2018-2019学年高中数学选修2-3同步配套（课件+练习）：1.4简单计数问题

1、.§4简单计数问题1 6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,那么不同的乘车方法有A.40种B.50种C.60种D.70种解析先分组再排列,一组2人一组4人有C62=15种不同的分法;两组各3人共有C63A22=10种不同的分法,所以共有15+10×2=50种不同的乘车方法.答案B2从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m,那么mn等于A.110B.15C.310D.25解析n=C53=10,由余弦定理知可组成钝角三角形的有“2,3,4和“2,4,5,故m=2.故mn=210=

2、15.答案B35个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,假设甲球必须放入A盒,那么不同的放法种数是A.120B.72C.60D.36解析将甲球放入A盒后分两类:一类是除甲球外,A盒还放其他球,共A44=24种放法;另一类是A盒中只有甲球,那么其他4个球放入另外三个盒中,有C42·A33=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案C4有9名翻译人员,其中6人只能做英语翻译,2人只能做韩语翻译,另外1人既可做英语翻译也可做韩语翻译.要从中选5人分别接待5个外国旅游团,其中两个旅游团需要韩语翻译,三个需要英语翻译,那么不同的选派方法数为A.900B.800C.600D

3、.500解析由题意得,对于既能做韩语翻译又能做英语翻译的人分类讨论.假如这个人参加英语翻译,那么有C62A33A22=180种方法;假如这个人参加韩语翻译,那么有A63C21A22=480种方法;假如这个人没有参加翻译,那么有A63A22=240种方法.根据分类加法计数原理可得共有180+480+240=900种不同的选派方法.答案A5假如在一周内周一至周日安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有A.50种B.60种C.120种D.210种解析先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:1,2,2,3

4、,3,4,4,5,5,6,6,7,甲任选一种为C61,然后在剩下的5天中任选两天有序地安排其余两校参观,安排方法有A52种,按照分步乘法计数原理可知共有C61A52=120种不同的安排方法.答案C6现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为A.232B.252C.472D.484解析假设没有红色卡片,那么需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,假设都不同色那么有C41C41C41=64种;假设2张同色,那么有C32C21C42C41=144种;假设红色卡片有1张,那么剩余2张假设不同色,有C41C32C

5、41C41=192种;剩余2张假设同色那么有C41C31C42=72种,所以共有64+144+192+72=472种不同取法.答案C7将4个颜色互不一样的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,那么不同的放球方法有种. 解析有两种满足题意的放法:11号盒子里放2个球,2号盒子里放2个球,有C42C22种放法;21号盒子里放1个球,2号盒子里放3个球,有C41C33种放法.综上可得,不同的放球方法共有C42C22+C41C33=10种.答案108某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间一样,至多项选择一门,学校规定,每位同学

6、选修4门,共有种不同的选修方案.用数字作答 解析1不选A,B,C的选法有C64=15种,2选A,B,C中一门课的选法有C63C31=60种,所以共有15+60=75种选修方案.答案759某人制定了一项旅游方案,从7个旅游城市中选5个进展游览,假如A,B,C为必选城市,并且游览过程中必须按照先A后B再C的次序经过A,B,C三个城市A,B,C三个城市可以不相邻,那么不同的游览线路共有种. 解析首先从剩余的另外4个城市选出2个,共有C42=6种方法,将选出的5个城市全排列,那么共有A55种方法,由于要求必须按照先A后B再C的顺序经过A,B,C三个城市,所以不同的游览线路共有C42

7、A55A33=120种.答案120105名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,那么入选的3名队员中至少有1名老队员,且1,2号中至少有1名新队员的排法有多少种?解分两种情况:1当有1名老队员时,应从3名新队员中选出2名,其排法种数:C21·C32·A33=36种;2当有2名老队员时,应从3名新队员中选出1名,其排法种数:C31·C21·A22=12种.由分类加法计数原理,得所求排法有36+12=48种.11现有5名学生要进入某工厂的四个车间去实习,每个车间至多去2人,有多少种不同的方法?分析要求5个人去

8、四个车间,每个车间至多去2人,但是并没有强调每个车间必须去几人,因此,可分为如下两类:有一个车间去2人,其余三个车间各去1人;或者,有两个车间各去2人,一个车间去1人,一个车间不去人.解依题意,至少有一个车间去2人,至多有两个车间各去2人,因此,实习方案可分为两类:第一类,有一个车间去2人,其余3个车间各去1人,所以,先在5个人中任选2人去一个车间,有C52种方法;将此2人看作1个元素,连同其余3个人,共4个元素分别到四个车间,有A44种方法,共有C52·A44=240种.第二类,有两个车间各去2个人,一个车间去1人,一个车间不去人,因此,先在5个人中确定1个人去一个车间,并在四个车

9、间中选一个车间插入此人,有C51·C41种方法;然后在其余4个人中选2人到一个车间,另2人那么自然到了另一个车间,并在剩下的三个车间中选两个车间来安排他们,有C42·C22·C32种方法,共有C51·C41·C42·C22·C32=360种方法.由分类加法计数原理可知,所求方法共有240+360=600种.12用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的四位数.1有多少个四位偶数?2假设按从小到大排列,3 204是第几个数?解1方法一:先排个位数字,分两类:0在个位时有A43种;2或4在个位时按个位、千位、十位和百位的顺序排,有A21A31A32种,故共有A43+A21A31A32=60个四位偶数.方法二:间接法.假设无限制条件,总排列数为A54,其中不符合条件的有两类:0在千位,有A43种;1或3在个位,有A21A31A32种,那么四位偶数有A54-A43-A21A31A32=60个.2方法一:分类法由高位到低位逐级分为:千位是1或2时,有A