1自然数的序数理论与基数理论PPT课件

1、初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/91第一讲 自然数的基数理论与序数理论1.1、自然数的基数理论1.2、自然数的序数理论初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/92第一讲 自然数的基数理论与序数理论1.1、自然数的基数理论一、自然数的概念1、集合的对等自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。在集合论中，如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应关系，就称集合A与B对等，记作AB集合的对等是一种等价关系，即对等关系满足（1）反身性：AA；（2）对称性：AB，则BA；（3）传递性：若AB，BC，那么AC定义1：如果一个集合能与自己的一个真子集对等，这样的集合叫无限集；否则叫做有限

2、集初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/932、集合的基数定义2：如果两个集合A、B对等，我们称这两个集合具A有相同的基数，集合A的基数记为若AB 则规定集合A的基数不小于集合B的基数AB 即定义3：有限集的基数叫做自然数3、冯诺伊曼的自然数体系定义4：设表示空集，规定集合的基数为0，即0 其余的自然数按下列规则构造：初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/941 2, 3, 依照上述规则，全体自然数就构造出来：0，1，2，n，4、自然数的大小定义5：设A、B是两个集合，C是集合A的真子集，如果BC，则称AB 按照这个定义，自然数有下列大小关系0123 全体自然数作成的集合叫做自

3、然数集，用N表示即0 1 2 , , ,Nn 初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/95二、自然数的四则运算定义6：设A、B是两个有限集，并且AB (由所有不属于C但属于A的元素作成的集合）ABAB则称集合 的基数是集合A与B的基数的和，记为AB1、自然数的加减法定义7：设A、B是两个有限集，并且,ABAB 集合C是集合A中与B对等的子集，AC用符号表示集合C在集合A中的余集则称集合 的基数是 与 的差，记为ACABACAB初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/96定理1：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意, ,a b cN 有（1） (a+b)+c = a+(b+c)

4、（2） a+b = b+a（证明略）2、自然数的乘除法定义8：设A、B是两个有限集，由集合A、B作成的的基数笛卡尔直积( , )|,A Ba baA bB AB 叫做 与 的乘积，记为ABABA B 初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/97定理2：自然数的乘法满足下列算律，即对于任意, ,a b cN 有123( )()()( )( )()ab ca bcabbaa bcabac 结合律交换律乘法对加法的分配率证明略定义9：对于两个自然数a、b，如果存在自然数c使, ,bcaa b cN则称c是a除以b的商，记为, ,caba b cN 初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/

5、981.2、自然数的序数理论一、自然数的皮亚诺公理一、自然数的皮亚诺公理定义定义10：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本关系叫“后继”（ 用符号“”表示），并且这个集合以及这个关系满足下面五条公理:NM21100 就就可可以以推推出出MaMaMN 1（1）1, aNa（2）对任意Na abab （3）对任意有且仅有唯一的后继元 即（4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继，（5）（归纳公理）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足那么这个集合的元素叫做自然数。abab即初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/99二、序数理论下的自然数四则运算二、序数理论下的自然数四则运

6、算Na aa 1定义定义11：设定义 N,b 、a)( baba对于定义ba、其中的叫做加数，ba 叫做它们的和。1、加法、加法这个定义实质上给出了加法的具体步骤。例1：求3+7解：按定义11 4313 54)13(1323 65)23(2333 如此一步一步做下去，直到109)63(6373 初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/910定理3：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意, ,a b cN 有（1） (a+b)+c = a+(b+c)（2） a+b = b+a（证明略）2、自然数的大小、自然数的大小ba 则称a小于b，记为ab 也称b大于a，记为在这个定义下，任何两个自

7、然数都可以比较大小（顺序）。Nba ,Nc 如果存在bca 使定义定义12：对于也就是说，自然数的大小关系具有三歧性：初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/911证明从略定理定理4：任意两个自然数a、b，下面三个关系成立且bababa ,只成立一个：除了三歧性之外，这种顺序还有反对称性和传递性的特点；ba ab 则若ca cbba ,cbba ,若（或），则ca （或）。在这种大小顺序下，自然数的加法满足加法单调律：cba,定理定理5：设是三个自然数，ba cbca （2）若那么ba cbca （3）若那么ba cbca 那么（1）若初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/912

8、dcba,dcba ,推论推论：设是四个自然数，并且cba,定理定理6：设是三个自然数，cbca ba （2）若那么dbca dcba ,（或），那么dbca （或）。自然数的加法还满足加法消去律：cbca ba 那么（1）若cbca ba （3）若那么使 成立的自然数c叫做a减b的差abc 3、减法、减法cba ba 当时，必存在自然数c，使bac 记为,a b定理定理7：对于任意两个自然数,a bab 定义12对于任意两个自然数并且初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/9134、乘法、乘法Nba ,ababa （2）设定义Na aa 1定义定义定义13：（1）设例2：求 73 解

9、6333131323, 313 3 33 23 23639 跟基数理论一样，可以证明，自然数的乘法满足结合律、交换律、乘法对加法的分配率，限于时限，这里不再累述3 73 63 6318321 初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/914cba 、,a b定义定义14：对于任意两个自然数如果存在自然数c，使bac 那么c叫做a被b除得的商，记作5、除法、除法三、自然数集的性质三、自然数集的性质性质性质8：自然数集是全序集。这条性质是说，任何两个自然数都可以在运算的意义下比较大小。性质性质9：自然数集具有阿基米德性质（即对任何两个自然数a，b，一定存在自然数 c，使 bac aa ,性质性

10、质10：自然数集具有离散性（即对任何两个相邻自然数 之间都不存在第三个自然数）。初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/915性质性质11：(最小数原理最小数原理)自然数集的任何非空子集都存在一个最小数。三、数学归纳法三、数学归纳法设 是一个与自然数有关的命题，)(np那么，对一切不小于的自然数命题都成立。0n)(np定理定理12：（第一归纳法原理）：（第一归纳法原理）：)(np)(0nkkn （2）假设命题对自然数成立时，如果：)(np（1）命题0n对某个自然数成立；1 kn对也成立。命题)(np初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/916设 是一个与自然数有关的命题，)(np

11、定理定理13：（第二归纳法原理）：（第二归纳法原理）：如果：)(np（1）命题0n对某个自然数成立；假设命题成立，此时如果命题)(rp)(npkrn 0（2）对满足条件的一切自然数1 kn对也成立。那么，对一切不小于的自然数命题都成立。0n)(np初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/917定理定理14（第三归纳法）：（第三归纳法）：设 是一个与自然数有关的命题，)(np如果：)(np（1）命题 对无穷多个自然数成立)(np)(0nkkn （2）假设命题对自然数成立时，命题)(np1nk对也成立。那么，对一切自然数不小于n0的自然数n，命题 都成立 )(np第三归纳法也叫柯西归纳法初等数学专题研究初等数学专题研究2021/3/918证明： 用反证法：如果命题不能对一切不小于n0的自然数都成立那么将所有使命题不成立的自然数作成一个集合M，那么这个集合必有一个最小数k，则比k小的数至多只有有限个，按条件（1），应该有rk,使命题在r时成立，反复应用条件（2），那么命题必然在1 , 2 , 3 , 2, 1rr这些自然数处成立，由于