点线面关系知识总结和练习题(有答案)

1、点线面位置关系总复习知识梳理、直线与平面平行1定义法：直线与平面无公共点。2判定定理:a/a / /b3其他方法:/a/a/2性质定理：a卜 a/b二、平面与平面平行1定义法：两平面无公共点。a/b/2判定定理:3其他方法:/a/2.性质定理:a * a/b三、直线与平面垂直1定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。 2判定方法 用定义.aabc判定定理:bcA> abca推论： ba/b J3性质卜 a/b四、平面与平面垂直1定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。2判定定理3性质性质定理PA垂足为A丿PAPA“

2、转化思想面面平行 *线面平行 线线平行面面垂直 线面垂直 线线垂直求二面角1. 找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线，它们所成的角就是二面角的平面角2.在二面角 -的棱上任取一点0,在两半平面内分别作射线0A丄1, 0B丄I,那么/ A0B叫做二面角的平面角例1.如图，在三棱锥 S-ABC中，SA底面ABC, AB BC, DE垂直平分 SC,且分别交 AC于D,交SC于E,又SA=AB, SB=BC求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角或斜线和平面的夹角方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，

3、利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该 线与平面的夹角。例2:在正方体 ABCD- A1B1C1D1中， BC1与平面AB1所成的角的大小是 ; BD1与平面AB1所成的角的大小是 ; CC1与平面BC1D所成的角的大小是 ; BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是 BD1 与平面 BC1D 所成的角的大小是 ；例3:空间内一点 0出发的三条射线 OA、OB、OC两两夹角为60°,试求OA与平面BOC所成的角的大小.求线线距离说明： 求异面直线距离的方法有：(1) 直接法当公垂线段能直接作出时,直接求.此时,作出并证明异面直线的公垂线段,是求异面直线 距离的关键.(2) 转

4、化法把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a、b距离，先作出过a且平行于b的平面 ，那么b 与 距离就是 a、 b 距离.线面转化法 .也可以转化为过 a平行b的平面和过b平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离.面面转化法.(3) 体积桥法利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求.(4) 构造函数法常常利用距离最短原理构造二次函数,利用求二次函数最值来解.两条异面直线间距离问题,教科书要求不高要求会计算已给出公垂线时的距离,这方面的问题的其他解法,要适度接触,以开阔思路,供学有余力的同学探求.例：在棱长为a的正方体中，求异面直线 BD和之间的距离。线面平行包括线面距离例：点S是正

5、三角形ABC所在平面外的一点，且 SA SB SC, SG为SAB上的高，D、E、F 分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF内的位置关系，并给予证明面面平行包括面面距离例1：正方体ABCD ABCiDi，求证 平面BiADi/平面BGDI和例2：在棱长为a的正方体中，求异面直线 BD和B1C之间的距离.面面垂直例1:直线PA垂直正方形 ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面 PAC平面PBDb例2：直线PA垂直于 0所在的平面，A为垂足，AB为 0的直径，C是圆周上异于 A、B的一点。求证:平面 PAC 平面 PBC。课后作业：一、选择题1. 教室内任意放一支笔直的铅笔，那么在

6、教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线()A. 平行B.相交C. 异面D. 垂直2. 假设m、n是两条不同的直线，a、氏y是三个不同的平面，那么以下命题中的真命题是()A. 假设m?伏a丄3贝V m丄aB. 假设ad尸m, 阳 尸n, m/ n,贝V a/ 3C. 假设m丄3, m/ a,贝V a丄3D. 假设a丄y a丄3,贝U 3丄丫3. (改编题)设P是厶ABC所在平面外一点，P到厶ABC各顶点的距离相等，而且P到厶ABC各边的距离也相等，那么 ABC( )A. 是非等腰的直角三角形B. 是等腰直角三角形C. 是等边三角形D.不是A、B、C所述的三角形4把等腰直角 ABC沿斜边上的高AD

7、折成直二面角B AD C,那么BD与平面ABC所成角的正切值为 ()A.眾B.2d£ACB所在平面，那么5如图， ABC为直角三角形，其中/ ACB = 90° M为AB的中点，PM垂直于( )A. FA = PB>PCB. PA = FB<FCC. FA = FB = FCD. FA 工 FB 工 FC二、填空题：6. 正四棱锥S ABCD的底面边长为2,高为2, E是边BC的中点，动点F在外表上运动，并且总保持FE丄AC,那么动点F的轨迹的周长为7. a B是两个不同的平面，m、n是平面a及B之外的两条不同直线， 给出四个论断：m丄n；a丄n丄B； m丄a以

8、其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题:三、解答题11. 如图(1)，等腰梯形 ABCD 中，AD / BC, AB = AD，/ ABC = 60 ° E 是 BC 的中点，如图(2)，将 ABE 沿 AE 折起，使二面角 BAE C成直二面角，连接 BC, BD, F是CD的中点，F是棱BC的中点.(1) 求证：AE丄BD;求证：平面 FEF丄平面 AECD ;(3)判断DE能否垂直于平面 ABC ?并说明理由12. 如图，FA 矩形ABCD所在平面。M,N分别是AB, FC的中点。(1求证：MN 面FAD(2) 求证：MN CD(3) 假设 FDA

9、 45°,求证：MN 面 FCD12.如下列图， BCD 中，/ BCD = 90° BC= CD= 1 , AB丄平面 BCD,AE AF上的动点，且AC ADX0< xi).(1)求证：不管入为何值,总有平面 BEF丄平面 ABC;当入为何值时，平面BEF丄平面ACD ?13.如图，在矩形 ABCD中，AB = 2BC, P、Q分别为线段 AB、CD的中点，EP丄平面 ABCD.(1)求证：DP丄平面EPC ;(2)问在EP上是否存在点F使平面AFDL平面BFQ假设存在，求出AP的值.参考答案求二面角,它们所成的角就分析：找二面角的平面角，有一种方法是找出垂直于棱

10、的平面与二面角的两个面相交的两条交线 是二面角的平面角丄朋C±DEJ解：卜二SC丄平面EDE n 5C丄DB 片 SAJ_平面 ABC 二SIDEED丄平面SAC二血丄加=ZEDC是二画SD丄DCi角EDB-C的平面角SA=AB=1,那么 BC=SB=72 1 3C二 2 , BC 二d£直丄平曲ABCBC1SB_丄 AE在 Rt SA中，SA=1, SC=2/ ECA=30 ,在 Rt DE中，/ DEC=90 ,/ EDC=60 ,所求的二面角为60。求线线距离解法1:直接法如图:取BC的中点P，连结PD、PB分别交AC、BC1于M、N两点,易证：DB1/MN DB1

11、AC DB1 BC1 MN为异面直线AC与BC1的公垂线段，易证:MNIDB1 企33小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解但通常寻找公垂线段时，难度较大.解法2:转化法如图:/ AC / 平面 ACiB ,. AC与BG的距离等于AC与平面ACiB的距离,在Rt 0B。1中，作斜边上的高0E，那么0E长为所求距离,0BOOi01BOE00“ OBOiB小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离.解法3:转化法如图:.平面ACD1 /平面. AC与BG的距离等于平面ACDi与平面A1C1B的距离.DB1平面ACDi，且被平面ACDi和平面AGB三等分;.所求距离为1 -BiD

12、3小结：这种解法是线线距离转化为面面距离. 解法4:构造函数法如图：任取点Q BC1，作QR BC于R点，作PK AC于K点，设RC x,那么BRQR ax CKKR，且 KR2CK2 CR2KR22cr2QK那么(ax)2|(x fa)223故QKAC与BC1的距离等于.3a3的最小值，即小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数， 通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离.那么 VC A1C1B Va1 BCC1AC与平面AC1 B的距离后，设C点到平面A1C1B的距离为h ,、33h aa3 .即AC与BC1的距离等于3 小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距

13、离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之这 种方法在后面将要学到线面平行例：分析1:如图，观察图形，即可判定 SG/平面DEF，要证明结论成立，只需证明 SG与平面DEF内的一条直 线平行观察图形可以看出：连结 CG 与 DE 相交于 H ，连结 FH ， FH 就是适合题意的直线怎样证明 SG / FH ？只需证明 H 是 CG 的中点证法1:连结CG交DE于点H ,/ de是ABC的中位线，DE / AB .在 ACG 中， D 是 AC 的中点，且 DH / AG ，. H 为 CG 的中点/ FH 是 SCG 的中位线， FH / SG .又 SG 平面 DEF ， FH 平面 D

14、EF ，. SG/ 平面 DEF 分析2：要证明SG/平面DEF，只需证明平面 SAB/平面DEF，要证明平面DEF /平面SAB，只需证明SA/ DF , SB/ EF而SA/ DF , SB/ EF可由题设直接推出.证法2： / EF为SBC的中位线，. EF / SB / EF 平面 SAB , SB 平面 SAB ,. EF /平面 SAB.同理： DF / 平面 SAB ， EF DF F平面SAB/平面DEF，又SG 平面SAB ,SG/ 平面 DEF .面面平行例一：证明：/ ABCD-ABiCQ为正方体,D1A/C1B又Ci B平面CiBD故D1A/平面C1BD同理D1B1 /

15、平面C1BD又 D1A D1B1D1平面ARDr / 平面 C1BD例二：根据正方体的性质，易证：BD/B1D1十工十工平面ABD/平面CB1D1A|B/ D1C连结AC1，分别交平面ABD和平面CB1D1于M和N因为CG和ACi分别是平面ABCD的垂线和斜线，AC在平面ABCD内，AC由三垂线定理：ACi BD,同理：ACi AD ACi平面ABD，同理可证：ACi平面CBiDi.平面ABD和平面Cbidi间的距离为线段MN长度.如下列图：BD在对角面AC1中，°为AG的中点，。为AC的中点AM MNNCi3AC1一 a鱼aBD和BlC的距离等于两平行平面 ABD和CBQ1的距离为3面面垂直例2:lK7/jeAI3CDj11 AC丄 IWi'A i T i&jAncnl =>PA1BDHDu 平面 ABCDj>屁j f iftjPAC, FA j 'f trPAGA<?n PA = A,nBD丄TffiFAC =甲血瞅产血丹心 BDc ftlPBD .C是圆周上异于A、B的一点