江苏省常州市2019届高三数学期中试卷(理)

1、 常州市2019届第一学期期中考试201811 高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1设集合，则 2已知向量，若，则实数的值为 3设R，则是的 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）4已知等差数列的前项和为，若，则 5已知是函数的导函数，实数满足 ，则的值为 6已知，若向量与共线，则实数的值为 7已知函数为偶函数，且在单调递减，则的解集为 8在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段弧上，角以为始边，为终边若，则所在的圆弧是 9函数(且)的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小

2、值为 10已知R，函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是 11在等腰梯形中，若，且，则实数的值为 12已知不等边（三条边都不相等的三角形）的内角的对边分别为，若，则的弧度数为 13已知定义在R上的函数，若存在实数，使得对任意实数都有成立，则实数的最小值为 14若正实数、满足，且，则的取值范围为 二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）的内角、的对边分别为、，已知， ，. 求角的值； 求的面积16（本题满分14分）已知为坐标原点，若. 求函数的最小正周期和单调递增区间； 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，

3、再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最小值17（本题满分14分）常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 （单位：分钟）满足，经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为. 求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； 若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？18（本题满分16分）已知函数 讨论的单调性； 若恒成立，求实数a的取

4、值范围19（本题满分16分）设函数，其中， 若，求曲线在点处的切线方程； 若，求的极值； 若曲线与直线有三个互异的公共点，求实数的取值范围20（本题满分16分）设数列的前项和为已知，设. 求证：当时，为常数； 求数列的通项公式； 设数列是正项等比数列，满足：，求数列的前n项的和2019届第一学期期中考试201811 高三理科数学试题参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1 2 3充分不必要 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15

5、解：（1）由，故，得，-2分即，得-4分又，即；-7分（2）由已知，由正弦定理得， ，-9分由余弦定理，得，解得，-12分的面积为-14分16 解： (1)由题意，所以，-3分fx的最小正周期为， -4分令，得，所以fx的单调递增区间为. -6分(2)由(1)得，所以将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数；-8分再将得到的图象向左平移个单位，得到， -10分， 当即时，-13分即函数在上的最小值为2 -14分17解（1）由题意知，（为常数），-2分，-3分， -5分，-6分（2）由，可得，-8分当时，当且仅当时等号成立；-10分当时，当时等号成立，-12分当发车时间间

6、隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.- - 14分18解：（1）函数的定义域为，-2分若，则，在单调递增；-3分若，则由得当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增；-5分若，则由得当时，；当时，故在单调递减，在单调递增-7分（2）若，则，所以-8分若，则由（1）得， ，从而当且仅当即时，.-11分若，则由（1）得， ，-13分从而当且仅当即时，.-15分综上，实数a的取值范围为.-16分19解：（1）函数， ，时，-2分在点处的切线方程为；-3分（2）当时， ，-4分令，解得或；当变化时，的变化情况如下表；（，）（t2，t2+）（，+）+00+单调增极大值单调减极小值单调增-6分的极大值为，极小值为；-8分（3）令，可得；设函数，则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个不同的零点；-9分又，当时，恒成立，此时在上单调递增，不合题意； -10分当时，令，解得，；在上单调递增，在上单调递减，在上也单调递增；的极大值为；极小值为；-12分若，由的单调性可知，函数至多有两个零点，不合题意；若，即，解得，-13分此时，且；，-15分从而由的单调性可知，在区间，内各有一个零点，符合题意；的取值范围是-16分20解：（1）由题意：n=1时，；-1分当时， ， -3分，-5分 当时