微积分在大学物理的一些应(共12页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上微积分在大学物理的一些应用 班级 2010级数学与数学应用本科班学号指导老师刘小伟姓名潘安林摘要在大学物理中微积分有非常大的用处，随处可见给我们解题带来的方便。即如在质点运动，力学，功，热学，电磁学等都有体现出了。在习题解答中也处处能用到，也许是他们的特殊的性质和集合意义，让他们在物理应用中非常的全面。如在质点运动中瞬时速度，用符号 “”表示，即。微积分作为数学的一门分支学科，在物理学中有着非常重要的应用价值。大学物理中，我们常常研究始终都在变化的物理量，会觉得很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就就可以认为是常量处理，最终加起来就行了。关键词：微积分，取极限，

2、分割，求导引言微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细化”就是微分，“无限求和”就是积分。在学习物理的过程中，我们常常是在研究不规则的物理量或物理状态。有了这个思想，那我们就可以把问题细化，研究一个小的微元的变化量，然后相加，非常方便。一、力学1.1质点运动学1、若质点在时间内的位移，则定义与的比值为质点在这段时间内的平均速度，写为 其分量形式当时，平均速度的极限值叫做瞬时速度，用符号“”表示，即时，的量值可以看作和相等，此时瞬时速度的大小等于质点在该点的瞬时速率。 时刻质点的速度为在时刻，质点位于下一点时其速度为；则在时间内，质点的速度为。定义质点在这段时间内的平均加速度为

3、 平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，即这样在解题过程中就能用到。微积分在题目中的用处十分的便捷。如下例题例1、质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为 2+6，的单位为，的单位为 m. 质点在0处，速度为10,试求质点在任何坐标处的速度值解： 分离变量： 两边积分得由题知，时，, 2、在运动学中微积分同样可以发挥作用，就连在振动欲动中我们也能用微积分来解救问题，如：例2、如题1图所示，物体的质量为，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为，滑轮的转动惯量为，半径为先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求

4、振动周期 题1图解：分别以物体和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为轴正向，则当重物偏离原点的坐标为时，有 式中，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有令 则有故知该系统是作简谐振动，其振动周期为1.2牛顿定律物体的质量m和其运动速度的乘积叫做物体的动量，用符号“”表示。是矢量，其方向与速度的方向一致。牛顿第二定律的内容是：动量为的物体，在合力的作用下，其动量随时间的变化率应当等于作用与物体的合外力。其微积分的表达式为 物体运动的速度小于光速时，物体的质量可以认为是常量，此时上式可写成在直角坐标系中式可以沿着坐标轴分解，写成如下式即物体

5、在运动的过程中力一般的时刻在变的，那利用微积分学就能让变化的力变成一个简单的匀速直线运动，然后积分和变速运动。下面用一个例子说明下，微积分用在这里很方便，给我们解题带来了很大的帮助。见例题：例3、一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k为常数（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；（2）试证在时间t内，船行驶的距离为证明（1）分离变量得，积分 ，可得 （2）公式可化为，由于v = dx/dt，所以积分 因此 证毕讨论当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma由于a =

6、 d2x/dt2，而 dx/dt = v，所以 a = dv/dt，分离变量得方程1.3动量定理牛顿第二定律的积分形式为即在经典力学里，当物体运动的速度远远小于光速时，物体的质量可以认为是不依赖于速度的常量，此时上式变形为在作用下的一段时间内，上式两端可积分，得式中，、以及、分别对应、时刻的动量和速度。式子左面为力在这段时间内对时间的积累，叫做力的冲量，即显然我们就能利用上面的公式来求解题目，即使物体在做不规则运动，我们仍然也能求得到。1.4功在以前我们知道用公式计算但当物体的路径是不规则的那我们在呢么办呢。有了微积分学的帮助问题就简单多了，当质点有A点运动到B点，此过程中作用于质点上的力的大

7、小和方向时刻都在变化。为求的在此过程中变力所做的功，可以把A到B的路径分成很多小段，每一小段都看做是一个元位移，在每个元位移中，力可以近似看作不变。因此我们就能用微积分式子表示它，即：合力的功，等于各个分力的功的代数和。我们可以把力和看作是其在各个坐标轴上的分力的矢量和，即 此时做功为各个分力所做功为同理，若有几个力、同时作用在质点上，则其合力所做的功为二，热学2.1气体分子的速率我用一个例题说明微积分在这里的一个简单的应用。例4、 设有个粒子的系统，其速率分布如题2图所示求(1)分布函数的表达式；(2)与之间的关系；(3)速度在1.5到2.0之间的粒子数(4)粒子的平均速率(5)0.5到1区

8、间内粒子平均速率题2图解：(1)从图上可得分布函数表达式满足归一化条件，但这里纵坐标是而不是故曲线下的总面积为，(2)由归一化条件可得(3)可通过面积计算(4) 个粒子平均速率(5)到区间内粒子平均速率 到区间内粒子数三、电磁学3.1电磁学是研究电、磁和电磁的相互作用现象，及其规律和应用的物理学分支学科。根据近代物理学的观点，磁的现象是由运动电荷所产生的，因而在电学的范围内必然不同程度地包含磁学的内容。所以，电磁学和电学的内容很难截然划分，而“电学”有时也就作为“电磁学”的简称.早期，由于磁现象曾被认为是与电现象独立无关的，同时也由于磁学本身的发展和应用，如近代磁性材料和磁学技术的发展，新的磁

9、效应和磁现象的发现和应用等等，使得磁学的内容不断扩大，所以磁学在实际上也就作为一门和电学相平行的学科来研究了。和电磁学密切相关的是经典电动力学，两者在内容上并没有原则的区别。一般说来，电磁学偏重于电磁现象的实验研究，从广泛的电磁现象研究中归纳出电磁学的基本规律；经典电动力学则偏重于理论方面，它以麦克斯韦方程组和洛伦兹力为基础，研究电磁场分布，电磁波的激发、辐射和传播，以及带电粒子与电磁场的相互作用等电磁问题，也可以说，广义的电磁学包含了经典电动力学。微积分在电磁学中的应用实例：例5、.同轴电缆的内导体是半径为的金属圆柱，外道体是内外半径分别为和的金属圆桶，两导体相对磁导率为，两者之间充满相对磁

10、导率为的不导电的均匀介质。电缆工作时，两导体的电流均为I（方向相反），电流在每个导体的横截面均匀分布。求各区的B。解：根据有介质时的安培环路定理分别在区内求解 (31) (32) (33)在区域，由有介质的安培环路定理得：H=0 B=0 (34)这是一个计算磁感应强度的典型例题，在空间的传导电流分布及磁介质性质已知时，运用了安培环路定理，在恒定磁场理论原则上应能求的中安培环路定理是非常重要的一个定理，它说明了磁场不是势场，不是势场的矢量场称为涡旋场。所以磁场B是涡旋场。在静磁学中，当电荷分布有适当对称性时单从安培环路定理就可求得恒定磁场。它对任意恒定磁场中的任意闭曲线都是成立的.例6、一个半径为的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处点的场强解: 如3图在圆上取题3图，它在点产生场强大小为方向沿半径向外则 积分 ，方向沿轴正向四、结束语我觉在物理中，高中我们都学会了在理想状态下的解题，而大学物理就是那公式中有一个变量，而且是随时在边，那我们就把那个量用来积分，如。 由此可见，微积分不仅在数学中有重要的作用而且在物理学中也有着十分的广泛的作用。在使用微积分解决问题时应注意由微积分导出的许多物理概念、物理定律，分析每个物理量的意义，让学生把复杂的物理问题化整为零，然后再积零为整的这种方法学会，应用到实际问题中