1-1-1正弦定理

1、【课标要求课标要求】 1了解正弦定理的推导过程了解正弦定理的推导过程 2掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形问题掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形问题【核心扫描核心扫描】 1利用正弦定理进行边角转化解决三角形问题利用正弦定理进行边角转化解决三角形问题(重点重点) 2已知两边和其中一边的对角判断三角形解的情况已知两边和其中一边的对角判断三角形解的情况(难点难点)1.1.1 正弦定理正弦定理1.1正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理正弦定理正弦定理自学导引自学导引正弦的比正弦的比1 ：尝试用向量方法证明正弦定理尝试用向量方法证明正弦定理当当ABC为直角三角形时，由三角函数定义知，显然成立为直

2、角三角形时，由三角函数定义知，显然成立图图2图图1解三角形解三角形(1)把三角形的把三角形的_和它们的和它们的_，叫做三角形的元素叫做三角形的元素(2)已知三角形的几个元素求已知三角形的几个元素求_的过程叫做解三角的过程叫做解三角形形2三个角三个角A，B，C对边对边a，b，c其他元素其他元素 ：在：在ABC中，已知角中，已知角A，B和边和边a，利用正弦定，利用正弦定理，你能求角理，你能求角C和边和边b，c吗？吗？正弦定理的常见变形正弦定理的常见变形(1)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B.(2)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即三角形的边长之比等于

3、对应角的正弦比，即a b csin A sin B sin C.名师点睛名师点睛1利用正弦定理解三角形常见的两种类型利用正弦定理解三角形常见的两种类型(1)已知两角与任一边，求其他两边和一角已知两角与任一边，求其他两边和一角(2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，从而求已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角出其他的边和角如在如在ABC中，已知中，已知a，b和角和角A时，解的情况如下：时，解的情况如下：2A为锐角为锐角A为钝角或直角为钝角或直角图图形形A为锐角为锐角A为钝角或直角为钝角或直角关系式关系式absin Absin Aababab解的个解的个数数一解一解

4、两解两解一解一解一解一解题型一已知三角形的两角及一边解三角形题型一已知三角形的两角及一边解三角形 在在ABC中，已知中，已知a8，B60，C75，求，求A，b，c.思路探索思路探索 先求角先求角A，再用正弦定理求，再用正弦定理求b和和c. 【例例1】 已知三角形的两角和任一边解三角形，已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角角(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角若所给边不是已知角的对边时，先

5、由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边在在ABC中，中，a5，B45，C105，求边，求边c.【变式变式1】 在在ABC中，分别根据下列条件解三角形：中，分别根据下列条件解三角形：思路探索思路探索 解题的关键是判断解的个数解题的关键是判断解的个数题型题型二二已知两边及一边的对角解三角形已知两边及一边的对角解三角形【例例2】 利用正弦定理解决利用正弦定理解决“已知三角形的任意已知三角形的任意两边与其中一边的对角求其他边与角两边与其中一边的对角求其他边与角”的问题时，的问题时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合可能出现一解、两解或无解的

6、情况，应结合“三角三角形大边对大角形大边对大角”来判断解的情况，做到正确取舍来判断解的情况，做到正确取舍 满足满足a4，b3和和A45的的ABC的个数为的个数为 ()A0个个 B1个个 C2个个 D无数多个无数多个ba，B有一解，故有一解，故ABC的个数为的个数为1个个答案答案B【变式变式2】 在在ABC中，若中，若sin A2sin Bcos C，且，且sin2Asin2Bsin2C，试判断，试判断ABC的形状的形状思路探索思路探索 首先利用正弦定理将首先利用正弦定理将sin2Asin2Bsin2C中的中的角的关系转化为边的关系，再利用内角和角的关系转化为边的关系，再利用内角和ABC及及三角

7、函数的知识判断形状三角函数的知识判断形状题型题型三三利用正弦定理判断三角形的形状利用正弦定理判断三角形的形状【例例3】A90，BC90.由由sin A2sin Bcos C，得，得sin 902sin Bcos(90B)，ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，ABC是直角三角形且是直角三角形且A90.A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos C.sin Bcos Ccos Bsin C0，即即sin(BC)0.BC0，即，即BC.ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形【题后反思题后反思】 依据条件中的边角

8、关系判断三角形的形状依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论在这个结论在两种解法的

9、等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解项提取公因式，以免漏解 在在ABC中，已知中，已知a2tan Bb2tan A，试判断，试判断ABC的形状的形状sin Acos Asin Bcos B，即，即sin 2Asin 2B.2A2B或或2A2B，即即AB或或AB .ABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形【变式变式3】 (12分分)在锐角在锐角ABC中，角中，角A，B，C分别对应边分别对应边a，b，c，且，且a2bsin A，求，求cos Asin C的取值范围的取值范围审题指导审题指导 本题综合考查了正弦

10、定理、三角恒等变换及三本题综合考查了正弦定理、三角恒等变换及三角函数性质的应用角函数性质的应用规范解答规范解答 设设R为为ABC外接圆的半径外接圆的半径a2bsin A，2Rsin A4Rsin Bsin A，题型题型四四利用正弦定理求最值或范围利用正弦定理求最值或范围【例例4】【题后反思题后反思】 在三角形中解决三角函数的取值范围或最在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法：值问题的方法：(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量量(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函

11、数(三三角函数角函数)，从而转化为函数的值域或最值的问题，从而转化为函数的值域或最值的问题【变式变式4】 在在ABC中，角中，角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，若若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断三角形，试判断三角形的形状的形状错解错解 由已知得由已知得(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)，化简得化简得a2cos Asin Bb2sin Acos B，由正弦定理得由正弦定理得sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，即即sin Acos Asin Bcos B，所以，所以sin 2Asin 2B，所以所以2A2B，即，即AB，故三角形是等腰三角形，故三角形是等腰三角形【示例示例】 误区警示忽视等价转化而致误误区警示忽视等价转化而致误 当两个角的某三角函数值相等时，我当两个角的某三角函数值相等时，我们并不能肯定这两个角一定相等，一定要根据两们并不能肯定这两个角一定相等，一定要根据两个角的取值范围结合诱导公式写出所有的情况个角的取值范围结合诱导公式写出所有的情况正解正解 易得易得sin 2Asin 2B，所以所以AB或或AB ，所以所以A