正项级数的审敛法（课堂PPT）

1、一、正项级数及其审敛法1.3 正项级数的审敛法上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界. v正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的, 而单调有界数列是有极限. 下页v定理1(正项级数收敛的充要条件) 上页下页铃结束返回首页v定理2(比较审敛法) 设1nnu和1nnv都是正项级数, 且 unvn (n1, 2, ). v定理3 设1nnu和1nnv都是正项级数, 且 unkvn(k0, nN). 若1nnv收敛, 则1nnu收敛 若1nnu发散, 则1nnv发散. 若1n

2、nv收敛, 则1nnu收敛 若1nnu发散, 则1nnv发散. 下页上页下页铃结束返回首页仅就unvn (n1, 2, )的情形证明. 简要证明 因此级数un收敛. 即部分和数列sn有界. v1v2 vns (n1, 2, ),snu1u2 un则级数un的部分和 设级数vn收敛, 其和为s, 反之, 若级数un发散, 则级数vn必发散. 由已证结论, 级数un也收敛, 矛盾. 这是因为如果级数vn收敛,定理2(比较审敛法) 若1nnv收敛, 则1nnu收敛 反之, 若 设1nnu和1nnv都是正项级数, 且 unvn (n1, 2, ). 收敛 反之, 若1nnu发散, 则1nnv发散. 上

3、页下页铃结束返回首页 解 下页v定理2(比较审敛法) 例 1 讨论 p级数) 0( 11pnpn的收敛性. 解 当 p1 时, nnp11, 而级数所以级数pnn11也发散. nnp11, 而级数11nn发散, 设un和vn都是正项级数, 且unkvn(k0, nN). 若级数vn收敛, 则级数un收敛 若级数un发散, 则级数vn发散. 上页下页铃结束返回首页, 1p将级数改写成)1519181()71615141()3121(1ppppppppp31211)21()21(211ppp2) 若)818181()41414141()2121(1ppppppppp当p1时，上式中的最后一个级数是

4、收敛的几何级数，其部分和n有界，从而p-级数的部分和sn满足,12nnnsss也即sn有界，由定理结论知，当p1时， p-级数收敛。上页下页铃结束返回首页 证 因为11) 1(1) 1(12nnnn, 设un和vn都是正项级数, 且unkvn(k0, nN). 若级数vn收敛, 则级数un收敛 若级数un发散, 则级数vn发散. vp级数的收敛性 证 下页v定理2(比较审敛法) p级数pnn11当 p1 时收敛, 当 p1 时发散. 例 2 证明级数1) 1(1nnn是发散的. 而级数111nn发散, 故级数发散, 故级数1) 1(1nnn也发散. 上页下页铃结束返回首页调和级数与 p 级数是

5、用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu上页下页铃结束返回首页例：123425nnn提示：.125342522nnn调和级数与 p 级数是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu上页下页铃结束返回首页 简要证明 明 由极限的定义可知, 对l21, 存在自然数 N, 当nN时, 有不等式 llvullnn2121, llvullnn2121, 即nnnlvulv2321, 再根据比较

6、审敛法, 即得所要证的结论. 设1nnu和1nnv都是正项级数, (1)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv 收敛, 则1nnu 收敛 (2)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv 发散, 则1nnu 发散. v定理4(比较审敛法的极限形式) 上页下页铃结束返回首页v定理4(比较审敛法的极限形式) 设1nnu和1nnv都是正项级数, 下页 例 3 判别级数11sinnn的收敛性. 解 因为111sinlim nnn, 而级数 解 111sinlim nnn, 而级数11nn发散, 级数11sinnn也发散. (1)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv 收敛, 则1nnu

7、收敛 (3)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv 发散, 则1nnu 发散. (2)如果0,vunnnlim 且1nnv 收敛, 则1nnu 收敛 上页下页铃结束返回首页下页v定理4(比较审敛法的极限形式) 设1nnu和1nnv都是正项级数, 例例3 3.1211的敛散性判断nn解:则有令,21,121nnnnvu. 01)21(11limlimnnnnnvu (1)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv 收敛, 则1nnu 收敛 (3)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv 发散, 则1nnu 发散. 上页下页铃结束返回首页下页v定理5(极限审敛法) .1为正项级数设nn

8、u.,lim0lim) 1 (1发散则或若nnnnnnunulnu.),1(0lim)2(1收敛则若nnnpnuplun例例4 4解:.1sin1的敛散性判断nn, 011sinlimnnn.1sin1发散所以nn上页下页铃结束返回首页设正项级数1nnu收敛, 能否推出12nnu收敛 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收敛 ,11nn发散 .思考：上页下页铃结束返回首页设级数1nnu收敛, 能否推出12nnu收敛 ?提示提示:nunn1) 1(思考：.12nun则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对

9、值|rn|un1. 如果交错级数11) 1(nnnu满足条件 v定理(莱布尼茨（ Leibnitz ）定理) (1)unun1(n1, 2, 3, ) (2)0limnnu, 上页下页铃结束返回首页(1)1111nnunnu(n1, 2, ), (2)这是一个交错级数. 解 由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和su11,余项11|1nurnn. 首页则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un1. 如果交错级数11) 1(nnnu满足条件 v定理7(莱布尼茨（ Leibnitz ）定理) (1)unun1(n1, 2, 3, ) (2)0limnnu, 因为此级数满足 (n

10、1, 2, ), (2)01limlimnunnn, 例 10 证明级数 1) 1(11nnn收敛, 并估计和及余项. 例5 上页下页铃结束返回首页;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判别级数的敛散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn发散 , 故原级数发散 .(2)nlimnnn1lim111nn发散 , 故原级数发散 .nnn1n1上页下页铃结束返回首页下页v定理8(比值审敛法, 达朗贝尔审敛法) ，则，则，如果，如果对正项级数对正项级数 nnnnnuuu11lim.1)1(1收敛收敛，则，则若若 nnu .1)2(111发发散散，则则或或若

11、若 nnnnnuuu 证明：时时有有，当当，由由NnNuunnn 00lim1 .1 nnuu上页下页铃结束返回首页时有当使取正数若NnNq, 0, 1, 0, 1) 1 (,1quunn ,221NkkNNNNNuquuququu 11,kkNkNkuuq收敛，收敛，由比较审敛法知由比较审敛法知收敛收敛级数级数.1收敛收敛即即 nnu上页下页铃结束返回首页时有当使取正数若NnN, 0, 1, 0, 1)2(, 11 nnuu,1nnuu 也也即即, 0lim nnu从而从而.1发发散散故故 nnu,lim)3(1时时当当 nnnuu, 1, 0, 011 MuuNnNMnn有有时时当当存存在

12、在取取.,11发发散散可可得得也也即即 nnnnuuu上页下页铃结束返回首页，级级数数的的收收敛敛性性如如何何？若若正正项项级级数数1lim,11 nnnnnuuu提示提示:pnnu1思考：11) 1(1limlim1ppnnnnnnuu上页下页铃结束返回首页散吗？不存在，则级数一定发若正项级数nnnnnuuu11lim,提示提示:nnnu2) 1(5思考：12,431515212,31151521) 1(5) 1(52111knknuunnnnnnnu)21(25上页下页铃结束返回首页.10!)2( ,!)1(11的的敛敛散散性性判判断断级级数数 nnnnnnn 例10 解：.1)11(1)

13、1(!/)1()!1()1(11ennnnnnnuunnnnnn .10110!/10)!1()2(11 nnnuunnnn上页下页铃结束返回首页下页v定理9(根值审敛法, 柯西判别法) 例 8 证明级数 1 3121132 nn是收敛的. 01lim 1lim lim nnunnnnnnn所以, 根据根值审敛法可知所给级数收敛. 因为 解 01lim 1lim lim nnunnnnnnn01lim 1lim lim nnunnnnnnn, .,lim1)2(., 1)1(,lim,111发散发散则则或或若若收敛收敛则则若若如果如果对正项级数对正项级数 nnnnnnnnnnnnuuuuu 上

14、页下页铃结束返回首页 例 9 判定级数12) 1(2nnn的收敛性. 所以, 根据根值审敛法可知所给级数收敛. 因为 解 21) 1(221limlimnnnnnnu21) 1(221limlimnnnnnnu21) 1(221limlimnnnnnnu, 下页v定理9(根值审敛法, 柯西判别法) .,lim1)2(., 1)1(,lim,111发散发散则则或或若若收敛收敛则则若若如果如果对正项级数对正项级数 nnnnnnnnnnnnuuuuu 上页下页铃结束返回首页时 , 级数可能收敛也可能发散 .1例如 , p 级数 :11pnnpnnnnu1)(1n思考思考 :,1pnnu 但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .上页下页铃结束返回首页v定理9(根值审敛法, 柯西判别法) .)2332(的敛散性判断级数nnn例例解：解：.,l