坐标平面上直线知识点归纳

1、坐标平面上的直线知识点归纳一、直线的倾斜角和斜率：(1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把 x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为:，那么:-就叫做直线的倾斜角。注意：规定当直线和 x轴平行或重合时，其倾斜角为0，所以直线的倾斜角:-的范围是 0 _ ：180 ；(2)直线的斜率：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，k = tan :- 斜率是用来表示倾斜角不等于90的直线对于x轴的倾斜程度的。 每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于x轴时，其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关

2、问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 斜率计算公式：设经过和B(x2,y2)两点的直线的斜率为 k，则当 = x2时，k =tan二yy ；当花=x2时，二90 ；斜率不存在； % _ x2二、直线方程的几种形式：(1)点斜式：过已知点(X0,y)，且斜率为k的直线方程：y-y =k(x-X0)；注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为= x0 ； y_y 二 k 表示：y - y0 二 k(x - x0) 直线 上除夫(x0, y0)的图形 。X X。（2）斜截式：若已知直线在 y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程：y = kx b ； 注意：正确理

3、解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。(3)两点式：若已知直线经过（xyj和（x2,y2）两点，且（x x2,y y2），则直线的注意：不能表示与 x轴和y轴垂直的直线;当两点式方程写成如下形式（x2 - xj（y - yj -（y2 - yj（x - xj = 0时,方程可以适应在于任何一条直线。截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是 a，b（ a = 0,b = 0）则直线方程:注意： 不能表示与 x轴垂直的直线， 也不能表示与 y车由垂直的直线， 特另U是不能表 示过原点的直线，要谨慎使用。X = x0 + atab（5）参数式：丿 0（t为参数）其中方向

4、向量为（a,b）, （）；厂 +bt/a7 707|PPo V点R, P2对应的参数为tl,t2 ,则 | P1P2 | -|tl -上2 |. a2b2X = x0 +tcos y = y0 +tsin a（t为参数）其中方向向量为（cos鳥,sin鳥）,t的几何意义为| PFO |;斜率为tan ：；倾斜角为:（0空：二）。（6） 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax By C = 0 ; （ A,B不同时为零）；反之，任何一个二兀一次方程都表示一条直线。注意：直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数代B, C是否为0才能确定。指出

5、此时直线的方向向量：B- A(B,_A)，(_B,A)，(B,A ).A2 B2 . A2 B2(单位向量)直线的法向量：（A, B）;（与直线垂直的向量）2:匸k；XA或l2：Ax；旣；彰00；当 k“k2或AiB- A2B1时它们相交，交点坐标为方程组解；y=kix+d 或:Ax + Biy+Ci = 0y=k2x+b2 或 、A2x + B2 y+C2 = 0三、两直线的位置关系:宀护方 位置大糸h : y = &x 丨2 ： y = k2x +b2h : Ax + B! y +0 = 012 : A2x + B2 y + C2 = 0平行k = k?，且 b| h b?ABiCi=丰A

6、B2C2重合 = k2，且 d = b2AEG A B2 C2相交k k2A1 B1A b2垂直kik 1A A2 + B1B = 0设两直线的方程分别为:注意：对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；女口：（A,BJ = （A，B2）对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；女口（ApBJ （A2, B2 0若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另 直线的斜率为_0_，则两直线垂直。对于A| A2 RB2 =0来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此,此公式使用起来更方便. 斜率相等时，两直线平行 （重合）；但两直线平行（重合）时，斜率不一定相等, 因为

7、斜率有可能不存在。四、两直线的交角（1 ） h到12的角：把直线li依逆时针方向旋转到与12重合时所转的角；它是有向角，其范注意：li到12的角与丨2 到 li的角是不一样的：旋转的方向是逆时针方向:绕“定点”是指两直线的交点。（2） 直线li与12的夹角：是指由li与I2相交所成的四个角的最小角 （或不大于直角的角），JT它的取值范围是0 _2（3） 设两直线方程分别为：h ： y = &x 5或h ： Ax Biy0l2：y=k2x+b2 l2 : A2x + B2y+C2 = 0若二为li到l2的角,ta”或 ta” = ABBAi B2 - A2 BiAi A2Bi B2i + k2

8、kiA A2 + B B2若日为li和l2的夹角，贝U tan日=2乞或tan日 i +k2ki当 i kik2 =0或 AA BiB2 = 0时，=90 : 注意：上述与k有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。直线li到l2的角li和l2的夹角平订）或五、点到直线的距离公式:| Ax0 By0 C | 设点P(Xo, y。)和直线l : Ax By0，点P到I的距离为：d ： 07 -1 ;JA2 +B2I C _ C | 两平行线 l1 : A,x B1y C0 , l2 : A2x B2y C2 =0的距离为：d 12A2

9、 +B2六、直线系：(1) 设直线h ： Ax Ry G =0 , J ： A?xB2 y0，经过匚的交点的直线方程为 A1x B1 y C . (A?x B2y C2)0 (除去 l2)；女口：y = kx 1 = y -1 - kx = 0，即也就是过 y - 1 = 0与x = 0的交点(0,1)除去x =0的直线方程。注意：推广到过曲线(x, y) =0与f2(x,y) =0的交点的方程为： (x)f (x2) = 0 ；(2) 与I:Ax By 0平行的直线为Ax ByC0 ；(3) 与丨：Ax By C二0垂直的直线为Bx - AyC0 ；七、对称问题：(1)中心对称： 点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a,b)关于C(c,d)的对称点(2c-a,2d -b) 直线关于点的对称：I、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；n、求出一个对称点，在利用l1/l2由点斜式得出直线方程；川、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线l1 ：2x 30关于点P(1,-1)对称的直线12的方程。(2 )轴对称：点关于直线对称：I、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。n、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线