数学北师大高中选修 推理与证明练习题

1、第一章推理与证明练习题1“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的”此推理方法是： ；2在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，中，第25项为： ；3证明<1<n1(n>1)，当n2时，中间式等于： ；4否定结论“至多有两个解”的说法是： ；5三角形的面积为S(abc)r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为： ；6某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法则他从平地上到第n级(n3)台阶时的走法f(n)等

2、于： ；7已知f(x)x3x，a，b，cR，且ab>0，ac>0，bc>0，则f(a)f(b)f(c)的值一定： ；8数列an满足a1，an11，则a2 013等于： ；9一个数列an的前n项为，.则猜想它的一个通项公式为an_.10观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_个小正方形，第n个图中有_个小正方形图111用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时，应假设为_12已知等差数列an中，有，则在等比数列bn中，会有类似的结论：_.13已知abc0，比较abbcca的大值与0的大小；14观察下列等式：132332,13233362,13233343

3、102，.根据上述规律，第五个等式为_15(本小题满分12分)若a1>0，a11，an1(n1,2，)(1)求证：an1an；(2)令a1，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.16(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3时正确(kN)B假设n2k1时正确，再推n2k1时正确(kN)C假设nk时正确，再推nk1时正确(kN)D假设nk(k1)时正确，再推nk2时正确(kN)17f(n)1(nN*)，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32).

4、推测：当n2时，有_18(2014·陕西文，14)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN， 则f2014(x)的表达式为_19(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形图2(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值20(本小题满分14分)函数列fn(x)满足f1(x

5、)(x>0)，fn1(x)f1fn(x)(1)求f2(x)，f3(x)；(2)猜想fn(x)的表达式，并证明21已知数列an，a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式22(山东高考)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n，Sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b，r均为常数)的图像上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN)，证明：对任意的nN，不等式···>成立解析(1)解：因为对任意nN，点(n，Sn)均在函数ybxr(b&g

6、t;0且b1，b，r均为常数)的图像上，所以Snbnr.当n1时，a1S1br，当n2时，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因为an为等比数列，所以r1，公比为b，an(b1)bn1.(2)证明：当b2时，an(b1)bn12n1，bn2(log2an1)2(log22n11)2n，则，所以·······.下面用数学归纳法证明不等式：···>.当n1时，左边，右边，因为>，所以不等式成立假设当nk(kN)时，不等式成立，即···

7、·>.则当nk1时，左边·····>·>，所以当nk1时，不等式也成立由可得，不等式对任何nN都成立，即···>恒成立【解】(1)f(5)41.(2)因为f(2)f(1)44×1，f(3)f(2)84×2，f(4)f(3)124×3，f(5)f(4)164×4，由以上规律，可得出f(n1)f(n)4n，因为f(n1)f(n)4n，所以f(n1)f(n)4n，所以f(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(n3)4(

8、n1)4(n2)4(n3)fn(n1)4(n1)4(n2)4(n3)4n(n1)2n22n1.(3)当n2时，()，所以1(1)1(1).18(本小题满分14分)函数列fn(x)满足f1(x)(x>0)，fn1(x)f1fn(x)(1)求f2(x)，f3(x)；(2)猜想fn(x)的表达式，并证明解：(1)f1(x)(x>0)，f2(x)，f3(x).(2)猜想fn(x)，下面用数学归纳法证明：当n1时，命题显然成立假设当nk时，fk(x)，那么fk1(x) .这就是说，当nk1时命题成立由，可知fn(x)对所有nN均成立20已知数列an，a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a

9、2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式分析利用不完全归纳法猜想归纳出an，然后用数学归纳法证明解题的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak1和Sk与Sk1之间的关系解析(1)由已知，得a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，an.(2)当n2时，a25×2225，表达式成立当n1时显然成立，下面用数学归纳法证明n2时结硫化亦成立假设nk(k2，kN)时表达式成立，即ak5×2k2，则当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2ak55105×2k255×2k15×2(k1

10、)2.故当nk1时，表达式也成立由可知，对一切n(n2，nN)都有an5×2n2.点评本题先用不完全归纳法猜想出通项，然后用数学归纳法证明，考查了由特殊到一般的数学思想，也考查了数列知识，在高考中这类题往往是压轴题解决方法是观察与分析法，也就是说解决这类题要注意观察数列中各项与其序号的变化关系，归纳出构成数列的规律，同时还要注意第一项与其他各项的差异，从而发现其中的规律21(山东高考)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n，Sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b，r均为常数)的图像上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN)，证明：对任

11、意的nN，不等式···>成立解析(1)解：因为对任意nN，点(n，Sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b，r均为常数)的图像上，所以Snbnr.当n1时，a1S1br，当n2时，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因为an为等比数列，所以r1，公比为b，an(b1)bn1.(2)证明：当b2时，an(b1)bn12n1，bn2(log2an1)2(log22n11)2n，则，所以·······.下面用数学归纳法证明不等式：···

12、>.当n1时，左边，右边，因为>，所以不等式成立假设当nk(kN)时，不等式成立，即····>.则当nk1时，左边·····>·>，所以当nk1时，不等式也成立由可得，不等式对任何nN都成立，即···>恒成立第一章推理与证明(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼

13、吸的”此推理方法是()A演绎推理B归纳推理C类比推理 D以上都不对【解析】由部分推断全体，是归纳推理【答案】B2在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，中，第25项为()A25B6 C7D8【解析】将数列分组得(1)，(2,2)，(3,3,3)，(4,4,4,4)，这样每一组的个数为1,2,3,4，；其和为，令n6，则有21，所以第25项在第7组，因此第25项是7.【答案】C3证明<1<n1(n>1)，当n2时，中间式等于()A1 B1C1 D1【解析】中间的式子共有2n项，故n2时，中间的式子等于1.【答案】D4否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A有一个解

14、 B有两个解C至少有三个解 D至少有两个解【解析】“至多有两个解”包含有两解，仅有一解，和无解，故其否定为至少有三个解【答案】C5已知c>1，a，b，则正确的结论是()Aa>b Ba<bCab Da，b大小不定【解析】a，b，显然a<b.【答案】B6三角形的面积为S(abc)r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()AVabcBVShCV(S1S2S3S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径)DV(abbcac)h(h为四面体的高)【解析】设ABC的内心为O，连接OA，OB，OC，将ABC分割为三

15、个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：设四面体ABCD的内切球的球心为O，连接OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V(S1S2S3S4)r.【答案】C7某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法则他从平地上到第n级(n3)台阶时的走法f(n)等于()Af(n1)1 Bf(n2)2Cf(n2)1 Df(n1)f(n2)【解析】要到达第n级台阶有两种走法：(1)在第n2级的基础上到达；(2)在第n1级的基础上到达【答案】D8已知f

16、(x)x3x，a，b，cR，且ab>0，ac>0，bc>0，则f(a)f(b)f(c)的值一定()A大于零 B等于零C小于零 D正负都可能【解析】f(x)x3x是奇函数且在R上是增函数，由ab>0，得a>b，故f(a)>f(b)，可得f(a)f(b)>0.同理f(a)f(c)>0，f(b)f(c)>0.所以f(a)f(b)f(c)>0.【答案】A9(2012·江西高考)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76C123 D199【解析】记anbnf(n)，则f(3

17、)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.【答案】C10数列an满足a1，an11，则a2 013等于()A. B1C2 D3【解析】a1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)a2 013a33×670a32.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每

18、小题5分，共20分，把答案填在横线上)11一个数列an的前n项为，.则猜想它的一个通项公式为an_.【解析】数列可写成，.猜想通项公式an.【答案】12观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_个小正方形，第n个图中有_个小正方形图1【解析】根据规律和第6个图形中有123456728.第n个图形中有12(n1).【答案】2813用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时，应假设为_【解析】就x是否等于a，b而言有四种情形：xa，xb；xa，xb；xa，xb；xa，xb.故应假设xa或xb.【答案】xa或xb14已知等差数列an中，有，则在等比数列bn中，会有类似的结论：_

19、.【解析】根据等差、等比数列中运算的性质知：在等比数列bn中会有.【答案】三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)用反证法证明：如果x>，那么x22x10.【证明】假设x22x10，则解得x11，x21.又x1<，x2<，这与已知x>矛盾故假设不成立，x22x10成立16(本小题满分12分)试比较2n与n2(nN*)的大小关系，并用数学归纳法证明【证明】当n1时，21>12，即2n>n2，当n2时，2222，即2nn2，当n3时，23<32，即2n<n2，当n4时，2442，即2nn2，当n5时，25>52，即2n>n2，当n6时，26>62，即2n>n2，猜测，当n5时，2n>n2.下面用数学归纳法证明猜测成立当n5时，由上可知猜测成立设nk(k5)时，命题成立，即2k>k2.2k12·2k>2k2k2k2>k2(2k1)(k1)2，即nk1时命题也成立由和可得，n5时，2n>n2(nN*)17(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图