，则离导体球中 心 30cm 处的 电势为 U =。解：孤立导体球的电量为Q = CU = 4心 0 RU R其电荷分布是一个均匀带电球面，因而其电势分布为Q4二；0r=-Ur把 r=0.30m、R=0.1m 及 Ur=300V 代入上式可得 U=100V。习题816半径

15、为Ri和R2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为；r的均匀介质。设两筒上单位长度带电量分别为和- ,则介质中电位移矢量的大小为D=;电场强度的大小为 E=。解：取半径为r(Ri<r<R2)、高度为h的、与圆筒同轴的两端封闭的柱面为高斯面，根据有介质时的高斯定理有D dS =2二rhD 二 h侧因此根据电位移与场强的关系可得习题817两个半径相同的金属球，相距很远。证明：该导体组的电容等于 各孤立导体球的电容值的一半。证明：设两球分别带电+Q和-Q，因为它们相距很远，各自都可以看作 “孤立”的。该两球的电势差为U 12 U i - U 2Q (-Q)Q4二；0R 4二；0R

16、2二；0R所以，该导体组的电容为Q2 二；0 R12而对于各孤立导体球的电容则为 C0=4二；0R，因此我们有1C Co2证毕。习题818证明：半径为R的孤立球形导体，带电量为 2Q,其电场能量恰与 半径为R/4、带电量为Q的孤立球形导体的电场能量相等。证明：半径为R的孤立球形导体的电容为其带电为2Q时的电场能量为2 2 2wj.型二4Q .丄C12 C12 4二；0R 2二；0R同理，半径为R/4、带电量为Q的孤立球形导体的电场能量为1 Q2Q2Q2W2W12 C22汉4阳0汉（只4） 2b0R习题8 19图OO 是对称的，因此求板间电场可以习题8 19两块“无限大”平行导体 板，相距为2d

17、，都与地连接。在板间 均匀充满着正离子气体（与导体板绝 缘），离子数密度为n，每个离子的带 电量为q，如果忽略气体中的极化现 象，可以认为电场分布相对于中心平 面oo 是对称的。试求两板间的电场 分布和电势分布。分析：由于电场分布相对于中心平面 考虑用咼斯定理。解：设中心平面OO 处为X轴的原点，可以看出，板间电场都与 X轴平 行：在-dvxvo区间，场强方向与X轴反向；在Ovxvd区间，场强方向与X轴同 向。因而可取一柱形高斯面 S,其轴线即为X轴，其两个端面分别在+x和-x 处。由高斯定理得枣应二丄a qi耳0 iqi11E * dS 亠 II E * dS 亠 II E * dS =-&

18、#39;侧面左端面右端面;o i10 + E 也S + E=(nq 2x 也S)解得Edx%(-dvxvd)写成矢量式Exi；0两板间任一点的电势为dxEd"严心曇（d2-x2)(-dvxvd)习题8 20两根平行“无限长”R（Rvvd）。导线上电荷线密度分别为解：建立如图所示的坐标系，贝U两线间任一点的场为均匀带电直线，相距为 d，-和-%，试求该导体单位长度的电容。导线半径都是E（x）“两线间的电势差-R2二；o1 1(x d-x)dxd -R Tn0单位长度的电容为1iVViiii*iP|i H1|l|lII|!1K厂ixrh 1尹 XOR -<dCo二；0U121 nR

19、R题解8 20图注意： 系表示； 取R到d Ro两线间的电场强度 E是两个带电直线共同产生，应当用统一坐标 每一条导线作为导体，各自都是等势体，因此求电势差的积分限习题821电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a,外筒半径为b,筒长都是L,中间充满相对介电常数为；的各向同性均匀电介质，若内外筒分别带有等量异号电荷+Q和Q。设b-a«a, L»b,可以忽略边缘效应，求(1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器储存的能量。解：(1)由于b-a<<a, L>>b，所以两个同轴圆筒可看成“无限长”，它们 沿长度方向电荷线密度为土 Q/L,两筒间的场为Q LE 二

20、2 二；0 ；rr 2二；0 ；rr两筒间的电势差为Qb 1QbdrIn 2二；o ；丄 a r2二；0 ；丄a圆柱形电容器的电容为Q2二；0 ；丄b lnaUab(2)电容器储存的能量为Q2Q2C4二；0 ；r L习题822半径为R的金属球，球上带电荷一Q,球外充满介电常数为；的各 向同性的均匀电介质，求电场中储存的电场能。解法I :由高斯定理容易求得带电金属球内外的场分布0,E =二-乂4 ；r2 ,0< r v R显然，电场能量密度为We 二 1 E22Q22432 二 r在距金属球球心为r处取厚度为dr的薄球壳体积元，其体积为dV =4二r2dr， 在其内储存的电场能为dWe Q

21、22dr8因此，金属球电场中储存的电场能为tQ2 rQWe=VdWeR-yV8哗 Rr28聴R解法U:孤立导体球(球外充满介电常数为；的各向同性的均匀电介质)的电容为C = 4 二；R电容器储能公式，可以求得金属球电场中储存的电场能为Q2CQ28. R注：比较两种方法，容易看出第二种方法更简单。 习题8 23 半径分别为 1.0cm与2.0cm的两个球形导体，各自带电量1.0 10 "c，两球心间相距很远。若用细导线将两球相接，求：(1)每个球所带的电量；(2)每个球的电势。解：(1)两个球用导线连接后，电荷重新分布，设这时两球分别带电为q1和q2，由电荷守恒有q1 qq式中q为连接

22、前两球的总带电量，q = 2.0 10" C。用导线连接后两球等势R2UR1q1_ q24二；0尺4二；0R2联立、解得q1 R1 R2I_8_9 2.0 10 二 6.67 10 C 2R2 q2_8_9q222.0 10 =13.3 10 CR1 R21 2(2)由于两球相距很远，它们的相互影响可以忽略，可以看成孤立、均匀 带电的导体球，因此它们的电势为q19q_?3Ur =9.0江109汇6.67><10 十1.0汉10=6.0103V14 二；0R13Ur2 二 Ur1 =6.0 10 V注意：该题中的两球体是导体球，它们带的电只能分布在外表面；而且两者 相距很远

23、，都可以看作是表面均匀带电，因此，应该按均匀带电球面来计算它 们的电势。 习题824两个电容器的电容之比为 G : C2=1 : 2。(1) 把它们串联后接到电压一定的电源上充电，它们的电能之比是多少(2) 如果是并联充电，电能之比是多少？在上述两种情况下电容器系统的总电能之比是多少 解： 两个电容器串联它们的带电量相等，根据公式W =-2可知它们的电能与电容量成反比，因此有W, W2 =C2 G =2 1(2)两个电容器并联它们的电压相等，根据公式1 W CU2可知它们的电能与电容量成正比，因此有WrWCrC2 =1 2 在以上两种情况下电容器系统的电容分别为C1CC1 C2C并二 C1&#

24、39; C2由于电源电压一定，因此两种情况下电容器系统的总电能应与它们的电容成正 比，所以有C1C2C1C22 2 2(C1 C2) C1 2C1C2 C2C1 C2 2 ' C2 C11 2+2 + 2 1 _2'9习题825 一圆柱形电容器，外柱的直径为 4cm，内柱的直径可以适当选择， 若其间充满各向同性的介质，该介质的击穿电场强度大小为Eo=2OOkV/cm，试求该电容器可能承受的最高电压。解：设该电容器的内、外柱半径分别为 a和b，内、外柱带电分别为和-'，则内、外柱间的场分布为(a<r<b)&E 二2阿该场强的最大值也是击穿场强 Eo,可

25、令上式中的r =a，即两极间的电势差b扎b drbbu ab 二.Edr!In-aEo lna2二；a r2二；aa2 二 a(*)根据最值条件，可令dU = E0 In? aE0即=E0( |R 1) =0daab I a 丿abbin 1 ,a 二一ae代入(*)式即可得到该电容器可能承受的最高电压max_?E- 匚0e32 200 1032.7182= 1.47 105 V习题8 26图示为一球形电容器，在外球 壳的半径b及内外导体间的电势差 U维持 恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使 内球表附近的电场强度最小？并求这个最小 电场强度的大小。解：内外导体间的电势差满足下面关系U -(

26、-)4 二；0 a b内球表面附近的电场强度可表示为把代入得q4二；°a2bU(1-1)a2a bab - a2二 bUmin 一2ab abU = 4Ub2 2 -b2 4 b把对a求导数并令其等于零dEd * bU 、 bU(2a-b) ndada iab-a2 丿 (ab-a2)2解得所以，当a=b/2时，内球表附近的电场强度最小；这个最小电场强度的大小为习题827图示为两个同轴带电长直金属圆筒，内、 外筒半径分别为 R1和R2,两筒间为空气，内、外筒电 势分别为 5=25，U2=U。，U0为一已知常量。求两金属筒之间的电势分布。 解：两金属筒之间的电势差为r2扎r2 dr扎R

27、2U12 =2U0 U0 二U0 E drIn 2R2兀g0只r 2瓏0R1所以设距轴线为r(Ri<r<R2)处的电势为U(r),则该处与外筒之间的电势差为因此,U(r) -UoE dr =2二；0drInR2In(R2 Ri)InR2U小Uo点石谆这就是两金属筒之间的电势分布。该步也可以有如下等价作法：因内筒与r处的电势差为所以,2Uo -U(r)二 Edr 二R12昭0U(r) = 2U°r InRiUoIn(R2 Ri)In(R2 Ri)r InRiU为定值的电源充n倍时外力所作的习题828 一电容为C的空气平行板电容器，接上端电压 电。在电源保持连接的情况下，试求

28、把两个极板间距增大至分析：由于电源保持连接，所以在把两个极板间距拉大的过程中，外力与 电源共同对系统作功，拉大的过程所满足的功能关系应为A外 ' A 电源二 We我们只要算出系数能量的增量We和电源作的功A电源就能求得外力的功A外解：因为保持与电源连接，因而两极间的电势差 U不变。由于在极板间距 拉大的过程中，电容器的电容从Cndn变到 所以电容器能量的增量为1 2 1 2 1 2 1：We =W -WC U CU CU (1)：0n在极板间距拉大的过程中，电容器上带电从Q变到Q ，电源所作的功为1A电源=(Q -Q)U =(CU -CU)U 二 CU (-1) ： 0n由功能关系A外

29、 - A 电源二=We可得外力所作的功为1 2 1 2 1A外WA电源 YCU (JCu (7-1)可见，在极板间距拉大的过程中外力作正功。注意：对电容器来说，保持与电源连接，其两极电压U不变，可用公式1We二CU 2来进行计算或讨论其能量；若充电后断开电源，则极板带电量Q不2变'这时可用公式叫冷曾来进行计算或讨论其能量。计算作功要搞清系统和外界，对本题“外界”有两家：外力和电源；对如 2000.1习题集15112 题就与此题不同，可参见以下的本章补充习题答案。静电场中的导体和电介质一章补充习题答案习题15112(2000.1习题集)一平行板电容器的极板面积为 S=1m2，两极板夹 着

30、一块d=5mm厚的同样面积的玻璃板。已知玻璃的相对介电常数:r=5。电容器充电到电压U=12V以后切断电源，求把玻璃板从电容器中抽出来外力需作多 少功。分析：电源已切断，只有外力作功，功能关系为：人外=心We。解：切断电源前后极板上电荷不变，该电荷为切断电源前的电荷：Q 二 CUu8.85 102 5 1 125 汉 10°= 1.062 10%式中C为未抽出玻璃板时电容器的电容值。当抽出玻璃板后，电容器的电容值 变为C =8.85 102 15 10= 1.77 10F根据功能关系，可得抽出玻璃板过程中外力所作的功为A外 We =W -W =1Q2丄2 C 2C;r则导体片C的电势为Uc=则导体片C的电势为Uc=72(1.062 10 )2 1.77 10