正弦函数余弦函数的图象

1、第一页，共65页幻灯片2.2.任意给定一个实数任意给定一个实数x x，对应的正弦值（，对应的正弦值（sinxsinx）、余弦值、余弦值(cosx)(cosx)是否存在？惟一？是否存在？惟一？t57301p21.1.在单位圆中，角在单位圆中，角的正弦线、余弦线分的正弦线、余弦线分别是什么？别是什么？P P（x x，y y）O Ox xy yMsin=MPcos=OM第二页，共65页幻灯片4.4.一个函数总具有许多基本性质，要直观一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面人手？我们应从哪个方面人手？3.3.设实数设实数x

2、x对应的角的正弦值为对应的角的正弦值为y y，则对应，则对应关系关系y=sinxy=sinx就是一个函数，称为就是一个函数，称为正弦函数正弦函数；同样；同样y= cosxy= cosx也是一个函数，称为也是一个函数，称为余弦函余弦函数数，这两个函数的定义域是什么？，这两个函数的定义域是什么？第三页，共65页幻灯片第四页，共65页幻灯片问题问题1 1：作函数图象最原始的方法是什么？作函数图象最原始的方法是什么？思考思考1 1：用描点法作正弦函数用描点法作正弦函数y=sinxy=sinx在在00，22内的图象，可取哪些点？内的图象，可取哪些点？思考思考2 2：如何在直角坐标系中比较精确地如何在直角

3、坐标系中比较精确地描出这些点，并画出描出这些点，并画出y=sinxy=sinx在在00，22内内的图象？的图象？第五页，共65页幻灯片xy1-1O222p32psin ,0,2yx x观察函数观察函数y=sinxy=sinx在在00，22内的图象，其内的图象，其形状、位置、凸向等有何变化规律？形状、位置、凸向等有何变化规律？第六页，共65页幻灯片问题问题2 2：在函数在函数y=sinxy=sinx，x0 x0，22的图的图象上，起关键作用的点有哪几个？象上，起关键作用的点有哪几个？x-1O222p32p1y y第七页，共65页幻灯片思考思考3 3：当当x2x2，4, -24, -2，0,0,时

4、，时，y=sinxy=sinx的图象如何？的图象如何？y-1xO123456-2-3-4-5-6-第八页，共65页幻灯片知识迁移：知识迁移：一般地，函数一般地，函数y=f(xy=f(xa)(aa)(a0)0)的图象是由函数的图象是由函数y=f(x)y=f(x)的图象经过怎样的变的图象经过怎样的变换而得到的？换而得到的？ 向左平移向左平移a a个单位个单位. . 思考思考5 5：设想由正弦函数的图象作出余弦函设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象，那么先要将余弦函数数的图象，那么先要将余弦函数y=cosxy=cosx转化转化为正弦函数，你可以根据哪个公式完成这个为正弦函数，你可以根据哪个公式完成

5、这个转化？转化？第九页，共65页幻灯片由诱导公式可知，由诱导公式可知，y=cosxy=cosx与与 是同一个函数，如何作函是同一个函数，如何作函数数 在在00，22内的图象？内的图象？sin ()2yxp=+sin ()2yxp=+xy yO221y=sinxy=sinx22-1-1第十页，共65页幻灯片思考思考4 4：函数函数y=cosxy=cosx，x0 x0，22的图象如何？其中起关键作用的点的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？有哪几个？xy yO22122-1-1第十一页，共65页幻灯片 例例1 1 用用“五点法五点法”画出下列函数的简画出下列函数的简图：图： (1)(1)y=1+

6、sinxy=1+sinx，x0 x0，22； (2)(2)y=-cosxy=-cosx，x0 x0，2 .2 .第十二页，共65页幻灯片x xsinxsinx1+sinx1+sinx1 10 02p32pp2p0 00 00 01 1-1-11 12 20 01 1x-1O222p32p1y y2y=1+sinxy=1+sinx第十三页，共65页幻灯片x xcosxcosx-cosx-cosx1 10 02p32pp2p1 10 00 01 1-1-1-1-10 00 0-1-1x-1O222p32p1y yy=-cosxy=-cosx第十四页，共65页幻灯片 例例2 2 当当x0 x0，22

7、时，求不等式时，求不等式 的解集的解集. .1cos2x50,233pppUxy yO22122-1-112y=第十五页，共65页幻灯片1.1.正、余弦函数的图象每相隔正、余弦函数的图象每相隔22个单位个单位重复出现，因此，只要记住它们在重复出现，因此，只要记住它们在00，22内的图象形态，就可以画出正弦曲线和内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线余弦曲线. .2.2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用题的基本要求，用“五点法五点法”作图是常用的作图是常用的方法方法. .第十六页，共65页幻灯片3.3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研正

8、、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解决有关三角究函数性质的基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种数形结合的函数问题的工具，这是一种数形结合的数学思想数学思想. .作业：作业：P34P34练习：练习：2 2 P46 P46习题习题1.4 A1.4 A组组: : 1 1分两次做作业！中间空开！分两次做作业！中间空开！学案相应课时！学案相应课时！第十七页，共65页幻灯片第一课时第一课时 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第十八页，共65页幻灯片t57301p21.1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二

9、者有何相互联系？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx第十九页，共65页幻灯片t57301p22.2.世界上有许多事物都呈现世界上有许多事物都呈现“周而复始周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺有阴晴圆缺. .这种现象在数学上称为这种现象在数学上称为周期性周期性，在函数领域里，周期性是函数，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质的一个重要性质. .第二十页，共65页幻灯片第二十一页，共65页幻灯片思考思考1 1：由正弦函数的图象可知由正弦函数的图象可知, ,

10、 正弦曲线正弦曲线每相隔每相隔22个单位重复出现，个单位重复出现， 这一规律的这一规律的理论依据是什么？理论依据是什么？sin(2)sin()xkx kZ.思考2：设设f(x)=sinxf(x)=sinx，则，则 可以怎样表示？其数学意义如何？可以怎样表示？其数学意义如何？ sin(2)sinxkx第二十二页，共65页幻灯片思考思考3 3：为了突出函数的这个特性，我们把为了突出函数的这个特性，我们把函数函数f(x)=sinxf(x)=sinx称为称为周期函数周期函数，2k2k为这为这个函数的周期个函数的周期. .一般地，如何定义周期函一般地，如何定义周期函数？数？ 对于函数对于函数f(x)f(

11、x)，如果存在一个非零，如果存在一个非零常数常数T T，使得当，使得当x x取定义域内的每一个值时取定义域内的每一个值时，都有，都有f(x+T)=f(x),f(x+T)=f(x), 那么函数那么函数f(x)f(x)就叫就叫做周期函数，非零常数做周期函数，非零常数T T就叫做这个函数就叫做这个函数的周期的周期. .第二十三页，共65页幻灯片思考思考4 4：周期函数的周期是否惟一？正弦周期函数的周期是否惟一？正弦函数的周期有哪些？函数的周期有哪些？思考思考5 5：如果在周期函数如果在周期函数f(x)f(x)的所有周期中的所有周期中存在一个最小的正数存在一个最小的正数, , 则这个最小正数叫则这个最

12、小正数叫做做f(x)f(x)的的最小正周期最小正周期. .那么那么, , 正弦函数的正弦函数的最小正周期是多少？为什么？最小正周期是多少？为什么？第二十四页，共65页幻灯片 正、余弦函数是周期函数，正、余弦函数是周期函数，2k2k（kZ, k0kZ, k0）都是它的周期，最小正周都是它的周期，最小正周期是期是22思考思考6 6：就周期性而言，对正弦函数有什就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？么结论？对余弦函数呢？第二十五页，共65页幻灯片思考思考1 1：函数函数f(x)=sinxf(x)=sinx（x0 x0）是否为周）是否为周期函数？函数期函数？函数f(x)=sinxf(x)=

13、sinx（x0 x0）是否为）是否为周期函数？周期函数？思考思考2 2：函数函数f(x)=sinxf(x)=sinx（x x0 0）是否为周）是否为周期函数？函数期函数？函数f(x)=sinxf(x)=sinx（x3kx3k）是否）是否为周期函数？为周期函数？思考思考3 3：函数函数f(x)=sinxf(x)=sinx，x0 x0，1010是是否为周期函数？周期函数的定义域有什么特否为周期函数？周期函数的定义域有什么特点？点？ 第二十六页，共65页幻灯片思考思考4 4：函数函数y=3sin(2xy=3sin(2x4)4)的最小正周的最小正周期是多少？期是多少？ si n()yAxwj=+(0,

14、0)Aw思考思考5 5：一般地，函数一般地，函数 的最小正周期是多少的最小正周期是多少? ? 思考思考6 6：如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)的周期是的周期是T T，那么，那么函数函数y=f(xy=f(x)的周期是多少？的周期是多少？第二十七页，共65页幻灯片例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期：（1）y=3cosx; xRxR（2）y=sin2x，xR R； 2 sin()26xyp=-（3 3） ， xR xR ；（4 4）y=|sinx| xR.y=|sinx| xR. 例例2 2 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(xf(x2)2)f

15、(x)=0f(x)=0，试判断，试判断f(x)f(x)是否为周是否为周期函数？期函数？第二十八页，共65页幻灯片 例例3 3 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(xf(x1)=f(x1)=f(x1)1)，且当，且当x0 x0，22时，时，f(x)=xf(x)=x4 4，求，求f(10)f(10)的值的值. .第二十九页，共65页幻灯片1.1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数依据，即存在非零常数T T，使，使f(xf(xT)=f

16、(x)T)=f(x)恒成立恒成立. .2.2.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期. .3.3.周期函数的周期有许多个，若周期函数的周期有许多个，若T T为周期函为周期函数数f(x)f(x)的周期，则的周期，则T T的整数倍也是的整数倍也是f(x)f(x)的周的周期期. .第三十页，共65页幻灯片4.4.函数函数 和和 的最小正周期都是的最小正周期都是 ，这，这是正、余弦函数的周期公式，解题时可是正、余弦函数的周期公式，解题时可以直接应用以直接应用. .si n()yAxwj=+cos()yAxwj=+(0

17、,0)Aw2pw作业：作业：P36P36练习：练习：1 1，2 2，第三十一页，共65页幻灯片1.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第二课时第二课时第三十二页，共65页幻灯片1.1.周期函数是怎样定义的？周期函数是怎样定义的？ 对于函数对于函数f(x)f(x)，如果存在一个非零常，如果存在一个非零常数数T T，使得当，使得当x x取定义域内的每一个值时，取定义域内的每一个值时，都有都有f(x +T)=f(x),f(x +T)=f(x), 那么函数那么函数f(x)f(x)就叫就叫做周期函数，非零常数做周期函数，非零常数T T就叫做这个函就叫做这个函数的周期数的

18、周期. .第三十三页，共65页幻灯片2.2.正、余弦函数的最小正周期是多少正、余弦函数的最小正周期是多少？函数？函数 和和 的最小正周期是多少？的最小正周期是多少？si n()yAxwj=+cos()yAxwj=+(0,0)Aw3.3.周期性是正、余弦函数所具有的一个周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究哪些性质呢？我们将对此作进一步探究. .第三十四页，共65页幻灯片第三十五页，共65页幻灯片思考思考1 1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的对观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？称性，你有

19、什么发现？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx第三十六页，共65页幻灯片思考思考2 2：上述对称性反映出正、余弦函数分上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？别具有什么性质？如何从理论上加以验证？正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. .第三十七页，共65页幻灯片思考思考3 3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些区观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？如何

20、将这些单调区间进行整合？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinx正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数上都是减函数.222kk222kk 第三十八页，共65页幻灯片思考思考4 4：类似地，余弦函数在哪些区间上是类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？增函数？在哪些区间上是减函数？余弦函数在每一个闭区间余弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数上都是减函数. .22kk22kkxyO1-1222222222222y=co

21、sxy=cosx第三十九页，共65页幻灯片思考思考5 5：正弦函数在每一个开区间（正弦函数在每一个开区间（2k2k， 2k2k） (kZ)(kZ)上都是增函数上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是增函，能否认为正弦函数在第一象限是增函数？数？2第四十页，共65页幻灯片思考思考1 1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？其最大值和最小值分别为多少？思考思考2 2：当自变量当自变量x x分别取何值时，正弦函分别取何值时，正弦函数数y=sinxy=sinx取得最大值取得

22、最大值1 1和最小值和最小值1 1？正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当 时取最大时取最大值值1, 1, 当且仅当当且仅当 时取最小值时取最小值-1 -1 2xk 2xk 第四十一页，共65页幻灯片思考思考3 3：当自变量当自变量x x分别取何值时，余弦函分别取何值时，余弦函数数y=cosxy=cosx取得最大值取得最大值1 1和最小值和最小值1 1？余弦函数当且仅当余弦函数当且仅当 时取最大值时取最大值1, 1, 当且仅当当且仅当 时取最小值时取最小值-1. -1. 2xk(21)xk第四十二页，共65页幻灯片思考思考4 4：根据上述结论，正、余弦函数的值根据上述结论，正、余弦函数的值域是什么？

23、函数域是什么？函数y=Asinxy=Asinx（A0A0）的值）的值域是什么？域是什么？思考思考5 5：正弦曲线除了关于原点对称外，正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？是否还关于其它的点和直线对称？ 正弦曲线关于点正弦曲线关于点（kk，0 0）和直线和直线 对称对称. .()2xkkZpp=+ - | A | - | A | ，|A|A|第四十三页，共65页幻灯片思考思考6 6：余弦曲线除了关于余弦曲线除了关于y y轴对称外，是否轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？还关于其它的点和直线对称？余弦曲线关于点余弦曲线关于点 和直线和直线x=kx=k对称对称. .(,0)2

24、kpp+第四十四页，共65页幻灯片 例例1 1 求下列函数的最大值和最小值，并求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量写出取最大值、最小值时自变量x x的集合的集合 （1 1） y=cosxy=cosx1 1，xRxR； （2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xR.xR.第四十五页，共65页幻灯片 例例3 3 求函数求函数 ，xx22，22的单调递增区间的单调递增区间. .1sin()23yx 例例2 2 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: :(1) sin()sin();1810与2317(2) cos()cos().5与第四十六页，共65页幻灯片1. 1.

25、正、余弦函数的基本性质主要指周期正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握. .2.2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数数. .一 般 地 ，一 般 地 ，y = A s i n xy = A s i n x是奇函数，是奇函数，y=Acosxy=Acosx（A0A0）是偶函数）是偶函数. .第四十七页，共65页幻灯片作业：作业：P40-41P40-41练习：练习：1 1，2 2，3 3，5 5，6.6.3.3.正、余弦函数有无数

26、个单调区间和无数个正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简单复合函数的性质应转化为基本最值点，简单复合函数的性质应转化为基本函数处理函数处理. . 第四十八页，共65页幻灯片1.4.3 1.4.3 正切函数的图象与性质正切函数的图象与性质 第四十九页，共65页幻灯片1.1.正、余弦函数的图象是通过什么方法正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？作出的？ 2.2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？这些性质是怎样得到的？3.3.三角函数包括正、余弦函数和正切函数三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和，我

27、们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，性质， 因此因此, , 进一步研究正切函数的性进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然质与图象就成为学习的必然. . 第五十页，共65页幻灯片第五十一页，共65页幻灯片知识探究（一）：正切函数的性质知识探究（一）：正切函数的性质思考思考1 1：正切函数的定义域是什么？用区正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？间如何表示？思考思考2 2：根据相关诱导公式，你能判断正根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？少？正切函数是周期函数，周期是正切函数是周期函数，周期是.(2kk 第五十二页，共6

28、5页幻灯片思考思考3 3：函数函数 的周期为多少的周期为多少？一般地，函数？一般地，函数 的周期是什么？的周期是什么？tan (2)8yxtan()(0)yx 思考思考4 4：根据相关诱导公式，你能判断正切根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？函数具有奇偶性吗？正切函数是奇函数正切函数是奇函数第五十三页，共65页幻灯片思考思考5 5：观察下图中的正切线，当角观察下图中的正切线，当角x x在在 内增加时，正切函数值发生什内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？么变化？由此反映出一个什么性质？(,)22T T1 1OxyA AT T2 2O第五十四页，共65页幻灯片思考

29、思考6 6：结合正切函数的周期性，正切函结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？数的单调性如何？正切函数在开区间正切函数在开区间 都是增函数都是增函数 (2kk 思考思考7 7：正切函数在整个定义域内是增函数正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？第五十五页，共65页幻灯片思考思考8 8：当当x x大于大于 且无限接近且无限接近 时，正时，正切值如何变化？当切值如何变化？当x x小于小于 且无限接近且无限接近 时时, , 正切值又如何变化？由此分析，正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么正切函数的值域是什么? ?

30、2222正切函数的值域是正切函数的值域是R.R.T T1 1OxyA AT T2 2O第五十六页，共65页幻灯片Oxy22第五十七页，共65页幻灯片思考思考2 2：上图中上图中, ,直线直线 和和 与正与正切函数的图象的位置关系如何？图象的切函数的图象的位置关系如何？图象的凸向有什么特点？凸向有什么特点？2xp=2xp= -思考思考3 3：结合正切函数的周期性结合正切函数的周期性, , 如何画如何画出正切函数在整个定义域内的图象？出正切函数在整个定义域内的图象？ 22yOx22第五十八页，共65页幻灯片思考思考4 4：正切函数在整个定义域内的图象正切函数在整个定义域内的图象叫做叫做正切曲线正切曲线. .因为正切函数是奇函数，因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？曲线是否还关于其它的点和直线对称？正切曲