北京市高考数学试卷理科答案与解析

1、年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题分，共分）（分）（北京）复数（）（）考点：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题：数系的扩充与复数分析：利用复数的运算法则解答解答：解：原式（）；故选：点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则注意（分）（北京）若，满足，则的最大值为（）考点：简单线性规划菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，即可求出取得最大值解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由解得（，），目标函数，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值最大值

2、故选：点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域与简单的线性规划等知识，属于基础题（分）（北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）（，）（，）（，）（，）考点：程序框图菁优网版权所有专题：图表型；算法与程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时满足条件，退出循环，输出（，）解答：解：模拟执行程序框图，可得，不满足条件，不满足条件，满足条件，退出循环，输出（，），故选：点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基础题（分）（北京）设，是两个不同的平面，是直线且，“是“”的（

3、）充分而不必要条件必要而不充分条件充分不要条件既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：简易逻辑分析：并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项解答：解：，得不到，因为，可能相交，只要与，的交线平行即可得到；，与没有公共点，即能得到；“”是“”的必要不充分条件故选点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念（分）（北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）考点：由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题

4、：空间位置关系与距离分析：根据三视图可判断直观图为：面，为中点，：面，判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积解答：解：根据三视图可判断直观图为：面，为中点，可得，运用直线平面的垂直得出：面，×，××故该三棱锥的表面积是，故选：点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质（分）（北京）设是等差数列，下列结论中正确的是（）若，则若，则若，若若，则若，则（）（）考点：等差数列的性质菁优网版权所有专题：计算题；等差数列与等比数列分析：对选项分别进行判断，即可得出结论解答：解：若，则，时，结论成立，即不正确；若，

5、则，时，结论成立，即不正确；是等差数列，即正确；若，则（）（），即不正确故选：点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础（分）（北京）如图，函数（）的图象为折线，则不等式（）（）的解集是（）考点：指、对数不等式的解法菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：在已知坐标系内作出（）的图象，利用数形结合得到不等式的解集解答：解：由已知（）的图象，在此坐标系内作出（）的图象，如图满足不等式（）（）的范围是；所以不等式（）（）的解集是；故选点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移（分）（北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽

6、车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）消耗升汽油，乙车最多可行驶千米以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多甲车以千米小时的速度行驶小时，消耗升汽油某城市机动车最高限速千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点：函数的图象与图象变化菁优网版权所有专题：创新题型；函数的性质及应用分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可解答：解：对于选项，消耗升汽油，乙车行驶的距离比小的很多，故错误；对于选项，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故错误，对于选项，甲车以千米小时的速度行驶小时，里程为千米，燃油效率为，

7、故消耗升汽油，故错误，对于选项，因为在速度低于千米小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故正确点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题二、填空题（每小题分，共分）（分）（北京）在（）的展开式中，的系数为（用数字作答）考点：二项式定理的应用菁优网版权所有专题：二项式定理分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用的指数为，求出，然后求解所求数值解答：解：（）的展开式的通项公式为：，所求的系数为：故答案为：点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力（分）（北京）已知双曲线（）的一条渐近线为，则考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：

8、运用双曲线的渐近线方程为±，结合条件可得，即可得到的值解答：解：双曲线的渐近线方程为±，由题意可得，解得故答案为：点评：本题考查双曲线的方程与性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题（分）（北京）在极坐标系中，点（，）到直线（）的距离为考点：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：坐标系与参数方程分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出解答：解：点（，）化为直线（）化为点到直线的距离故答案为：点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（分）（北京）在中，则考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定

9、理菁优网版权所有专题：计算题；解三角形分析：利用余弦定理求出，即可得出结论解答：解：中，故答案为：点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础（分）（北京）在中，点，满足，若，则，考点：平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到，值解答：解：由已知得到；由平面向量基本定理，得到，；故答案为：点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（，）使，向量等式成立（分）（北京）设函数（），若，则（）的最小值为；若（）恰有个零点，则实数的取值范围是或考点：函数的零点

10、；分段函数的应用菁优网版权所有专题：创新题型；函数的性质及应用分析：分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；分别设（），（）（）（），分两种情况讨论，即可求出的范围解答：解：当时，（），当时，（）为增函数，（），当时，（）（）（）（）（），当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故当时，（）（），设（），（）（）（）若在时，（）与轴有一个交点，所以，并且当时，（），所以，而函数（）（）（）有一个交点，所以，且，所以，若函数（）在时，与轴没有交点，则函数（）（）（）有两个交点，当时，（）与轴无交点，（）无交点，所以不满足题意（舍去），当（）时，即时，（）的两个交点为，都是满足题意的，综

11、上所述的取值范围是，或点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力与运算能力以及分类能力，属于中档题三、解答题（共小题，共分）（分）（北京）已知函数（）（）求（）的最小正周期；（）求（）在区间，上的最小值考点：两角与与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值菁优网版权所有专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（）运用二倍角公式与两角与的正弦公式，化简（），再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；（）由的范围，可得的范围，再由正弦函数的图象与性质，即可求得最小值解答：解：（）（）（）（），则（）的最小正周期为；（）由，可得，即有，则当时，（

12、）取得最小值，则有（）在区间，上的最小值为点评：本题考查二倍角公式与两角与的正弦公式，同时考查正弦函数的周期与值域，考查运算能力，属于中档题（分）（北京），两组各有位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：，组；，假设所有病人的康复时间相互独立，从，两组随机各选人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙（）求甲的康复时间不少于天的概率；（）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（）当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题：概率与统计分析：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人

13、”，由题意可知（）（），（）事件等价于“甲是组的第或第或第个人”，由概率公式可得；（）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”，易得（）（），易得答案；（）由方差的公式可得解答：解：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，由题意可知（）（），（）事件“甲的康复时间不少于天”等价于“甲是组的第或第或第个人”甲的康复时间不少于天的概率（）（）（）（）；（）设事件为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则，（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）当为或时，两组病人康复时间的方差相等点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式与方差，属基础题（分）（北京）如图，在

14、四棱锥中，为等边三角形，平面平面，°，为的中点（）求证：（）求二面角的余弦值；（）若平面，求的值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）根据线面垂直的性质定理即可证明（）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角的余弦值；（）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求的值解答：证明：（）为等边三角形，为的中点，平面平面，平面，平面（）取的中点，连接，是等腰梯形，由（）知平面，平面，建立如图的空间坐标系，则，°，则（，），（，），（，），（，），（，），设平面的法向量为（，），则，即，令，则，即（，）

15、，平面的法向量为，则即二面角的余弦值为；（）若平面，则，即，（，），（，），（）（），解得点评：本题主要考查空间直线与平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法（分）（北京）已知函数（），（）求曲线（）在点（，（）处的切线方程；（）求证，当（，）时，（）；（）设实数使得（）对（，）恒成立，求的最大值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：（）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程（）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立（）对进行讨论，利用新函数的单调性求参数的取值范围解答：解答：（）因为（

16、）（）（）所以又因为（），所以曲线（）在点（，（）处的切线方程为（）证明：令（）（）（），则'（）'（）（），因为'（）（），所以（）在区间（，）上单调递增所以（）（），（，），即当（，）时，（）（）（）由（）知，当时，（）对（，）恒成立当时，令（）（），则'（）'（）（），所以当时，'（），因此（）在区间（，）上单调递减当时，（）（），即（）所以当时，（）并非对（，）恒成立综上所知，的最大值为点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明在高考中属常考题型，难度适中（分）（北京）已知椭圆：（）的离心率为，点（，）与点（，）（）都在椭

17、圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）根据椭圆的几何性质得出求解即可（）求解得出（，），（，），运用图形得出，求解即可得出即，根据，的关系整体求解解答：解：（）由题意得出解得：，（，）与点（，），的方程为：，时，（，）（）点与点关于轴对称，点（，）（）点（，）（）直线交轴于点，（，），存在点，使得，（，），即，故轴上存在点，

18、使得，（，）或（，）点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题（分）（北京）已知数列满足：*，且（，），记集合*（）若，写出集合的所有元素；（）如集合存在一个元素是的倍数，证明：的所有元素都是的倍数；（）求集合的元素个数的最大值考点：数列递推式菁优网版权所有专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法分析：（），利用可求得集合的所有元素为，；（）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数，由（，），可归纳证明对任意，是的倍数；（）分是的倍数与不是的倍数讨论，即可求得集合的元素个数的最大值解答：解：（）若，由于（，），*故集合的所有元素为，；（）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数，由（，），可归纳证明对任意，是的