北师八年级下《分式》教案第一节分式

1、第一节 分式第三章 分式课时安排8课时第一课时课 题§3.1.1 分式（一）教学目标（一）教学知识点1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.（二）能力训练要求1.能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，进一步培养符号感.2.培养学生认识特殊与一般的辩证关系.（三）情感与价值观要求通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心.教学重点1.了解分式的形式（A、B是整式），并理解分式概

2、念中的一个特点：分母中含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不得为零.2.掌握分式基本性质的内容，并有意识地运用它化简分式.教学难点1.分式的一个特点：分母含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不能为零.2.分子分母进行约分.教学方法讲练相结合教具准备投影片：第一张：固沙造林，绿化家园，（记作§3.1.1 A）；第二张：做一做，（记作§3.1.1 B）；第三张：议一议，（记作§3.1.1 C）；第四张：例1，（记作§3.1.1 D）；第五张：练一练，（记作§3.1.1 E）.教学过程.创设问题情境，引入新课师我们先试着解答下面的

3、问题：出示投影片（§3.1.1 A）面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷？这一问题中有哪些等量关系？如果原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要_个月，实际完成一期工程用了_个月.根据题意，可得方程_.生根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.（1）生这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.（2）师这两位同学真棒！在这个问

4、题中，谁能告诉我涉及到哪些基本量呢？它们的关系是什么？生涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率×工作时间.师如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？生因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x公顷.师这种设未知数的方法恰好与投影片（§3.1.1 A）中设未知数的方法相同.下面同学们自己在练习本上回答投影片（§3.1.1 A）中的几个问题.（教师可巡视同学们回答问题情况）.生原计划完成一期工程需个月，实际完成一期工程需c个月，根据

5、等量关系（1）可列出方程：+4=.师同学们可接着思考：如何用等量关系（2）设未知数，列方程呢？生因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间.不妨设原计划x个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为公顷，实际每月固沙造林公顷，根据题意可得方程.师同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？生我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量.如，,.这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程，但分母中含有字母，要求出它的解，好像很不容易.师的确如此.像这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出

6、现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式.从现在开始我们就来研究分式，相信同学们只要去认真了解分式家族中每个成员的特性，不久的将来，一定会很迅速准确解出上面两个方程.讲授新课1.通过实例理解分式的意义及分式与整式的区别.师下面我们再来看几个问题：出示投影片§3.1.1 B做一做（1）正n边形的每个内角为_度.（2）一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为m kg，箱子的质量为n kg，则每千克苹果的售价是多少元？（3）有两块棉田，有一块x公顷，收棉花m千克，第二块y公顷，收棉花n千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？（4）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是

7、每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？生（1）;（2）元；（3）千克；（4）册师很好！我们再来看投影片（§3.1.1 C）议一议上面问题中出现了代数式，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？（分组讨论后回答）生上面的几个代数式的共同特征：（1）它们都是由分子、分母与分数线构成；（2）分母中都含有字母.生它们与整式的不同点就在于它们的分母中都含有字母，而整式的分母中不含有字母.例如：它们都含有分母，但分母中不含字母，所以它们是整式.师同学们能够结合前后知识理解上述代数式，很好！下面我们给出这种代数式即分

8、式的概念：整式A除以整式B，可以表示成的形式.如果除式B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.分式中，字母可以取任意实数吗？生不可以.因为分式中分母含有字母，而分母是除式，不能为零.字母的取值就受到制约即字母的取值不能使分母为零，否则，分式就会无意义.2.例题讲解师下面我们接着来看投影片（§3.1.1 D）想一想（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？5x7,3x21,5,.（2）当a=1，2时，分别求分式的值.当a为何值时，分式有意义？当a为何值时，分式的值为零？生（1）中5x7,3x21, ,5, 是整式；,是分式.（2）解：当a=1时，=1;当a=

9、2时，=.当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.由分母2a=0，得a=0.所以，当a取零以外的任何实数时，分式有意义.分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零.因此a的取值有两个要求：所以，当a=1时，分母不为零，分子为零，分式为零.随堂练习巩固分式的概念，讨论分式有意义的条件限制.出示投影片（§3.1.1 E）1.当x取什么值时，下列分式有意义？（1）；（2）;（3）分析：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.解：（1）由分母x1=0，得x=1.所以，当x取除1以外的任何实数时，分式都有意义.（2）由分母x29=0，得x=&

10、#177;3.所以，当x取除3和3以外的任何实数时，分式都有意义.（3）由分母x2+1可知，x取任何实数时，x2是一个非负数，所以x2+1不管x取何实数时，x2+1都不会为零.即x取任何实数，都有意义.2.把甲、乙两种饮料按质量比xy混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制1 kg这种混合饮料需多少甲种饮料？解：根据题意，调制1 kg这种混合饮料需 kg甲种饮料.课时小结师通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）生今天，我们认识了代数式里一个新的成员分式.生我们从实例中发现了分式和整式的不同的地方：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母，并且还由除式不能为零，即分母不能为零，明

11、白了分式中的字母是有条件约束的，分式中的字母的取值必须保证分母不为零.生.课后作业习题3.1.第1、2、3题.活动与探究已知x=,求的值过程直接代入求值，显然很麻烦，由已知 x=，得2x=+1,2x1=.所以（2x1）2=5,x2x1=0即x2=x+1.我们利用x2=x+1可以使降次从而求出它的值.结果=.板书设计§311 分式（一）一、分式的意义整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式.注：1°对于任意一个分式，分母都不能为零.2°分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.3°分式的值为零含两层意思：

12、分母不等于零；分子等于零.二、例题三、随堂练习第二课时课 题§3.1.2 分式（二）教学目标（一）教学知识点1.分式的基本性质.2.利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形.3.了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法.4.使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式.（二）能力训练要求1.能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质.2.培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力.（三）情感与价值观要求通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣.教学重点1.分式的基本性质.2.利用分式的基本性质约分.3.将

13、一个分式化简为最简分式.教学难点分子、分母是多项式的约分.教学方法讨论自主探究相结合教具准备投影片六张：第一张：问题串，（记作§3.1.2 A）；第二张：例2，（记作§3.1.2 B）；第三张：例3，（记作§3.1.2 C）；第四张：做一做，（记作§3.1.2 D）；第五张：议一议，（记作§3.1.2 E）；第六张：随堂练习，（记作§3.1.2 F）.教学过程.复习分数的基本性质，推想分式的基本性质.师我们来看如何做不同分母的分数的加法：+ .生+=+=+=.师这里将异分母化为同分母，=,=.这是根据什么呢？生根据分数的基本性质：分数

14、的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.师很好！分式是一般化了的分数，我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢？.新课讲解1.分式的基本性质出示投影片（§3.1.2 A）（1）=的依据是什么？（2）你认为分式与相等吗？与呢？与同伴交流.生（1）将的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到.即=.依据是分数的基本性质：分数的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.（2）分式与相等，在分式中，a0，所以=;分式与也是相等的.在分式中，n0，所以=.师由此，你能推想出分式的基本性质吗？生分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分

15、式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变.师在运用此性质时，应特别注意什么？生应特别强调分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.师我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形.同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形.下面我们就来看一个例题（出示投影片§3.1.2 B）例2下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）=（y0）；（2）=.生在（1）中，因为y0，利用分式的基本性质，在的分子、分母中同乘以y，即可得到右边，即=；师很好！在（1）中，题目告诉你y0，因此我们可用分式的基本性质直接求得.

16、可（2）中右边又是如何从左边得到的呢？生在（2）中，可以分子、分母同除以x得到，即 =.生“x”如果等于“0”，就不行.在中，x不会为“0”，如果是“0”，中分母就为“0”，分式将无意义，所以（2）中虽然没有直接告诉我们x0，但要由得到，必须有意义，即bx0由此可得b0且x0.师这位同学分析得很精辟！2.分式的约分.师利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简.我们不妨先来回忆如何对分数化简.生化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简.例如，3和12的最大公约数是3，所以=.师我们不妨仿照分数的化简，来推想对分式化简.（出

17、示投影片§3.1.2 C）例3化简下列各式：（1）;（2）.师在分数化简中，我们约去了分子、分母的公约数，那么在分式化简中，我们应如何办？生约去分子、分母中的公因式.例如（1）中a2bc可分解为ac·（ab）.分母中也含有因式ab,因此利用分式的基本性质：=ac.师我们可以注意到（1）中的分式，分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可.这样的公因式如何分离出来呢？同学们可小组讨论.生如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低次幂.师回答得很好.可（2）中的分式，分子、分母都是多项式，又如何化简？生通

18、过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式.师这个主意很好.现在同学们自己动手把第（2）题试着完成一下.生解：（2）=.生老师，我明白了，遇到分子、分母是多项式的分式，应先将它们分解因式，然后约去公有的因式.师在例3中，=ac，即分子、分母同时约去了整式ab; =，即分子、分母同时约去了整式x1.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分.下面我们亲自动手，再来化简几个分式.（出示投影片§3.1.2 D）做一做化简下列分式：（1）;（2）.生解：（1）=;（2）=.师在刚才化简第（1）题中的分式时，一位同学这样做的（出示投影片§3.1.2 E）议一议在化简

19、时，小颖是这样做的：=你对上述做法有何看法？与同伴交流.生我认为小颖的做法中，中还有公因式5x，没有化简完，也就是说没有化成最简结果.师很好！如果化简成，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最简分式.因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式.巩固、提高出示投影片（§3.1.2 F）1.填空：（1）=;（2）2.化简下列分式：（1）;（2）.解：1.（1）因为=所以括号里应填2x2+2xy;（2）因为=.所以括号里应填y2.2.（1）=;（2）=.课时小结师通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）生数学知识之间是有内在联系的.利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质

20、.生分式的约分和化简可联系分数的约分和化简.生化简分式时，结果一定要求最简.课后作业课本习题3.2及读一读.活动与探究实数a、b满足ab=1，记M=+,N=+，比较M、N的大小.备课资料一、参考例题例1当x为何值时，下列分式有意义：（1）;（2）;（3）解：（1）由分母x1=0，得x=1.所以当x1时，分式有意义.（2）由分母|a|1=0，得a=±1.所以当a±1时，分式有意义.（3）对任何实数x2+10.所以x为任何实数时，分式有意义.例2x为何值时，下列分式的值为0？（1）;（2）解：（1）由分子x1=0，得x=1而当x=1时，分母x+1=1+1=20.所以当x=1时，

21、分式的值是0.（2）由分子（x2）（x3）=0，得x=2或3.而当x=2时，分母x290;当x=3时，分母x29=0.所以，当x=2时，分式的值为0.二、参考练习1.填空题下列有理式中：;中，整式有_，分式有_.（只填序号）.（2）如果分式没有意义，那么x的值是_.（3）当x=_时，分式无意义.（4）当x满足_时，分式有意义.（5）当x满足_时，分式的值为负数.2.当x取何值时，分式的值为正数？3.当a取何值时，的值为非负数？4.当y取何值时，的值为非正数？答案：略备课资料一、参考例题例1判断题：（1）如果M、N都是整式，则是分式.（2）如果N中不含字母，则一定不是分式.（3）当x=2时，的值

22、为零. （4）=.（5）=.解：（1）×.例如：x和2都是整式，不是分式，而是整式，因为分母中不含有字母.（2）×.例如M=,N=2，显然是分式.（3）×.当x=2时，x24=224=0,分式无意义.（4）.因为（ba）2=（ab）2,所以=.（5）×.因为（ba）3=（ab）3=（ab）3.所以=.例2如果分式的值是负数，那么x的值是A.x1B.x3C.1x3D.x1或x3解：由题意，得0,所以，或.前一个不等式组的解集是1x3,后一个不等式组无解.答案：C二、参考练习1.当x=_时，分式无意义.2.当x_时，分式有意义.3.当a_时，分式有意义.4.

23、下列各式中，对任意x都有意义的是A.B.C.D.5.使分式无意义的y的值是A.y=2B.y=2C.y2且y2D.y=2或y=26.要使分式的值为零，则x=_.7.下列各式中与相等的是A.B.C.（xy）D.8.有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值.从中先取出1米长的电线，称出它的质量为a，再称其余电线的总质量为b，则这捆电线的总长度是_米.参考答案：1.x=3;2.为的所有实数；3.±5的所有实数；4.C 5.D 6.0 7.C 8.（+1）或.第三章 分 式1.分 式(第一次作业)作业导航理解分式的意义，会求分式有意义的条件及分式的值.一、选择题1.已知分式有意义，则x的取值

24、为( )A.x1B.x3C.x1且x3D.x1或x32.下列分式，对于任意的x值总有意义的是( )A.B.C.D.3.若分式的值为零，则m取值为( )A.m=±1B.m=1C.m=1D.m的值不存在4.当x=2时，下列分式中，值为零的是( )A.B.C.D.5.每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )A.元B.元C.元D.()元二、填空题6.下列各式：中，是分式的为_.7.当x_时，分式有意义.8.当x=_时，分式的值为1.9.若分式=1，则x与y的关系是_.10.当a=8，b=11时，分式的值为_.三、解答题11.x取何值

25、时，下列分式有意义：(1)(2)(3)12.(1)已知分式，x取什么值时，分式的值为零？(2)x为何值时，分式的值为正数？13.x为何值时，分式与的值相等？并求出此时分式的值.14.求下列分式的值：(1) 其中a=3.(2) 其中x=2，y=1.参考答案一、1.C 2.B 3.B 4.B 5.B二、6. 7.8 8.2 9.3x=2y 10.二、11.(1)x (2)x±12 (3)x为任意实数12.(1)x=2 (2)x313.x=4时，14.(1)3 (2)11.分 式(第二次作业)作业导航理解分式的意义；理解分式的基本性质及约分的意义，会利用分式的基本性质进行分式的化简与变形.

26、一、选择题1.下列约分正确的是( )A.B.C.D.2.下列变形不正确的是( )A.B.(x1)C.=D.3.等式成立的条件是( )A.a0且b0B.a1且b1C.a1且b1D.a、b 为任意数4.如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值( )A.扩大10倍B.缩小10倍C.是原来的D.不变5.不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为( )A.B.C.D.二、填空题6.在括号里填上适当的整式，使等式成立：7.约分：=_.8.等式成立的条件是_.9.将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，那么变形后的分式为_.10.若2x=y，则分式的值为_.

27、三、解答题11.化简下列分式(1)(2)(3)(4)(5)(6)12.化简求值： 其中x=2，y=3.13.已知=2，求的值.*14.已知，求的值.参考答案一、1.D 2.C 3.C 4.D 5.D二、6.y 2m22mn 7. 8.a±1 9. 10.三、11.(1) (2) (3) (4) (5) (6)12. 13. 14.第三章 分式（15分钟练习一）§3.1 分式（一）班级：_ 姓名：_一、下列说法正确吗？（1）是分式.（ ）（2）不是分式.（ ）（3）若分式有意义，则x1.（ ）（4）当分式的分子为零时，分式的值一定是零.（ ） 二、请你填一填（1）代数式中，是整式的有_，是分式的有_.(2)若M=,则当x_时，M有意义；当x=_时，M=0；当x=_时，M=4.(3)当x_时，分式的值为正数.(4)在正数范围内定义一种运算*，其规则为a*b=，则x*(x+1)=_.三、认真选一选（1）下列分式中，当x=2时，有意义的是（ ）A. B. C.D.（2）不论x取何值时，下列分式总有意义的是（ ）A.B.C.D.(3)若x29=0,则分式的值为（ ）A.1B.5C.1或5D.5四、用分