空间点到直线距离的多种解法

1、空间点到直线距离的多种解法摘 要 在空间解析几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外当点在直线外时，点到直线距离的计算随之出现关于解决点到直线距离的问题，涵盖了空间解析几何中两点间距离、向量运算、直线方 程、平面方程等诸多知识点本文将对一具体例题，介绍点到直线距离的多种解法关键词点、直线、距离、向量、平面、解法例：求点A2，4，1到直线L: ZJ X 2的距离2231运用向量积的计算及向量积的几何意义直线方程-Xl -，直线外一点A x0, y0, Zq，直线上X Y Z一点xn Xi, z，以v和 A构成平行四边形，这里v IV为底

2、的高.即d=* fyoy1zoZ1ZoZ1XoX1-oX1yo *Av,YZZXXYv、丈 Y2 Z2解：如图1，过点A作直线L的垂线，垂足为B.设 -1，0, 2为 L上任一点，v=2，2, -3为L的方向向量.以v和 A为两边构成平行四边形S= A v ，显然点A到直线L的距离AB就是这平行四边形的对应于以iv为底的高即 AB = S =vA vIT4121323423322223 2、22 22=32运用平面方程、参数方程及线面交点的方法x Xt x1yjy1 转化成参数方程y Yt yi由此设出垂足B坐标,X Y Zz Zt z又因为垂足B在平面方程上，即可得出B点坐标.再由两点间距离

3、公式得出点到直线的距离解：先求过点A与直线L垂直的平面方程.用点法式，得2x-2+2(y-4)-3(z-1)=0即 2x+2y-3z-9=0x 2t 1将直线L方程用参数方程表示为y 2tz 3t 2由此设垂足B的坐标为2t-1，2t,-3t+2因B在垂面上得4t-2+4t+9t-6-9=0即t=1所以点B坐标为1, 2, -1所以 AB = . (2一1)2一(4一2)2(1一1)2 =33运用两点间距离公式及参数方程的方法将直线方程匕丄三上转化成参数方程，可设出直线上任一点X Y ZA |的表达式，用取A |最小值的方法即得出点到直线的距离.x 2t 1解： 由直线L的参数方程y 2t可设

4、L上任一点z 3t 2的坐标为2t-1,2t,-3t+2由两点距离公式得 A =( 3t 1)2=17t2 34t 26=17t 1 2 9可得当t=1时，A 最小值为3 所以点到直线距离为34运用两向量垂直，数量积为零的结论由直线方程、1 乂丄三上可设出垂足 B的坐标，显然AB V,由 X Y ZAB v=0得到点B的坐标，由两点距离公式得到点到直线的距离.解：由直线L的参数方程，可设垂足 B的坐标为2t-1,2t,-3t+2直线L的方向向量V=2，2, -3AB =2t-3,2t-4,-3t+1显然 AB v，得 AB v =0即 2(2t-3)+2(2t-4)-3(-3t+1)=0得t=

5、1所以点B坐标为1, 2, -1即 AB = . (2一1)2(42)2(1 1)2 =35运用向量及三角函数的方法连接直线上的点与线外点A得到与直线的夹角，贝U coscosA v<26sin= 1 cos2326sin = .1 cos2，d= I A sin 即得点到直线的距离解：如图1，A=3，4, -1， v =2，2, -3A =J3242( 1)2 =V26AB = A sin =36利用点到平面距离公式的方法确定线外点A和直线所确定的平面并作出一个过直线且垂直于点和直线所确定平面的另一平面，所求d即为点到作出平面的距离解：如图(2),设点A和直线L所确定的平面为 过直线L

6、且垂直于的平面为.于是所求距离设平面的法向里为n，那么nv另一方面，nnn为平面的法向量因此n= nv而n =A v所以 n=A vv=Av vw*v vA3,4, 12,2,33,4, 1La(2)d即为点A到平面的距离.=171, 2, 2不妨取n= 1, 2, 2 .得平面 的方程为-(x+1)-2y-2(z-2)=0即 x+2y+2z-3=02 2 4 2 1 3 d=3J2小2小2、1 2 27运用点与点关与直线对称的方法.找出直线外一点A的对称点A，可知AA v=0得到一个式子1，又因AA 中点在直线上可得到另一个式子2，解出由12两式所组成的方程组， 即得A的坐标，由d=AA得出

7、点到直线的距离.2解：设点A关于直线L的对称点为A x , y ,z，贝U A A v=0即 2 2 x 2 4 y 31 z =0 又AA的中点a2,在直线L上解式组成的方程组，得A的坐标为0,0, 3 .AA= 2,4,4d=AA2122 42 42=38运用求极限的方法.对于直线上任一点，由直线方程廿 片 迸得出的坐标，得到AM|的表达式，利用取极小值的方法，即得点到直线的距离解： 设为直线L上一点由口 V 知点坐标为y 1,y,d2 2 3 2八一 |22 3y 42AM=v(y 1 2) (y 4)(占 1)片 17y 261717对于x 17 y2 17y 26因17 > 0故x有极小值44极小值为抛物线x 17 y2 17y 26顶点的纵坐标.4x=9AM|有极小值3d=3.9运用球面和直线相切的方法以直线外一点为中心作一球面并与直线相切，中心到切点的距离即半径也就是点到直线的距离.2 2 2y 4 2z 1 2d2设球 面 方程2