泛函分析习题答案

1、第二章度量空间作业题答案提示1、试问在R上，x,y x y 2能定义度量吗?答：不能，因为三角不等式不成立。如取:.=0, y = 1;那么有 x, y 4,而 x,z 1， 乙x2、试证明：1 x, y1x y|2;(2)x, yy在R上都定y义了度量。证：1仅证明三角不等式。注意到1z y|2故有x y仅证明三角不等式从而有易证函数x亡所 以有在R上是单调增加的，a ba1 Ib|a1a b1ab| 1a令 x,y,z R,令 a zb1 by xx,b y zjy z1 |y z1 |y x4.试证明在 C1 a, b 上，(x, y) x(t) y(t)dt (2.3.12)定义了度量

2、证：(1)(x, y) 0 x(t) y(t) 0 (因为x,y是连续函数)(x, y) 0 及(x,y)(y, x)显然成立。b(x,y) a x(t) y(t) dtx(t)z(t) dt |z(t) y(t) dtbx(t)z(t) dtbz(t)y(t) dt(x,z)(z, y)5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明证:Xii 1Xin2 12n2n Xii 18.试证明以下各式都在度量空间R1, 1 和 RR 的 Descartes 积R R1 R2上定义了度量2 2 1/2(1)12； (2)( 12) ;(3) max 1, 2证：仅证三角不等式。1略设 x (X1,X

3、2)， y (川2)R R2，那么%x,y) i2(xi,yj122(X2, y2)212(X1,Z)221 (乙，)2(X2,Z2)2(z2, y2)12 (X1,zJ2 (X2, Z2)12%X,Z)%z,y)1 2至 ii 1(3)%x, y) max i (Xi,yJ,2(X2, y2)max 1(X1, zJ1(w,y1),max 1(为，乙)1(乙，如)%x,z) %(z, y)2(X2,Z2)max 2(X2,Z2)2(X2, Z2)2(X2, Z2)9、试问在Ca,b上的B(xo；1)是什么？Ca,b上图像以Xo为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集 合。10、试考虑C0,2

4、并确定使得y B(x,r)的最小r，其中x sin t, y cost。(X,y) supsint costsup 42sin (t )t 0,2 t 0,2 411.试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。 设A是离散度量空间X的任一子集。a A，开球B(a,-) a A，故A事开集。2同样道理，知AC是开的，故A (AC)C又是闭集。12设X。是M R的聚点，试证明X。的任何邻域都含有 M的无限 多个点。证：略。13. ( 1)假设度量空间R中的序列xn是收敛的，并且有极限x，试 证明Xn的每个子序列Xnk都是收敛的，并且有同一极限。(2)假设Xn是Cauchy序列，并且存在收敛

5、的子序列“, Xnk X，试证明Xn也是收敛的，并且有同一极限。(1)略(2)5N，当mg N时，有(Xm, Xr-ki)2，(Xnki , X) 2 ( Xn是 Cauchy 序列且 XnkX )因此，当mN 时，(Xm，X)(XmXki)(况，X)-18.试证明：Cauchy序列是有界的.证明：假设Xn是Cauchy序列，那么存在叽，使得对于一切n n有人入1,因此，对于一切n，有Xn,Xn0max 1, Xi,XnonoXno 1, Xno和Yn都是度量空间x中的Cauchy列，试证明:Xn, Yn是收敛的。证:根据三角不等式，有n 7Xn,Xm故，Xn,Xmym，yn同样有:nXn ,

6、 Xmym , yn即:Xn，XmYm, Yn0Xn? ynXn? XmXm , ymym, ynmym , y n而R是完备的，那么 n是收敛的。34.假设X是紧度量空间，并且 M X是闭的，试证明M也是紧的。证明：因为X是紧的，故M中任一序列Xn有一个在Xn中收敛的 子序列淙。不妨设Xnk X X，那么有X M。又因M是闭的，所 以X M，因此M是紧的。第三章线性空间和赋范线性空间10.试证明以下都是Rn上的范数1n22:X2i 1X；(3) X maX X ；n(1)収1Xi ；i 11 2n 2XXj|是范数吗?i 11、2和3的证明略1n 2Xii 12不是范数，不满足三角不等式。以

7、为例，令 X 1,0 ,y 0,1 那么 x y 1, x y 413.试证明1C、Co和lo都是丨的线性空间，其中C是收敛数列 集；Co是收敛数列0的数列集；丨0是只有有限个元素的数列集。2C0还是丨的闭子空间，从而是完备的。3I。不是丨的闭子空间。证明：2设 X X1,X2,. C0， Xn 盯用，使得Xn Xn 那么有任意的0， N使得对于一切j，当一-，时有-'I ' ",又因为先:匸爲，所以当二时舌V：1 2从而有|%| 壬 I巧-孕 I + k严 | M £Up|xft-zJ°|+ l"3!=|%m -x| + k严 | &l

8、t; E于是爲 ；： 7 ，故、.上二14. 试证在赋范线性空间二中，级数<；." | v:丨的收敛性，并不蕴含级数I 的收敛性。yn = ipy =音那么论，且于是，丄 i 收敛但- -. . '-.15. 设'一是赋范线性空间，假设级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛 性，贝厂是完备的。证：设X n是 X 中任一 Cauchy 列，贝 U kN, nk, s.t.当 m n nk 时，s-Sm 2 k。而且对一切的k,可选取nk1>nk，从而Snk是S n的一个子列， 并且令X1=Sn1 , Xk =Sn -S nk，那么Snk是级数Xk的局部和序列，从

9、而Xk|Sk Ski|Xi Xi2k1 Xi 1k 2k 2于是Xk绝对收敛，故Xk收敛。不妨设Snk S X,由于Xn是Cauchy列，故|S1 S II Sn Snk I | Snk S 0 又由于Sn是任意的，故证明X是完备的。17.设X，?i和X，|?2是赋范线性空间，试证明其Descarts 积X=X*X2在定义范数|x|=maxX11，X22后也成为赋范线性空 间。证：1X=o X11 = X22=0 X=0,0=2 I X =max xJ1，| X22=| |max|xJ1， x2=| |x3设 X=X1，X2，y=y，y2，那么x y maxx1y? 2maxx y，X2 2

10、y2 maxxn，x22 maxyn，y2 2x y20. 1假设？和?o是X上任意两个等价范数，试证明X，? 和X,?0中的Cauthy序列相同2试证明习题10中的三个范数等价证：设Xn是X, ?中的任一 Cauthy序列，即0， N N,当 n，m>N寸，xn-xm由于|和是X上任意两个等价范数，所以存在正数a, b使 a? o b?*于是当n m>N时，有X n xm o b x n xm b即Xn是X, ? o中的Cauthy序列。反之，假设x n是X, ? o中的Cauthy序列，那么由*左 边不等式，可证x n是X, ?中的Cauthy序列。2 Rn是有限维赋范线性空间

11、，其上的范数都是等价的。202的直接证明:证明在中，范数?1、?2和？等价，其中max Xjin 12(Xi2f ；i 1证1oQXi2max xi ,i故?2和?等价。2o 由 Cauchy-Schwart不等式，得,nXii 1Xi2)V1)i 112 - Xil )2故有再有n1n1x2( x2)2(Xi)22 x1i 1i 1我们得1n x1x2 x1故?1与?2等价29.假设T : D T丫是可逆的线性算子，X1, .,x n是线性无关的，试正明Txi, ., Txn也是线性无关的.证：假设存在入1,，入徒且不全为零，使得1Txl nTxn 0 ,那么由于T 1存在且为线性的，故T

12、1 iTxinTXn1X1nTXn0,与X1,X n线性无关矛盾。32.假设T 是有界性算子，试证明对满足|x 1的任意x D T，都有 Tx T.思路：由|Tx T|x即证结论。33.设T： ： 使得Tx冷争，试证明T Bl,l证：设 x 为公2,，人，,y y1,y2,.,yn,，贝Ut ix 2y1X12 y1 , 1x22y2,.，1xn2yn ,.X2y2Xnyn1x12y1,12,.,1222nn1X1,x2J 2y2y1,.221 1 2 2从而T是线性算子.supnsup nn所以 I ,l ,且进一步可以证明1.37.设T : C1 0,1C10,1 ,使得Txd ,t 0,

13、1 .(1)试求R T和T 1 : R TC10,1 ；试问 T 1 B R T ,C1 0,1 吗?(1)R T是满足y 00且在0,1上连续可微分的函数构成的C1 0,1 的子空间，且 T 1y y' t ,t 0,1 oT1是线性的，但是无界的。事实上，tnntn1，蕴含着T38.在C0,1上分别定义Sx(t)t 0 x(s)ds和 Tx(t) tx(t)(1)试问S和T是可交换的吗？试求Sx，Tx， STx和TSx修改|S，ST， TS(1) ST(x)1S(tx(t) t q sx(s)ds,TS(x)1 2 1T(t 0x(s)ds) t 0x(s)ds,故ST TS ,

14、S和T不是可交换的(2) Sx 0 xds x ,所以S 1令x 1，t 0,1那么1 |sx忖Ix|s于是S1类似可求：T11，ST 1，TS 139.在 XB R上定义范数xsup x(t)，并设 T : Xt RX使得Tx(t) x(t)，其中0试证明TB(X,X) o证：x,y X，贝UT(1x 2y)= 1x(t-)+2y(t- )=1Tx2Ty,即T是线性算子Tx=SUpx(t)二SUpx(t) = x ,t Rt RT 140、证明以下在Ca,b上定义的泛函是有界线性泛函:(1) 仁(x)：x(t)y°(t)dt，y0 Ca,b 固定；(2) f 2(x) x(a) x

15、(b), ,R固定证：(1 )线性性略令 B=max yodo,那么有fx)abBxdx=B (b-a ) x ,故有 f B (b-a )1(2)略41、设C1 1,1上的线性泛函f定义为0 1f(x) 1 x(t)dt ox(t)dt，试求 f解：x C11,1 ,0 1f x x 1dt o dt 2 x，所以|f| 2，11丄1 112ntndt2tndt2g-f001 n 1n取x t tn， n为正奇数，0 -fx|1tndt由于 sup2 2,故 f 2.n 1综上所述，| f 2。44.x tmax t a,bx' t(1) 在C11,1上定义x maxt a,b试证明I?是C1 1,1中的范数。(2) 试证明f X x' c c ¥ 在C1 a,b上定义了有界线性泛函。(3) 试证明视C1 a,b为C1 a,b的子空间时，上面定义的f不再是 有界的。证：1仅证三角不等式I x + y 1 = maX x(t)+ y(t) l+maXx(t)+ y(t) IIImalx