高考数学二轮复习：(理数)专题13-圆锥曲线

1、1专题专题 13 圆锥曲线圆锥曲线1已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为()A.x216y291B.x23y241C.x29y2161D.x24y231【答案】C【解析】2椭圆x212y231 的焦点为 F1和 F2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的()A7 倍B5 倍C4 倍D3 倍【答案】A【解析】由题设知 F1(3，0)，F2(3，0)，如图，线段 PF1的中点 M 在 y 轴上，可设 P(3，b)，把 P(3，b)代入椭

2、圆x212y231，得 b234.|PF1|36347 32，|PF2|03432.|PF1|PF2|7 32327.故选 A.3已知 F1，F2为双曲线 C：x2y21 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F1PF260，则|PF1|PF2|()A2B 4C6D8【答案】B【解析】由余弦定理得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|2cos 60（|PF1|PF2|）22|PF1|PF2|F1F2|22|PF1|PF2|PF1|PF2|4.4设 F1，F2分别是双曲线 C：x2a2y2b21 的左、右焦点，点 P62，22 在此双曲线上，且 PF1PF2，则双

3、曲线 C 的离心率等于()A.22B. 2C. 3D.62【答案】B5已知抛物线 C 的顶点是椭圆x24y231 的中心，焦点与该椭圆的右焦点 F2重合，若抛物线 C 与该椭圆在第一象限的交点为 P，椭圆的左焦点为 F1，则|PF1|()A.23B.73C.53D2【答案】B【解析】由椭圆的方程可得 a24，b23，c a2b21，故椭圆的右焦点 F2为(1，0)，即抛物线 C 的焦点为(1，0)，p21，p2，2p4，抛物线 C 的方程为 y24x，联立x24y231，y24x.解得x23，y2 63或x23，y2 63，P 为第一象限的点，P23，2 63，|PF2|12353，|PF1|

4、2a|PF2|45373，故选 B.6已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左顶点与抛物线 y22px(p0)的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A2 3B2 5C4 3D4 5【答案】B37抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，AKl，垂足为 K，则AKF 的面积是()A4B3 3C4 3D8【答案】C【解析】y24x，F(1，0)，l：x1，过焦点 F 且斜率为 3的直线 l1：y 3(x1)，与 y24x 联立，解得 x3 或 x13(舍)，故

5、A(3，2 3)，AK4，SAKF1242 34 3.故选 C.8已知直线 yk(x1)(k0)与抛物线 C：y24x 相交于 A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若|FA|2|FB|，则 k()A.13B.2 23C.23D.23【答案】B49设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，右焦点为 F(c，0)(c0)，方程 ax2bxc0 的两实根分别为 x1，x2，则 P(x1，x2)()A必在圆 x2y22 内B必在圆 x2y22 外C必在圆 x2y21 外D必在圆 x2y21 与圆 x2y22 形成的圆环之间【答案】D【解析】椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，右焦点为 F(

6、c，0)(c0)，方程 ax2bxc0的两实根分别为 x1和 x2，则 x1x2ba，x1x2ca，x21x22(x1x2)22x1x2b2a22aca2a2c2a21e2，因为 0e1，即 0e21.所以 1e211，又b2a22aca2b2a2c2a22，所以 1x21x22b0)的左焦点为 F，右顶点为 A，抛物线 y2158(ac)x 与椭圆交于 B，C 两点，若四边形 ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于()5A.158B.415C.23D.12【答案】D11过曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点 F1作曲线 C2：x2y2a2的切线，设切点为 M，直线 F1M 交曲

7、线 C3：y22px(p0)于点 N，其中曲线 C1与 C3有一个共同的焦点，若|MF1|MN|，则曲线 C1的离心率为()A. 5B. 51C. 51D.512【答案】D【解析】12已知 F1，F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过点 F2与双曲线的一条6渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()A(1， 2)B( 2， 3)C( 3，2)D(2，)【答案】D【解析】如图所示，过点 F2(c，0)且与渐近线 ybax 平行的直线为 yba(xc)，与另一条渐近线 ybax 联立得yba（xc

8、） ，ybax，解得xc2，ybc2a，即点 Mc2，bc2a .|OM|c22bc2a2c21ba2.点 M 在以线段 F1F2为直径的圆外，|OM|c，即c21ba2c，得1ba22.双曲线离心率 eca1ba22.故双曲线离心率的取值范围是(2，)故选 D.13已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，由 F 向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段 PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为_【答案】2【解析】7方法二：双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为xayb0，焦点 F 到渐近线的距离 d|ca|1a21b2b.设线段 PF 的中点 M(x0，y0)

9、，则其到两条渐近线的距离分别为 b，b2，距离之积为b22，又距离之积为|x0ay0b|1a21b2|x0ay0b|1a21b2a2b2c2，则a2b2c2b22，a2c212，e 2.14已知 F1，F2分别是双曲线 3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P 是抛物线 y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则抛物线的准线方程为_【答案】x2【解析】15设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线 ykx(k0)与线段AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E，F 两点若ED6DF，则 k 的值为_【答案】23或38【解析】依题意得椭圆的方程为x24y21，

10、直线 AB，EF 的方程分别为 x2y2，ykx(k0)如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x1x2，则 x1，x2满足方程(14k2)x24，8故 x2x1214k2.由ED6 DF知 x0 x16(x2x0)，得 x017(6x2x1)57x2107 14k2.由 D 在直线 AB 上知，x02kx02，x0212k，所以212k107 14k2，化简得 24k225k60，解得 k23或 k38.16在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在椭圆x225y291 上，点 P 满足AP(1)OA(R)，且OAOP72，则线段 OP 在 x 轴上的投

11、影长度的最大值为_【答案】1517已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F(1，0)，抛物线 E：x22py 的焦点为 M.(1)若过点 M 的直线 l 与抛物线 C 有且只有一个交点，求直线 l 的方程；(2)若直线 MF 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求OAB 的面积【解析】 ：(1)由题意得抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F(1，0)，抛物线 E：x22py的焦点为 M，所以 p2，M(0，1)，当直线 l 的斜率不存在时，x0，满足题意；当直线 l 的斜率存在时，设方程为 ykx1，代入 y24x，得 k2x2(2k4)x10，当 k0 时，x14，满足题意，直线 l

12、 的方程为 y1；当 k0 时，(2k4)24k20，所以 k1，方程为 yx1，综上可得，直线l 的方程为 x0 或 y1 或 yx1.Com(2)结合(1)知抛物线 C 的方程为 y24x，直线 MF 的方程为 yx1，9联立y24x，yx1，得 y24y40，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24，y1y24，所以|y1y2|4 2，所以 SOAB12|OF|y1y2|2 2.18如图，已知椭圆 C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线 y24 6x 的焦点相同，又椭圆 C 上有一点 M(2，1)，直线 l 平行于 OM 且与椭圆 C 交于 A，B 两点，连接 MA，MB.(

13、1)求椭圆 C 的方程；(2)当 MA，MB 与 x 轴所构成的三角形是以 x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围x22mx2m240，(2m)24(2m24)4(4m2)0，.Comm 的取值范围是m|2m2，且 m0，设 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，k1k20，则 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 k1y11x12，k2y21x22，x1x22m24，x1x22m，k1k2y11x12y21x22（y11） （x22）（y21） （x12）（x12） （x22）1012x1m1（x22）12x2m1（x12）（x12） （x22）x1x

14、2（m2） （x1x2）4（m1）（x12） （x22）2m242m24m4m4（x12） （x22）0，故 MA， MB 与 x 轴始终围成等腰三角形时， 直线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围是m|2m2，且 m019已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点分别为 F1(1，0)，F2(1，0)，且椭圆 C经过点 P43，13 .(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设过点 A(0，2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 Q 是线段 MN 上的点，且2|AQ|21|AM|21|AN|2，求点 Q 的轨迹方程因为 M，N 在直线 l 上，可设点 M，N 的坐标分别为

15、(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|AM|2(1k2)x21，|AN|2(1k2)x22.又|AQ|2x2(y2)2 (1k2)x2.由2|AQ|21|AM|21|AN|2，得2（1k2）x21（1k2）x211（1k2）x22，即2x21x211x22（x1x2）22x1x2x21x22.将 ykx2 代入x22y21 中，得(2k21)x28kx60.11由(8k)24(2k21)60，得 k232.其中 x62，62 ，y12，23 55.20如图，已知 M(x0，y0)是椭圆 C：x26y231 上的任一点，从原点 O 向圆 M：(xx0)2(yy0)22 作两条切线，分别交椭

16、圆于点 P，Q.(1)若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)试问|OP|2|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由126（1k21）12k216（1k22）12k226（1k21）12k216 112k121212k12918k2112k219.1321已知动点 P 到定点 F(1，0)和到直线 x2 的距离之比为22，设动点 P 的轨迹为曲线 E，过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A，B 两点，直线 l：ymxn 与曲线 E交于 C，D 两点，与线段 AB 相交于一点(与 A，B 不重合)(1)求曲线 E 的方程；(2)当直线 l 与圆 x2y21 相切时，四边形 ABCD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线 l 的方程；若没有，请说明理由【解析】 ：(1)设点 P(x，y)，由题意可得，（x1）2y2|x2|22，整理可得x22y21.曲线 E 的方程是x22y21.1422如图，已知抛物线 C：y24x，过点 A(1，2)作抛物线 C 的弦 AP，AQ.(1)若 APAQ，证明：直线 PQ 过定点，并求出定点的坐标；(2)假设直线 PQ 过点 T(5，2)，请问是否存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ？若存在，求出APQ 的个数，