123角的平分线性质

1、人教版八年级数学(上)12.3角平分线的角平分线的性质（性质（1）ADBCEADCB 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活活 动动1（对折）（对折）1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一画一条射线条射线AE,AE就是角平分线，就是角平分线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办

2、呢？p2、证明： 在ACDACD和和ACBACB中中 AD=ABAD=AB（已知）（已知） DC=BCDC=BC（已知）（已知） CA=CACA=CA（公共边）（公共边） ACD ACD ACBACB（SSSSSS） CAD=CABCAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对对应边相等）应边相等） ACAC平分平分DABDAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）角器）OABCE活活 动动3NOMCENM1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的

3、步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？ 3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。活活 动动4ABOCD探究角平分线的性质 (1)(1)实验实验：将：将AOBAOB对折，再折出一个对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结观察两次折叠形成的

4、三条折痕，你能得出什么结论？论？活活 动动5 (2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等. .探究角平分线的性质探究角平分线的性质证明：证明：OCOC平分平分 AOB AOB （已知）（已知） 1= 21= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OAPD OA，PE OBPE OB（已知）（已知） PDO= PEOPDO= PEO（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDOPDO和和PEOPEO中中 PDO= PEOPDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 1= 2 （已证）（已证） OP=OP OP=OP （公共边）（公共边） P

5、DO PDO PEOPEO（AASAAS） PD=PEPD=PE（全等三角形的对应边（全等三角形的对应边相等）相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E求证求证: PD=PE: PD=PE活活 动动5(3)验证猜想验证猜想(4)得到角得到角平分线的平分线的性质：性质：活活 动动5 利 用 此 性 质利 用 此 性 质怎样书写推理过怎样书写推理过程程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的对应边相

6、等）角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路 如 图 ： 在 如 图 ： 在 A B C 中 ，中 ，C=90 AD是是BAC的平分的平分线，线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBACDEBF 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到的是要证它首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即R

7、tCDF RtEDB. 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！ 做一做做一做驶向胜利的彼岸w已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.w求证求证:EB=FC. :EB=FC. 老师期望老师期望: :做完题目后做完题目后, ,一定要一定要“悟悟”到点东

8、到点东西西, ,纳入到自己的认知结构中去纳入到自己的认知结构中去. . BAEDCF例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点证明：过点P P作作PD PD 、PEPE、PFPF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为，垂足为D、E、FBM是是ABCABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上（已上（已知）知）PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离在角平分线上的点到角的两边的距离相等相等）同理同理 PE=PF.PE=PF. PD=PE=PF.=PF.即点即点P P到边到边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等DEFABCPMN练习：练习：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离相等所在直线的距离相等F FGH一、过程小结：一、过程小结：情境情境观察观察作图作图应用应用探究探究再应用再应用二、知识小结：二、知识小结：本节课学习了那些知识？有哪些运用？你本节课学习了那些知识？有哪些运用？你学了吗？做了吗？用了吗？学了吗？做了吗？用了吗？回味无穷w定理定理 角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相等. .wOCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上上任