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1、第二节 数学命题的教学 数学中的定义、公理、定理、公式、性质和法则等都是数学命题.由于数学命题是把概念联系起来,形成完整的数学学科的主干内容,因此,只有掌握好数学命题,才能通晓数学的体系结构,学好数学.有效的数学命题教学,有助于学生牢固掌握数学知识的结构,有助于数学思维的发展和解决问题能力的提高.数学命题教学的基本任务,是使学生认识命题的条件、结论,掌握数学命题的内容和表达形式,掌握命题的推理过程或证明方法,运用所学的数学命题进行计算、推理或论证,提高数学基本能力,解答实际问题.并在此基础上,熟悉基本的数学思想和数学方法,弄清数学命题间的关系,把学过的命题系统化,形成结构紧密的知识体系.一.公
2、理的教学数学公理是无条件承认的相互制约的规定,是一些不证自明的命题.在理论形式上,公理是逻辑推理的大前提,是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定,它们的真实性不是由逻辑推理来确定的,而是经过人类长久以来的实践直接证实的.中学数学中的公理,大多出现在几何教材里.数学中的公理体系,要满足相容性、独立性和完备性.但是,对于中学生来说,完整的数学公理体系内容太多、太深,现行的初中几何教材采取扩大的欧式公理体系,来解决这个矛盾.在这个扩大的欧式公理体系中,所列的公理既有多余的,又有不足的,在独立性和完备性上都是不够严格的.在具体展开时,按照教学内容和学习顺序,根据需要逐步提出来.这样编排教材,既减
3、少了学生学习上的困难,又有利于培养学生的推理能力.既然公理是不加证明的命题,其真实性又是长期生活、生产实践总结出来的,在中学数学中又是证明其他命题的出发点,所以,在教学中应该让学生很好地理解公理的真实性.这就要从日常生活中所熟知的实际事例或从给学生提供的实验资料等直观因素中,归纳地引进公理.1.从学生熟悉的事例归纳出公理.通过学生熟知的社会生活和生产实践中的事例来说明公理的含义和现实来源,使学生体会到公理的真实性和意义.这对于培养学生的辩证唯物主义世界观是有重要意义的.例如,在教学公理“两点确定一条直线”时,可以举出以下学生熟悉的事例:木工通过木板上的两点可以弹出一条直的墨线;园林工人在人行道
4、上植树时,只要先定出两棵树的位置,就能定出一行树所在直线的位置;射击队员将枪上的“缺口”和“准心”两点确定的一条直线,延长后对准目标,即可射击命中;等等.还可在教学中做实验:在黑板上固定一点,可以引出无限多条直线;但再固定一点,两点间的连线就只能有一条,作不出第二条直线来.在此基础上,学生就会自然地用数学中的几何语言归纳出公理“两点决定一条直线,并且只能有一条直线.”2.在学生实践的基础上归纳出公理.例如,让学生用三角板推移的方法作出“过直线外一点且与已知直线平行的直线”;经过实践归纳出公理:“过已知直线外一点有一条直线和已知直线平行”;然后,让学生在原图上将三角板换一个角度再作同样的已知直线
5、的平行线.实践结果表明:两次所画的平行线重合,从而又进一步归纳出公理:“过已知直线外一点只有一条直线和已知直线平行”.综合起来就得出了平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线和这条直线平行.3.通过适当的练习,让学生巩固掌握结论、增加对公理认识的现实感,并学会将学到的公理作为演绎推理的依据和出发点,去推理证明其他问题.二.定理的教学数学定理包括代数中的公式、法则和几何中的定理、推论.在定理的教学中,要使学生认识定理的条件和结论;了解怎样探索证明的途径;明确定理的适用范围;掌握相关定理间的内在联系.为了达到上述教学目的,在定理教学中应该注意以下几方面.1.定理的引入.这是定理教学的一个重要环节
6、,这一环节处理的好坏,对培养学生的创新意识和实践能力有直接的影响通过实践、探索、猜想发现命题.在教学中有目的提出一些供研究、探讨的素材,对学生进行必要的启示引导,让学生在一定的情境中独立思考,通过运算、实践或观察、分析、类比、归纳、作图等步骤,探索规律、提出猜想、形成命题,然后再设法证明,获得定理.例如,“三角形内角和定理”,可以通过剪纸法把三角形三内角拼成一个平角或通过三内角的度量计算出三内角的和,从 而发现定理;球的体积公式可以通过细 沙实验来探讨;“两数和的平方公式” 可以通过多项式的乘法进行计算得出, 也可以通过作图(如图4-2),引导学生 分析图形中面积之间的关系得出.(2)通过已学
7、过的定理过渡迁移引入.例如勾股定理表达了直角三角形三边的关系,由此联想到任意的三角形三边之间关系能否用公式表达,从而引出余弦定理的课题.这种引入方法,使学生感到新定理并不孤立,是旧知识的延拓和发展,同时也能培养学生按知识系统和结构去探索新知识的能力.2.认识定理的结构认识定理的结构是证明定理的基本出发点,它的主要任务是帮助学生分辨定理的条件和结论,发掘定理所涉及的概念的特征或图形的性质,利用有关数学符号,把已知和求证确切而简练地表达出来.这一过程就是通常所说的读题、审题和弄清题意.(1)分清定理的条件和结论.中学数学教材中,有些定理仅从字面上看,条件和结论之间没有严格的界线.例如,教学“一元二
8、次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与判别式=b2-4ac的关系”时,一定要指出“a、b、c都是实数”这一条件.尽管初中学生仅限于实数范围学习,这一条件似乎无关紧要,但如果不明确强调,到了高中学生就会错误地利用这一关系去判断复系数一元二次方程的根的情况.又例如以简化式命题形式出现的定理“对顶角相等”,表述简明,但条件与结论不十分明显,初学者往往难以掌握.教学中可以恢复成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,并结合图形,写出已知、求证.(2)正确理解定理中关键词语的意义,将定理的文字语言译成符号语言.简明的符号语言既便于论证,又有助于搞清楚条件和结论.但符号语言的运用必须建立在概念清楚、符
9、号适当的基础上.例如,“非负数a和b”作为一个定理的条件时,要向学生讲清楚“非负数”这一关键词语的意义,并用数学符号“a0,b0”表示. (3)注意定理的应用范围.定理是在某些条件或范围内的相对真理,条件和范围变了,定理可能成为谬误.例如,算术根的运算法则是以各个算术根存在为前提;对数运算法则必须以各对数有意义为前提;均值不等式必须以非负数为前提等等.此外,还要注意某些定理的隐含条件.3.了解定理证明的思维过程,掌握定理的证明与推导.定理教学的重点在于让学生掌握证明问题的思路和方法,对那些思路、方法和技巧上具有典型意义的要加以总结,以提高学生分析、解决问题的能力.它包括两个方面:(1)使学生了
10、解怎样探索证明途径.在用综合法写出证明过程之前,要使学生明白,这样的证明方法是怎样想出来的.有时教师要作出示范,讲明自己探索证明途径的思维过程.为了培养学生的创新思维和实践能力,最好在教师的启发下,让学生自己去探索.探索证明途径,要灵活运用分析、综合、归纳、演绎、类比等逻辑方法,探索从条件到结论的中间环节.学生已经掌握的证题模式、积累的证题经验,在探索过程中也起着重要作用.探索证明途径,讲明“为什么要这样证”,一般情况下并不需要讲很多话.要在备课时准备好具有启发性、准确、精练的哪几句关键的话和要求学生提出的哪几个问题.有些定理本身就是典型的数学问题,它们的证明方法具有代表性,教学时要帮助学生进
11、行归纳和概括,形成一些有价值的证题模式,这对学生积累证题经验,提高证明能力是有好处的.例如,对数运算性质的证明,采用的是利用指数的性质证明对数性质的方法;等比数列求和公式的推导,使用了“错项相减”的方法等等.(2)使学生掌握定理证明过程中每一步推理的依据.在用综合法将定理的证明过程表达出来时,也就是将证明思路具体化、逻辑化,这是一系列相关的三段论演绎推理过程.在这个推理过程中,要使学生了解每次三段论推理的大前提和小前提.这也是定理证明思维过程不可缺少的组成部分.对初中数学教学来说,这一点尤为重要,它不仅有利于学生对定理的理解,也有利于养成学生言必有据的习惯,发展学生的逻辑思维能力.4.明确定理
12、的应用价值和适用范围,并能灵活运用,不断巩固.学习定理的目的之一在于应用.我们是从定理运用的角度来看定理的适用范围.学生明白了定理适用的范围,可以提高运用定理的目的性和学习的积极性,同时对于学生灵活运用知识、发展思维能力也是有益的.因此,在定理教学中,要注意安排好各类习题,除基本的巩固题、综合题外,还应该适当补充一些逆用、变用定理(包括公式、性质等)的例题和习题,以培养学生活用、逆用的能力.有关这方面的具体例子,将在下一节介绍.5.揭示定理的内在联系,建立数学命题系统化体系.中学数学中的许多定理,彼此联系紧密,但在数学课本中不一定相继出现,有时相距甚远.在教完这些定理之后,应注意及时揭示这些定
13、理之间的内在联系,使学生的知识系统化,形成数学命题体系.这对于学生巩固掌握知识,培养辩证观点都是十分有益的.例如,学习了几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理以后,可以用运动变化的观点,生动巧妙地阐明它们之间的内在联系,并给予量化,统一成一个圆幂定理.另外,引导学生对某些定理作适当的不同方向上的推广,也是使学生认识定理间的关系的有效方法,同时也有利于培养学生的创新思维和实践能力.例如:公式(a+b)2=a2+2ab+b2,既可以推广项数,将“二数和”推广到“三个数的和”以至“n个数的和”;又可以推广指数,将“平方”推广到“立方”.第一节 数学概念 一.概念和数学概念概念是反映事物
14、本质属性和特征的思维形式.数学概念是反映事物空间形式和数量关系及其本质属性的思维形式.例如“直角三角形”这一数学概念,它反映的对象是三角形,并且有一个内角是直角.这就构成了“直角三角形”这一数学概念的本质属性,即:“有一个内角是直角的三角形.”数学概念的产生和发展有不同的途径.有些数学概念是直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来的.大多数的数学概念是一些数学概念在实践活动基础上,经过逐级抽象过程才产生和发展而成的.近代的许多数学概念如集合、关系、映射、群、环、域等概念的产生和发展过程则更复杂.但是,数学概念无论如何抽象,从本质上讲它们都是现实世界空间形式和数量关系及其本质属性在人的思维中的
15、反映.数学概念是用数学语言表达的,其主要表达形式是词语和符号.一个数学概念,通常用一个词语或符号来表示.例如:“一切实数组成的集合”这个概念,通常用词语“实数集”或符号“R”来表示.用符号来表示数学概念,是数学的重要特征.当然,同一个概念可能有不同的词语表达,例如,“等边三角形”又可表达为“正三角形”.二.概念的内涵和外延概念的内涵是指反映概念中那些对象的本质属性的总和,它是概念质的方面的反映.例如,平行四边形这一概念的内涵,就是平行四边形下列本质属性的总和:两组对边分别平行;两组对边对应相等;一组对边平行且相等;对角相等;邻角互补;对角线互相平分;对角线分得的四个小三角形等积等等.概念的外延
16、是指具有概念所反映的本质属性的全体对象,它是概念量的方面的反映,它揭示概念的使用范围.例如“平行四边形”这一概念的外延,就是指邻边不垂直的平行四边形、矩形、正方形等这一切对象的全体.概念的内涵和外延之间存在着一种称之为“反变”的关系,即当内涵增多时,就会得到使概念的外延集合缩小的新概念;当概念的内涵减少时,就会得到使这一概念外延扩大的新概念.即内涵越多,则外延越小;内涵越少,则外延越大.例如,在“平行四边形”概念的内涵中增加“邻边相等”的属性,就得到了外延缩小的“菱形”概念;在“平行四边形”概念的内涵中减少“两组对边平行”的属性,就得到了外延扩大的“四边形”概念.正有理数扩大外延有理数扩大外延
17、实数扩大外延复数 加入零和负有理数加入无理数加入虚数 图3-2 三.概念间的关系概念间的关系就是指同类概念外延集合之间的关系,通常分为相容关系和不相容关系.为了使叙述简明方便,我们先设:概念甲、乙、丙的外延集合分别为A、B、C.1.相容关系.如果AB,则称概念甲与概念乙之间的关系为相容关系.相容关系中,常见的有以下三种. (1)同一关系.当A=B时,即概念甲与概念乙的外延完全相同,就称这两个概念之间的关系为同一关系, 如图3-3所示. (2)属种关系.当AB时,即B是A的图33真子集时,则称这两个概念间的关系为属种关系 (或从属关系),其中外延较大的概念A称为属 概念,外延较小的概念B称为种概
18、念.如图3-4所示.图34(3)交叉关系.当(AB)A且(AB)B时,即两个概念的外延集合的交集非空,且A不是B的子集,B也不是A的子集,则称这两个概念间的关系为交叉关系,如图3-5所示.2.不相容关系如果(AB)=,且CA,CB,则称同一属概念丙下的两个种概念甲和乙之间的关系为不相容关系.在不相容关系中,常见的有对立关系和矛盾关系.1. 对立关系.当(AB)C时,两个 种概念的外延集合之和小于其属概念的外延 集合,则称这两个种概念甲和乙之间的关系 为对立关系,如图3-6.图361. 矛盾关系.当(AB)=C时,两个 种概念的外延集合之和正好等于其属概念的 外延集合,则称这两个种概念甲和乙之间
19、的 关系为矛盾关系,如图3-7.图37四.概念的定义概念的定义就是揭示一个概念的内涵或外延的逻辑方法.所谓定义概念,就是准确地揭示一个概念的内涵或外延,使概念具有确定的内容和含义.在中学数学教材中,揭示概念内涵的定义占大多数,称之为内涵定义,例如从平行四边形的内涵集合中选出“两组对边分别平行”这一本质属性来给平行四边形下的定义,就属于内涵定义.而揭示概念外延的定义则称为外延定义,例如“有理数和无理数统称实数”这样的定义就属于外延定义.1.定义的结构.定义一般由被定义项(DS)、定义项(DP)和定义联项三部分组成.其中,被定义项是指要求给予明确的概念;定义项是指用来明确被定义项的概念;定义联项是
20、指用来联接定义项和被定义项的词语.由于表达定义联项的词语不同,定义的表达形式也有多种情况.例如“DS就是DP”,“DS等于DP”,“DS当且仅当DP”,“DP叫做DS”,“DP称为DS”等等.例如:平行四边形就是两组对边分别平行的四边形. DS联项DP两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. DP联项DS2.数学概念的定义方式.数学概念的定义方式比较多,主要的有以下几种.(1)属加种差的定义.这种定义方式可用下面的公式表示:被定义项=邻近的属+种差 DS(联项)DP这种定义方式首先要指出被定义概念的邻近的属概念(内涵最多的属概念),然后指出被定义的种概念不同于其他种概念的特有的本质属性(种差)
21、,最后再用恰当的联项加以组和.这种定义方式是中学数学中用得最多的揭示内涵的方式.例如:矩形就是一个角是直角的平行四边形.(种差)(邻近的属)DS联项DP(2)发生式定义.发生式定义是属加种差定义的一种特殊形式.这是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差下定义的方式.例如平面直角坐标系的定义:“在平面内有公共圆点而且互相垂直的两条数轴,就构成了平面直角坐标系”就是发生式定义.(3)关系定义.关系定义是属加种差定义的另一种特殊形式.这是以被定义概念所反映的对象之间的关系作为种差下定义的方式.如偶数的定义:“偶数是能被2整除的数,”就是关系定义.(4)外延定义.外延定义就是通过揭示外延,明
22、确被定义项概念所反映对象的全体范围的定义方式.例如:正、负整数,正、负分数和零统称为有理数.DPDS有理数和无理数统称为实数.DPDS(5)约定式定义.这也属于揭示外延的定义方式.例如,a0=1(a0);a-n=(n是自然数,a0);=1等等.(6)语词定义.语词定义就是用语词说明被定义项概念的含义.在中学数学教材中的一些符号定义,如“”表示属于;“”表示空集;“”表示相似;“”表示和;“N”表示自然数集等等,都属于语词定义. (7)递归定义.当被定义项与自然数有关时,可以用递归定义,使其表达的意义更加明确.3.定义的规则.给概念下定义,必须遵循以下规则:(1)定义要相称,即定义项和被定义项必
23、须是同一概念,它们的外延必须全同.(2)定义不能循环.即被定义的概念不能用来定义自己,定义项不能直接或间接包含被定义项.(3)定义一般不用否定形式.(4)定义应当简明、确切,完整.这就是说,定义中不应包含可以由定义推出的性质,定义不能似是而非,必须具有严格的准确性,不能漏掉必须的条件.4.原始概念.根据下定义的规则,定义项必须选用已被定义过的概念.这样必然会出现一个概念的有限序列,其中总有不能用别的已知概念来定义的概念.这些概念虽不能再用更大的属概念定义,但却是定义其他概念的基础,我们称之为原始概念.在数学中,数、量、点、线、面、空间、集合、元素等等都是原始概念,在教材中对它们都作了一定的解释
24、、描述加以说明,但都不是定义.六.概念的划分1.划分.划分是揭示概念外延的逻辑方法.也就是通过把一个属概念分为若干个种概念来明确概念的逻辑方法.任何划分都包含三个要素,即划分的母项、子项和根据.划分的母项是指被划分的属概念,划分的子项是指划分所得的各个种概念,划分的根据是指借以进行划分的标准.例如三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类.其中“三角形”是划分的母项,“锐角三角形”、“直角三角形”、“钝脚三角形”是划分的子项,划分的根据是三角形最大内角的大小.2.划分的规则.划分的基本原则是不遗漏、不重复.正确的划分应该遵循以下规则:(1)划分应当是相称的.即划分后各个子项外延的总和应当
25、与母项的外延相等,而且各个子项之间互不相容.例如,把平行四边形分为菱形、正方形、矩形三类,这样的划分是不相称的,各子项之间不满足互不相容的条件,而且还遗漏了邻边不等的斜平行四边形.(2)每次划分都应按同一标准进行.例如对三角形进行划分时,将其分为等边三角形、不等边三角形、直角三角形三类,同时使用了按边和按角两个划分标准,使这一划分形成混乱.(3)划分不应越级.这就是说在划分时应将被划分的属概念划分为最邻近的种概念.例如把实数分为有理数和无理数两类是正确的,如果分为整数、分数、无理数三类,就是越级进行划分.3.利用二分法对概念进行划分.二分法就是把被划分的属概念一贯地、逐次地分为两个互相矛盾的种
26、概念,直到不能再分为止的划分方法.这种划分的方法简明易行,便于掌握,符合划分规则,不容易发生错误.例如,用二分法对复数的划分如下:正整数正有理数 正分数有理数零非正有理数负整数 实数负有理数 正无理数负分数 复数无理数负无理数纯虚数虚数 非纯虚数 复习思考题三1.什么是概念?试举数学概念例子加以说明.2.什么是概念的内涵和外延?它们之间有什么关系?请举例说明3.数学中给概念下定义的方式有哪些?并要符合那些要求?4.下列定义符合要求吗?为什么?(1)大于90的角叫钝角.(2)最简单的根式叫做最简根式.(3)有理数开不尽方根的叫做无理数.(4)不能表示成分数的数叫做无理数.5.什么是概念的划分?正
27、确的划分符合哪些要求? 第三节 逻辑思维的基本规律 要准确地应用概念和判断,进行推理或证明,就必须掌握同一律、矛盾律、排中律、充足理由律这四条逻辑思维的基本规律.考虑到中学生的接受能力,这些规律不作正面讲述,靠教师结合教材有目的地进行示范和渗透.一.同一律同一律是指在同一思维(论证)过程中,概念和判断必须保持同一性,亦即确定性.其公式是:,即是(表示概念或判断).同一律有两点具体的要求:一是思维对象应保持同一,所考察的对象必须确定,要始终如一,不能中途变更.二是表示同一事物的概念应保持同一,要以同一概念表示同一思维对象,不能用不同的概念表示同一事物,也不能把不同的事物混淆起来用一个概念来表示.
28、违反同一律的错误,在概念中主要表现为偷换概念或所使用的概念不明确;在推理中主要表现为论题不明确或偷换论题.例如:“数是可以比较大小的.虚数是数,所以虚数是可以比较大小的.”在这一推理过程中,“数是可以比较大小的”中的“数”是指实数,“虚数是数”中的“数”是指复数,“数”的概念前后不一致,失去同一性,从而违反同一律,造成偷换概念的错误.同一律要求的“同一”是相对的、有条件的.在不同的科学系统中,不同的论证过程中,对同一个概念或判断允许有不同的认识.例如,在平面几何与立体几何这两个系统中,命题“两直线不相交则平行”不能保证同一性.二.矛盾律矛盾律是指同一思维(论证)过程中,对同一对象所做的两个互相
29、对立或矛盾的判断,不能同真,必有一假,即不能既肯定它是什么,又否定它是什么.其公式是:(),即不是.(和表示两个自相矛盾的概念或判断.下同.) 例如,“”与“”是一对互相矛盾的判断,在同一论证过程中,必有一个是假的.矛盾律是同一律的引深,它是用否定形式来表达同一律的内容.因此,矛盾律是否定判断的逻辑基础.唯物辩证法告诉我们,客观世界充满了矛盾,没有矛盾就没有世界.矛盾律承认这一论点,并在一定范围内反映了客观事物的矛盾性,目的是排除思维中的逻辑矛盾.但是矛盾律中所说的矛盾与客观世界充满了矛盾中说的矛盾,显然是有区别的.三.排中律排中律是指同一思维(论证)过程中,对同一对象所做的两个互相矛盾的判断
30、,不能同假,必有一真.即对同一对象,必须作出明确的肯定或否定的判断,而排除第三种可能.其公式是:,即或. 排中律是同一律和矛盾律的补充和发挥,它进一步指明正确的思维不仅要求确定、不互相矛盾,而且应该明确地表示肯定还是否定,不能模棱两可,不能含糊不清.排中律和矛盾律既有联系,又有区别.它们都不容许有逻辑矛盾,违反了排中律,同时也就违反了矛盾律,所以两者是互相联系的.它们的区别在于:矛盾律指出两个互相矛盾的判断,不能同真,必有一假:排中律则指出两个互相矛盾的判断,不能同假,必有一真.排中律是反证法的逻辑基础.当直接证明某一判断的真实性有困难时,根据排中律,只要证明它的矛盾判断是假的就可以了.排中律
31、和矛盾律一样,只排除思维中的逻辑矛盾,并不否认客观事物自身的矛盾.四.充足理由律充足理由律是指同一思维(论证)过程中,任何一个真实的判断,必须有充足理由.充足理由律可表示为:若有,必有,使得由可推出.(、都表示判断.)在形式逻辑里,称为理由,称为推断.是由必然地合乎逻辑地推出来的.充足理由律要求理由和推断之间,存在着本质上的必然联系.理由应是推断的充分条件,推断应是理由的必要条件.充足理由律是进行推理和证明的逻辑基础,它与判断有着密切的联系.例如在数学命题中,充分条件、充要条件都可以作为结论的充足理由,原定理可作为它的逆否命题的充足理由等等.充足理由律和前面三个规律有着密切的联系.同一律、排中
32、律和矛盾律是为了保持一个判断(或概念)本身的确定性和无矛盾性;充足理由律是为了保持判断之间的联系有充分根据和有论证性.因此,在思维过程中,如果违反了同一律、排中律和矛盾律,那么必然导致违反充足理由律.总之,数学推理、证明必须要求对象确定(同一律),判断不自相矛盾(排中律),不模棱两可(矛盾律),有充分根据(充足理由律).在数学教学中,我们应该注意培养学生严格遵守这些规律进行思考的习惯,以培养学生的逻辑思维能力.复习思考题三9.谈谈你对逻辑思维基本规侓的认识.第四节 数学推理 推理是从一个或几个已知的判断得出一个新的判断的思维过程.其结构包括前提和结论两部分,已知的判断称为推理的前提,得出的新判
33、断叫做推理的结论.正确的推理要求前提真实,要求运用符合形式逻辑的推理方式,遵守推理规则.1. 推理规则 推理规则就是正确的推理形式,遵守这些形式就能保证推理合乎逻辑.中学数学中常用的推理规则有:规则1 若pq真,则p真;若pq真,则q真.即(pq)p;(pq)q.规则2 若pq真,且p真,则q真.即(pq)pq.规则3 若pq真,且qr真,则pp真.即(pq)(qr)(pr)规则4 若(pq)真,且p真,则q真.即(pq)pq.同样有:(pq)qp.规则5 若(pq)真,且q真,则p真.即(pq)qp.规则6 若集合A中每一元素x,都有属性F,则集合A的任一非空子集B中的每个元素y也具有属性F
34、.即xAF(x)(AB)yBF(y). 这条规则是逻辑上的一条演绎推理规则,是作为公理提出来的.它保证了由全称命题真可以推出相应的特称命题真. 除了上述推理规则外,有些逻辑恒真命题也可作为推理规则使用. 二.推理的种类根据不同的划分标准,推理可以分成许多种类.数学中常用的推理有归纳推理、类比推理和演绎推理.1.归纳推理归纳推理,又称归纳法,是由特殊到一般的推理,是从个别或特殊的事物所作的判断扩大为同类一般事物的判断的思维过程.根据前提与结论所作判断的范围是否相同,归纳法可分为完全归纳法和不完全归纳法两种.(1)完全归纳法如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围完全相同,这
35、种归纳推理叫做完全归纳法.它的表示形式是:S1、S2、Sn是A类事物中所有的对象,S1具有(或不具有)PS2具有(或不具有)PSn具有(或不具有)PA类事物具有(或不具有)P例如,证明三角形三条高或其延长线共点,可以分别证明锐角、直角、钝角三角形三条高或其延长线共点,从而推出任意三角形三条高或其延长线共点的结论.由于完全归纳法在前提判断中已对结论的判断范围作出了判断,如果都是真实的,则所得的结论是完全可靠的,所以完全归纳法可作为数学上的一种严格推理方法.但是应用时,须注意前提的判断范围既不必重复,也不能遗漏,即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围.(2)不完全归纳法如果归纳推理的前提判断范
36、围的总和小于结论判断范围,这种归纳推理叫做不完全归纳法.其表示形式是:S1、S2、Sn是A类事物中部分的对象,S1具有(或不具有)PS2具有(或不具有)PSn具有(或不具有)PA类事物具有(或不具有)P例如中学数学中从具体实数的运算概括出实数的运算律以及指数运算性质等的推理都是不完全归纳法.必须注意,根据不完全归纳法推出的结论可能真,也可能假.因此,不完全归纳法不能作为数学上一种严格的推理方法使用,但是它在科学研究中可提出假设或猜想,在解题中便于发现规律,启发思维.教学中,为了说明某些定理、公式、性质的正确性,也往往借助于个别特殊的例子来说明,其实质就是用实例来进行验证,也可以认为是用不完全归
37、纳法来进行推理的.2.类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理,即根据两个(或两类)事物的某些相同或相似的性质,断定它们在别的性质上也可能相同或相似.其表示形式是:A类事物具有性质a、b、c、dB类事物具有性质a、b、cB类事物可能具有性质d例如,由平面上线与线之间的关系推测空间中面与面之间的关系,就是类比推理.类比推理所得出的结论未必真,它只有一定程度的可靠性.有些结论,还有待于实践和理论的证明.一般说来,如果两类事物共有的性质和推出的性质是密切相关的,那么结论就比较可靠.两类事物共有的性质越多,推出的结论的可靠程度就越大.用类比推理所得结论,虽然不一定都真实,但类比推理对科学技术和数学本身的发
38、展以及在数学教学中的作用却是很大的.数学中有不少重大发现乃至有关解题方法是由类比推理提供线索的,数学本身赖以获得真理的主要手段就是归纳和类比.因此,类比推理仍不失为一种获取新知识的工具.3.演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理,即以某类事物的一般判断为前提,作出对这类事物的个别、特殊事物判断的思维形式.演绎推理的前提与结论之间有着必然的联系,只要前提是真的,推理是合乎逻辑的,就一定能得到正确的结论.因此,演绎推理可以作为数学中一种严格的推理方法使用.演绎推理的形式多种多样,数学中运用最普遍的有三段论和关系推理,此外,还有选言推理、假言推理、联言推理等.(1)三段论.三段论是由两个包含着一个共同
39、项的性质判断而推出一个新的性质判断的推理.它的理论根据是前面的规则6.简单的演绎推理往往是通过三段论的形式来实现的.其表现形式为:集合M中的元素具有(或不具有)PxMx也具有(或不具有)P三段论的结构包括大前提反映一般原理的判断,小前提反映个别对象与一般原理联系的判断,以及结论三个判断.如果大前提、小前提都正确,则结论一定正确.例如,平行四边形的对角相等(大前提),四边形ABCD是平行四边形(小前提),四边形ABCD的对角相等(结论).(2)关系推理.关系推理是根据对象间关系的逻辑联系(如对称、传递等)进行推演的推理形式.它的前提和结论都是关系判断. 设a、b、c表示对象,R表示关系(可表示数
40、学中的“相等”、“大于”、“小于”、“平行”、“垂直”等关系).那么,这两个对象之间的关系判断可以表示为“aRb”. 关系推理又可以分为直接关系推理和间接关系推理两类. 直接关系推理常见的有: 若关系R具有对称性,称为对称关系推理.即aRb=bRa.例如,数学中的“相等”、“平行”、“垂直”等关系都具有对称性.因此,含有这些关系的判断都可以按上法推理. 若关系R具有反对称性,称为反对称关系推理.即aRb=ba.例如,数学中的“大于”、“小于”、“整除”等关系都具有反对称性.因此,含有这些关系的判断都可以按上法推理. 间接关系推理常见的有: 若关系R具有传递性,可进行传递关系推理,即(aRb)(
41、bRc)aRc.例如,数学中的“相等”、“平行”、“大于”、“小于”、“整除”等关系,都具有传递性.因此,含有这些关系的判断都可以进行这种推理. 若关系R具有反传递性,则可进行如下的反传递关系推理,即(aRb)(bRc)ac.数学中的“垂直”关系就不具有传递性,因此,对于垂直关系的判断,就应如下推理: ab,且bca并非垂直c. 最后,需要指出的是,在数学推理过程中,以及在数学发展过程中,演绎和归纳从来都不是孤立出现的,它们紧密交织在一起.通常是由归纳法得出原始概念和公理、建立假设和猜想,假设和猜想一经证明成立,就获得了定理、公式和性质这类一般规律,然后把所得的一般性判断作为大前提进行演绎推理
42、,从而解决各类数学问题.复习思考题三10.什么是推理?数学中常用哪些推理方法?举例说明.第五节 数学证明 数学证明是应用已经确定其真实性的命题来论证某一命题真实性的思维推理过程.其过程往往表现为一系列的推理.从逻辑结构方面分析,任何证明都是由论题、论据、论证三个部分组成的.论题是需要证明其真实性的命题,论据是用来证明论题真实性所引用的那些已知真实的命题,论证就是由论据出发进行一系列推理来证明论题真实性的过程.数学证明习惯上分为已知、求证、证明三个部分.其中“求证”的内容就是论题;“证明”的过程就是论证;“已知”的内容则是论据的一部分,因为论据还包括在论证过程中需要引用的其它真命题(如定义、公理
43、和定理).关于证明格式,基本且常用的有联用式与推进式两种.联用式是联用“、”表示推理关系的书写格式(见本节例1-5),推进式是借用符号“”表示蕴含关系或推理关系的书写格式,且都可分为横、竖两种形式. 上一节所介绍的归纳推理、类比推理与演绎推理,实际上就是证明中的归纳法、类比法、演绎法.现在将常用的几种证明方法简要介绍于下. 一.分析法与综合法 在数学证明中,如果推理方向是从求证追溯到已知,或者说是从未知到已知,这种思考方法叫做分析法.反之,如果推理的方向是从已知到求证,或者说从已知到未知,这种思考方法叫做综合法.例1 已知a、b是不等的正数,求证:a3+b3a2b+ab2.证明一分析法欲证a3
44、+b3a2b+ab2,只需证(a+b)(a2ab+b2)ab(a+b).a0,b0,a+bO只需证a2ab+b2ab,即(ab)20,而这是显然成立. 故a3+b3a2b+ab2.证明二综合法ab,a-b0,(ab)20, 即a22ab+b20,a2ab+b2ab.又a0,b0,a+bO, (a+b)(a2ab+b2)ab(a+b),从而a3+b3a2b+ab2.二.直接证法与间接证法在数学证明中,从正面证明论题真实性的证明方法,叫做直接证法.凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法.它是中学数学中常用的证明方法.不是直接证明论题的真实性,而是通过证明论题的否定论题不真实,或者证明它的等价命题
45、成立,从而肯定论题真实的证明方法,叫做间接证法.间接证法主要有反证法与同一法.1.反证法.通过证明论题的否定论题不真实,从而肯定论题真实的方法,叫做反证法.反证法有归谬法与穷举法两种.反证法的一般步骤如下:(1)假设命题的结论不成立(即结论的否定成立);(2)从否定结论出发,进行层层推理,得出与公理,或前述的定理、定义或题设条件,或与临时假设等自相矛盾(即说明结论不能否定);(3)根据排中律,最后肯定原命题成立.在应用反正法时,如果命题结论的否定方面只有一种可能情况,那么,只要把这一情况推翻,就能肯定结论成立,这种反证法叫做归谬法(见例2).如果命题的结论的否定方面不只一种情况,那就必须把否定
46、方面所有的可能情况逐一驳倒,才能肯定结论成立,这种反证法叫做穷举法(见例3).例2 ?求证:cos10是无理数.证明:假设cos10是有理数,记cos10=(p、q为互质数).则cos30=4cos310-3cos10=4()33()是一有理数,而cos30=是一无理数,与已作假设相矛盾,故cos10是无理数.例3 ?如图3-9所示,在ABC中,已知BE和CF分别是B与C的平分线,且BE=CF,求证:AB=AC. 证明:如果ABAC,那么,就有 ABAC或ABAC两种情况,作平行 四边形BEGF,连结CG. 1. 假设ABAC,那么ACBABC, BCFCBE,BFCE, BF=EG,EGCE
47、,ECGEGC. 又FCG=FGC,FCEFGE=FBE. 则ACBABC(自相矛盾),即ABAC不可能. (2)同理可证,ABAC的情况是不可能的. AB=AC. 2.同一法.如前所述,两个互逆或互否的命题不一定是等价的,只有一个命题的条件和结论都唯一存在,且它们所指的概念是同一概念时,该命题与其逆命题(或否命题)才等价,这个原理叫做同一原理.对于符合同一原理的命题,当直接证明有困难时,可以改证与它等价的逆命题,这种证明方法叫做同一法. 同一法的一般步骤如下: (1)当命题的条件与结论所含事项都唯一存在时,先作出(设定)符合命题结论的图形(算式);(2)证明所作图形(或设定的算式)符合已知条
48、件;(3)根据唯一性,确定所作图形(或设定的算式)与已知图形重合(或与已知关系式相同);(4)最后肯定原命题成立.例4? 求证:lg(+)=.证明:因为等式两边都是唯一存在的实数,可考虑选用同一法.令lg(+)=t,则10t=+,两边平方,得102t=6+2-5=10,2t=1,t=.lg(+)=.例5? ?如图3-10所示,已知ABC的垂心是H,中线AM的延长线交HBC于G,求证:M是AG的中点. 分析:因为直线AM与HBC除公共点 K外,另一公共点G是唯一的,又在射线 AM上,使MG=AM的点G也是唯一的,因 此可用同一法.在射线AM上取点G,使 MG=AM,只要证明G与G点重合即可. 证
49、明:在射线AM上取点G,使MG=AM,连GB、GC. MB=MC,ABGC是平行四边形,BGC=BAC. A、F、H、E共圆,BAC+BHC=180, BGC+BHC=180. 因此,B、G、C、H也共圆,即G点也在HBC上, 又直线AM与HBC除公共点K外,另一公共点G是唯一的,于是G与G重合,从而M是AG的中点.反证法与同一法都是间接证法.它们的主要区别是:(1)方法不同.反证法先否定结论,然后再予以反驳;同一法先作出(设定)符合命题结论的图形(或算式),然后推证所作图形(算式)与已知图形相同(关系式相同).(2)根据不同.反证法的逻辑依据是排中律,利用原命题与其逆否命题的等价性来证明的;
50、同一法的逻辑依据是同一律,利用原命题与其逆命题的等价性来证明的.(3)适用范围不同.反证法是从否定命题的结论出发,只要能推出矛盾就行,而这个矛盾不一定是由于图形(或关系式)的“唯一存在性”引起的.因此,反证法可适用于各种命题,而同一法只适用于符合同一法则的命题.将以上内容归纳起来就是:完全归纳法归纳法按推理的方式类比法不完全归纳法 演绎法分析法推证通法按思维的思路综合法直接证法归谬法按证明的方法反证法间接证法穷举法同一法反思与探究:本章介绍了中学数学教师应该掌握的形式逻辑的有关基础知识.数学作为形式化的科学,具有严密的逻辑性.但是,中学生的年龄和心理特征要求中学数学教学对逻辑严谨性的要求不能过
51、高.如果在数学教学中用太多的时间去强调逻辑的严密性,留给学生进行开放性学习的时间就会很少,也不利于对学生创新意识的培养.为此,下面问题值得我们认真研究.1在中学数学教育中,如何做到不过多的强调形式化,学生又能够掌握数学知识的实质?2在中学数学教育中,针对学生今后择业的不同对数学的需要也有所不同,在逻辑的严谨性方面,应采取怎样的教学措施使他们各得其所?复习思考题三11.什么是证明?数学中常用哪些证明方法?举例说明. 第一节 中学数学的教学原则 教学原则是教学规律的反映,教学经验的结晶,是指导教学工作的基本要求,也是教师在教学工作中必须遵守的基本准则.我国教育界在教学论中确定的一般教学原则有:科学
52、性与思想性相结合的原则,理论联系实际的原则,教师的主导作用与学生的自觉性、积极性相结合的原则,感知与理解相结合的原则,循序前进性与系统性原则,掌握知识技能的巩固性原则,符合学生年龄特点和接受能力的原则,统一要求与因材施教的原则.在一般教学原则的指导下,由于各科教学还有其特殊性,所以各学科的教学还应遵循符合本学科特点和学生年龄特征的学科教学原则. 在以传授知识为主的时代,我国广大的数学教育工作者和数学教师根据中学数学的特点、教学实践经验和中学生的年龄特征,总结出了许多行之有效的中学数学教学原则,其中影响最大的是:严谨性与量力性相结合的原则,抽象与具体相结合的原则,理论与实践相结合的原则,巩固与发
53、展相结合的原则.一.严谨性与量力性相结合的原则1.数学理论的严谨性严谨性是数学科学理论的基本特点之一,其涵义主要是指数学逻辑的严密性及结论的精确性,在中学的数学理论中也不例外.它主要表现在以下两个方面:其一,概念(除原始概念外)必须定义;其二,命题(除公理外)都要证明.因此,(1)每个数学分科所包含的数学概念都分为两类:原始概念和被定义过的概念.原始概念是这个学科中定义其他概念的出发点,其本质属性在该学科中无法用定义方式来表述,只能用公理来揭示;被定义的概念都必须确切的、符合逻辑要求.(2)每个数学分科所包含的真命题也分为两类:公理和定理.公理是本学科中被挑选出来作为证明其他真命题的正确性的原
54、始依据,其本身的正确性不加逻辑证明而被承认.但是,它们作为一个体系,必须满足相容性(无矛盾性)、独立性和完备性;定理都必须经过逻辑证明.(3)每个数学分支的概念和真命题按一定的逻辑顺序构成一个体系.在该体系中,每个被定义的概念必须用前面已知的概念来定义;每个定理必须由前面已知其正确性的命题推导出来.(4)概念和命题的陈述以及命题的论证过程日益符号化、形式化.但是,数学的严谨性是相对的,是逐步发展的.严谨性并不是各数学分支发展初期就具有的,只是到了最后完善阶段才能达到.例如,函数概念经历了七个发展阶段才逐步严谨起来.欧氏几何直到19世纪末希尔伯特公理体系建立后才真正严谨起来.数学的严谨性还有另一
55、方面的相对性.例如侧重于理论的基础数学和侧重于应用的应用数学,二者对于严谨性的要求是不尽相同的.前者要求高,而后者则相对地要求较低一些.2.对中学生的量力性在掌握数学科学的严谨性方面,必须根据中学生的知识水平和接受能力量力而行.对中学生的量力性,应该注意以下几点:(1)对数学严谨性的要求,只能逐步适应,中学生在由低年级到高年级的学习过程中逐步达到.开始学习时往往都是不够严谨的,理解上依赖于直观,解题中依赖于模仿.例如,在小学和初中的数学教材中渗透了集合与对应的思想,但直到高中阶段才作初步的研究,进入理性认识阶段,才能逐步达到严谨的要求.因此,在教学中必须顺应学生认识的发展规律,要求恰当,量力而
56、行.要有计划、有步骤地逐步提高要求,才能达到逐步理解和掌握教学严谨性的要求.(2)对数学严谨性的认识具有相对性.由于数学的严谨性是相对的,人类认识数学的严谨性又经历了相当长期的过程.而且,中学生的学习本身也是一种认识活动,学习数学就是对人类经过漫长历史认识所获得的成果进行认识,这一认识过程不必要也不可能重复历史,而是在教师的指导下,遵循由低级到高级、由简单到复杂、由浅入深、逐步深入的一般认识规律进行的.再加上中学的数学课时和学生原有的基础知识与能力都有限,因此,中学生只可能认识数学的最基本的内容和方法,相应地,对数学严谨性的认识也只可能是基本的、相对的和初步的.(3)中学生智力发展的可塑性很大.中学阶段正是青少年智力迅速发展的时期,中学生接受知识的能力既有局限,可塑性也很大,应该充分估计到他们认识上的潜力.在教学中应恰当地诱发他们的积极性,发挥他们的潜能,促进他们的思维发展.3.严谨性与量力性相结合数学科学是严谨的,中学生认识数学科学又要受量力性原则的制约,因此,在数学教学中,既要体现数学科学的本色,又要符合学生的实际,这就是严谨性与量力性相结合的原则对数学教学的总要求.这条原则的实质就是数学教学要兼顾严谨性与量力性这两方面的要求,一方面对数学教学的各个阶段要提出恰当而又明确的目的任务,另一方面要循序渐近地
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