极坐标讲义与例题

1、极坐标极坐标与参数方程与参数方程 一、基础知识与例题一、基础知识与例题 考向一 极坐标系与简单曲线的极坐标方程极坐标系与简单曲线的极坐标方程 考向：求点的极坐标、曲线的极坐标方程，把直角坐标化为极坐标系、极坐标化为直考向：求点的极坐标、曲线的极坐标方程，把直角坐标化为极坐标系、极坐标化为直角坐标角坐标 例 1 在极坐标系中，直线 C1的极坐标方程为 sin 2，M 是 C1上任意一点，点 P 在射线 OM 上，且满足 |OP| |OM|4，记点 P 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2的极坐标方程； (2)求曲线 C2上的点到直线 C3：cos4 2距离的最大值 解：(1)设P(，)，M(1，

2、)，依题意有 1sin 2，14. 消去1，得曲线C2的极坐标方程为2sin (0) (2)将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x2(y1)21，C3：xy2.C2 是以点(0，1)为圆心，以 1 为半径的圆，圆心到直线C3的距离d3 22， 故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为 13 22. 考向二 简单曲线的参数方程简单曲线的参数方程 考向：求曲线的参数方程，化考向：求曲线的参数方程，化参数方程为普通方程，参数方程的应用参数方程为普通方程，参数方程的应用 例 2 已知圆(x2cos )2(y2cos 22)21. (1)求圆心的轨迹 C 的方程； (2)若存在过点 P(0

3、，a)的直线交轨迹 C 于 A，B 两点，且|PA|，|AB|，|PB|构成等比数列，求 a 的取值范围 解：(1)圆(x2cos )2(y2cos 22)21 的圆心(x，y)的坐标为(2cos ，22cos 2)，即x2cos ，y22cos 2，消去参数后可得轨迹C的方程为y4x2(2x2) (2)设直线AB的方程为xtcos ，yatsin (为直线AB的倾斜角，t为参数)，代入y4x2，得t2cos2tsin a40，显然 cos 0，即2，设其两根为t1，t2.|PA|，|AB|，|PB|构成等比数列，即|AB|2|PA|PB|，又|PA|PB|t1t2|a4cos2，|AB|2|

4、t1t2|2sin2cos44a4cos2sin24（a4）cos2cos4， sin24（a4）cos2cos4a4cos2， 即 sin24(a4)|a4|cos2， tan24(a4)|a4|.由 tan20 得a4， 又|PA|PB|t1t2|0，a4，tan25(a4)， 又设轨迹上的点M(2，0)，N(2，0)， 则 tan2k2MPa24，a220a800，又a4， a102 5或 4a102 5. 考向三 极坐标与参数方程的综合极坐标与参数方程的综合 考向：极坐标方程与参数方程交汇考查，为坐标系与参数方程试题的基本考查方式考向：极坐标方程与参数方程交汇考查，为坐标系与参数方程试

5、题的基本考查方式 例 3 在极坐标系中， 圆 C 的极坐标方程为 2 3cos 2sin ， 点 A 的极坐标为( 3，2)，把极点作为平面直角坐标系的原点，极轴作为 x 轴的正半轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位 (1)求圆 C 在直角坐标系中的标准方程； (2)设 P 为圆 C 上任意一点，圆心 C 为线段 AB 的中点，求|PA|PB|的最大值 解：(1)2 3cos 2sin ， 22 3cos 2sin . 由于2x2y2，xcos ，ysin ， 得x2y22 3x2y0. 圆C在直角坐标系中的标准方程为(x3)2(y1)24. (2)点A的极坐标为(3，2)， 点A的直角坐标为

6、(3cos 2，3sin 2)，即(3，0) 圆心C(3，1)为线段AB的中点， 故点B的直角坐标为(3，2) 圆C的参数方程为x32cos ，y12sin (为参数)，P为圆C上任意一点， 设点P的坐标为(32cos ，12sin )， 则|PA|PB| （2cos ）2（2sin 1）2 （2cos ）2（2sin 1）254sin 54sin （54sin 54sin ）2102 2516sin2. 当 sin 0 时，(|PA|PB|)max 10102 5. |PA|PB|的最大值为 2 5. 二、二、教师备用例题教师备用例题 例 1. 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参

7、数方程为x23t，y24t(t 为参数)， 它与曲线 C：(y2)2x21 交于 A、B 两点 (1)求|AB|的长； (2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，设点 P 的极坐标为2 2，34，求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 解：(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程，化简得 7t212t50， 设A，B对应的参数分别为t1，t2， 则t1t2127，t1t257. 所以|AB| （3）2（4）2|t1t2| 5 （t1t2）24t1t210 717. (2)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(2， 2)， 根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为t1t

8、2267. 所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|（3）2（4）2670 307. 例 2. 直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的方程为 4cos ，直线 l 的方程为x232t，y12t(t 为参数)，直线 l 与曲线 C 的公共点为 T. (1)求点 T 的极坐标； (2)过点 T 作直线 l，l被曲线 C 截得的线段长为 2，求直线 l的极坐标方程 解：(1)曲线C：4cos 化为直角坐标方程为x24xy20. 将x232t，y12t 代入上式并整理得t24 3t120. 解得t2 3.所以点T的坐标为(1，3) 其极坐标为2，3.

9、(2)设直线l的方程为y3k(x1)，即kxy3k0. 由(1)得曲线C是以(2，0)为圆心的圆，且圆心到直线l的距离为3. 则|3k|k213. 解得k0 或k3. 直线l的方程为y3或y3x. 其极坐标方程为sin 3或3(R R) 三、相关练习 1.已知椭圆的极坐标方程为，点为其右焦点， （）求曲线的普通方程； ().过点作倾斜角为的直线 l 与曲线交于不同的两点求的取值范围。 2.平面直角坐标系xoy中，点2,0A在曲线1C:cossinxay， （0,a为参数）上。以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线2C的极坐标方程为：= cosa （）求曲线2C的普通方程 （）已

10、知点,M N的极坐标分别为12(, ),(,)2 ，若点,M N都在曲线1C上，求221211的值。 3.已知过点 P（-1，1）的直线 m 与抛物线2yx交于 A、B 两个不同点，在线段 AB 上有动点 Q，满足|PA|、|PQ|、|PB|的倒数成等差数列 （I）若|PA|PB|=509,求直线 m的斜率； （II）求证：动点 Q 在定直线l上，并求出直线l的方程； 4.已知一条封闭的曲线 C 由一段圆弧tytxCsin2cos2:1 3,3t和一段抛物线弧:2C) 1(122xxy组成。 （1）以x轴的正半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程； （2）若过原点的直线l

11、与曲线 C 交于 A、B 两点，求|AB|的取值范围。 5. 在极坐标系中，已知曲线1C：0)4cos(，2C：)0(2在直角坐标系中，曲线3C：tytx442（t为参数） 设1C与2C相交于点 P （）求点 P 的极坐标； （） 若动直线l过点 P， 且与曲线3C相交于两个不同的点BA,， 求PBPAPBPA的最大值 6.已知直线l的参数方程为4cos ,1sinxtyt 其中t是参数，是l的倾斜角。直线l与椭圆22184xy相交于不同两点 A，B。 （I）求tan的取值范围； （II）已知点 P 的坐标为(4,1)，若线段 AB 上的一点PAAQQPBQB满足，当变化时，求点Q的轨迹方程。

12、 7.在极坐标系中，已知圆 C 的圆心极坐标为( 2,)4，半径为 1 （）求圆 C 的极坐标方程； （II）以极点为原点，极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系。其中定点 P(2，2)，过 P 作倾斜角为的直线。 设该直线与圆 C 交于不同两点 A,B， 求11|PAPB的取值范围. 参考答案参考答案 1.已知椭圆的极坐标方程为，点为其右焦点， （1）求曲线的普通方程； (2).过点作倾斜角为的直线 l 与曲线交于不同的两点求的取值范围。 （）曲线的普通方程为.4 分 （II）直线 L 的参数方程为代入椭圆得： +6cost-9=0 , t= . 7 分 又-1cos 或或 所求为所求为: .1

13、0 分 2.平面直角坐标系xoy中，点2,0A在曲线1C:cossinxay， （0,a为参数）上。以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线2C的极坐标方程为：= cosa （）求曲线2C的普通方程 （）已知点,M N的极坐标分别为12(, ),(,)2 ，若点,M N都在曲线1C上，求221211的值。 解: (1)将点 A 坐标代入曲线1C,得:2a 所以: 曲线:2Cxyx222 (2) 曲线:1C1422 yx, 将点)sin,cos(11M,)cos,sin(22N代入曲线:2C 1sin4cos221221 (1)1cos4sin222222 (2) 由(1)(2)可

14、得:45112221 已知过点 P（-1，1）的直线 m 与抛物线2yx交于 A、B 两个不同点，在线段 AB 上有动点 Q，满足|PA|、|PQ|、|PB|的倒数成等差数列 （I）若|PA|PB|=509,求直线 m的斜率； （II）求证：动点 Q 在定直线l上，并求出直线l的方程； 解（I）设直线m的参数方程为1cos1sinxttyt （ 为参数, 为直线m的倾斜角），代入抛物线方程并整理得：22sin2sincos20tt（），A、B、对应的参数分别为12tt、， 则 PA1t，PB2,t|PA|PB|=|1t2t|=22sin，2250sin9得 3sin0,sin5，4s5co ，

15、3tan4 2221212sincos8sin0,tan22（），3tan4舍去 直线 m的斜率为34.5 分(未舍去34tan扣 1 分) （II）由解（I）知 A、B、对应的参数12tt、是方程22sin2sincos20tt（） 的两个根，设 Q 对应参数为t，则1 212222cos2s0,sinsinint ttt, |PA|、|PQ|、|PB|的倒数成等差数列, 1 2121120| |t tttt，Q 在线段 AB 上12ttt 、 、同号，所以1 2121221124cos2sint tttttt， t=8 分 4cos14cos8sincos2sin2314scos2sin1

16、cos2sinxQ xyxyiny （ ， ）满足：， 所以Q在定直线上, 定直线方程为:210 xy .10 分 3.已知一条封闭的曲线 C 由一段圆弧tytxCsin2cos2:1 3,3t和一段抛物线弧:2C) 1(122xxy组成。 （1）以x轴的正半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程； （2）若过原点的直线l与曲线 C 交于 A、B 两点，求|AB|的取值范围。 1)35,3(,cos113,3, 2:C 22，38 4.在极坐标系中，已知曲线1C：0)4cos(，2C：)0(2在直角坐标系中，曲线3C：tytx442（t为参数） 设1C与2C相交于点 P （

17、）求点 P 的极坐标； （） 若动直线l过点 P， 且与曲线3C相交于两个不同的点BA,， 求PBPAPBPA的最大值 解： （）联立20)4cos(得：点 P 坐标为)4,2(4 分 （）曲线3C的普通方程为：xy42，又点P的直角坐标为) 1, 1 ( 设直线l：sin1cos1tytx， （t为参数，为倾斜角） 代入式得： 03)c o s2( s in2s in22tt，设BA,点对应参数分别为21, tt 221221sin3sin)cos2(sin2tttt， 2sin24232121ttttPBPAPBPA， 当12sin，即4时，PBPAPBPA的最大值为42310 分 5.已

18、知直线l的参数方程为4cos ,1sinxtyt 其中t是参数，是l的倾斜角。直线l与椭圆22184xy相交于不同两点 A，B。 （I）求tan的取值范围； （II）已知点 P 的坐标为(4,1)，若线段 AB 上的一点PAAQQPBQB满足，当变化时，求点Q的轨迹方程。 解（1）将直线l的参数方程4cos,1sinxtyt 代入椭圆方程22184xy，并化简得222(cos2sin)(8cos4sin)100tt。 设点 A，B 对应的参数分别为12,t t，则12,t t是上方程的两个不等的实根，于是有 22216(2cossin)40(cos2sin)0 ，即有 222(2tan)5(1 2tan)0，解得210210tan44。