圆锥曲线最值问题及练习

1、圆锥曲线最值问题及练习中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最 值问题有两个特点：覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积， 解二元二次方程组，基本不等式等）求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式 法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。1回到定义2 2例1已知椭圆y =1，A（4,2595点，P是椭圆上任一点，求：（1）求一4（2）求|PA|+|PB的最小值和最大值。略解：（1） A为椭圆的右焦点。作PQ丄右准线于点Q,则由椭圆的第二定义= 4 ,| PQ| 5二5| PA| | PBH

2、 PQ | PB | 问题转化为在椭圆上找一点P,使其到点B和右准线的距离之和最4小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为17。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC| |P|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+（|PB|PC|）根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-|BC|< |PB| -|PC|BC|当 P到 P"位置时，|PB卜|PC|=|BC|PX|+|PB有最大值，最大值为10+|BC|=10 ' 2'、10 ；当 P到 P"位置时

3、，|PB卜|PC|=-|BC|P|+|PB有最小值，最小值为10-|BC|=10 -2、10。回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质 来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。2、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线y =4x2上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。1 24(t)2 +42.171当t匕时，dmin4,17，故所求点为(-,1)。22 2例3、已知一曲线y = 2x , (1)设点A的坐标为(一,0),求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应3的距离|PA|; (2)设

4、点A的坐标为(a,0 a R,求曲线上点到点A距离最小值d,并写出d=f (a)的 函数表达式。解: (1)设M (x,y)是曲线上任意一点，则y2 =2x (x _ 0)22 222 21 21MA =(x)+ y =(x)+2x = (x+-) + / x>03333MAh/ ：所求P点的坐标是(0,0)，相应的距离是AP=2(2)设 M (x,y)是曲线上任意一点，同理有 MA2 = (x a)2+y2=(xa)2+2x2二x-(a-1)(2a -1) x_0综上所述，有d*2a_1 (当 a1时) 芒(当ac1时)3、运用函数的性质例4、在厶ABC中，.A , B, - C的对边

5、分别为a,b,G且c=10,cos A b 4PABC内切圆上动点，求点P到顶点A, B, Ccos B a 3的距离的平方和最大值与最小值。解：由 cosA = b 二 sn B = sn AcosA -cosBsh A = 0= sn 2A = sh 2B cosB a sn Ab4b 4兰=_式12A = 2B ABC 为 Rt由 C=10,且上=知 a=6b=8a3a 3设厶ABC内切圆半径为r,如图建立直角坐标系，则RtAABC的内切圆M的方程为：(x -2)2(y-2)2 =4 设圆M上动点P (x,y) (0辽x乞4)，则P点到顶点A, B, C的距离的24t + 5解：设抛物线

6、上的点P(t,4t )，点P到直线4x-y-5=0的距离d=-=一 心7平方和为：总=PA? + PB2 +|PC2 =(x8)2 +y2 +x2+(y 6)2 +y2 +x22 2 2 2=3x 3y -16x-12y100=3(x-2) (y-2)-4x 76=88-4x 点 P 在内切圆 M 上，0_x_4，于是 max =88 一0 =88 min =88-16=72例5、直线m： y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A , B两点，直线L过点P (-2, 0)和线段AB的 中点M，求L在y轴上的截距b的取值范围。略解：设 A (乂鸡射)，B 区加，M (x°,y0)

7、，将 y=kx+1 代入 x2-y2=1 得(1-kjx2-2kx-2=0,由题意， >0且 X什x2<0,X1X2>0,解之得 1 ：儿)，又由 P(-2, 0)，M，Q(0, b)共线,1 -k2212-2k2 k 22-2k2 k 2F面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在(1.2)上是减函数，可得b ： -2 - ',2或b 2。2X例6、已知P是椭圆一42卜y -1在第一象限内的点，A (2, 0), B (0, 1), O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。略解：设P (2cosB ,sinB ), (0<0 <刃/2点P到直线AB :

8、x+2y=2的距离_ |2cos 日 2in 日 2|2鬲n3+2| ?辰2 1近巧广5二 爲匕厂5所求面积的最大值为 24、判别式法例7、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y 2 = X上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。一 2 2解：设点A、E的坐标分别为(xyj , (x2, y2)，那么人二力,化=y 由题意，得2 2 23 十2 -xj仏yJ，又AB的中点M (x,y)到y轴的距离为X二，将代入整理得4(y°2)2 2y2 32 -4x2 -2x =0，t yy为实数,2255故 = 4 一4 4(3 _4x _2x)_0又:x>

9、;0得x ，当x 时，4=0由解得442yy，（ y2）42215=% y2 2y<iy2 = 2x 2 -2412，可得yi y . 2,2由，可得yi , y，由即得相应的Xi , X2。55 ' 2512故AB的中点M距y轴最短距离为x0，且相应的中点坐标为(一，)或(一，)。44 2422222.y -y21法一：y1 x-i y2x2 y - y2人x2k =捲 _x2 2y2 2 2 2 2 - 3 二1 (2y)(如y2)二 9=(1 4yy?)2 22x 二人 X2 二 y 2y y2 2 2 2 2由得2x-4y = -2y1y2+得4x-4y =(%-丫2)代

10、入得4x J 4y2 _2 9-1 =5= x _51 +4y24当且仅当91 4y2=4y 21y2 =1 y =时等式成立。2 25Xmin452M(说明：此法即为下面的基本不等式法。5、利用基本不等式2例8、已知椭圆 y2 =1 , F1, F2为其两焦点，P为椭圆上任一点。求:4（1） |PF1|PF|的最大值；（2） |PFf+|P甘的最小值。略解：设 |PF|=m,|PF|=n则 m+n=2a=4 |PF1|PE>|=mn<2 2 2 2|PF| +|PFF| =(|PF|+|PF|)-2|PF|PF|4 -2 4=8参考练习:2 21、过椭圆E：笃再=1 （a>b>0）上的动点P向圆O: x2+y2=b2引两条切线PA, PB,切点分别为a bb3A, B，直线AB与x轴、y轴分别交于M , N两点。求 MON的面积的最小值。（）a2、设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为e冷，已知点P（0, 3/2）到这个椭圆上的点的最远距离为' 7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标。2(*4寸=1，所求点为（二、3, -1(1)(3)23、P为椭圆jX2 y2 1上的一个动点，它与长轴端点不重合，a