2020年中考数学复习专题7圆的综合(精讲)试题

1、专题七圆的综合毕节中考备考攻略纵观近5年毕节中考数学试卷，圆的综合考查在每年的第26题出现，主要呈现等腰三角形模型、垂径定理模型和直角三角形模型，其中2014年第26题属.于直角三角形模型；2015年第26题属于等腰三角形模型；2016年第 26题属于直角三角形模型和等腰三角形模型；2017年第26题属于直角三角形模型和垂径定理模型；2018年第26题属于等腰三角形模型和直角三角形模型，切线的判定为必考考点，2019年第26题将继续考查.解决圆的综合问题的几个要点:(1)已知圆周角或者圆心角的度数或等量关系，找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角；(2)已知直径，找直径所对的圆周角；(3)已知

2、切线或证明相切关系，连接过切点的半径；(4)已知“弦的中点”和“弧的中点” ，连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出相关结果；(5)圆心是直径的中点，考虑中位线；(6)同圆的半径相等，连接两条半径，考虑等腰三角形的性质；圆内的等腰三角形，计算线段长，考虑垂径定理;(7)角平分线、平行、等腰中“知二得一”.中考重难点突破6垂径定理模型例1 (2018 郴州中考)已知BC是。0的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD,AE是。0的弦，/AEC= 30°(1)求证：直线 AD是。0的切线；(2)若AE! BC,垂足为点 M,。O的半径为4,求AE的长.【解析】(1)先得出/ABG= 30

3、° ,进而求出/ OAB= 30° ,/BAD- 120° ,结论得证;(2)先求出/AO及60。，用三角函数求出 AM,再用垂径定理即可得出结果 .【答案】(1)证明：连接OA. / AEG= 30° , .ABG= 30° . AB= AD,.D- / ABC= 30° .根据三角形的内角和定理得 ，/BAD- 120° . OA= OB,/OAB= /ABG= 30° , /OA乐 /BAD- /OAB= 90° , OAL AD. 点A在。上， ,直线AD是。0的切线；(2)解：/A EC= 30

4、° ,，/AOG= 60° . BdAE于点 M,，AE= 2AM,/ OMA= 90° 在 RtA AOMfr ,AMhOA sin ZAOIMk4X sin 60 ° = 2，3, AE= 2AMh 4 -13.等腰三角形模型例2 (2018 永州中考)如图，线段AB为。0的直径，点C,E在。0上,BC = ©ECDL AB,垂足为点 D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.(1)求证：CF= BF;(2)若cos ZABE= 4,在AB的延长线上取一点 M,使BMh 4,。的半径为6.求证：直线 CM是。0的切线.【解 5析】(1)延长

5、CD交。0于点G,如图，利用垂径定理得到 BC=BG则可证明CE=BG然后根据圆周角定理得/ CBE=/GCB从而得至|J CF= BF;(2)连接OC交BE于点H,如图，先利用垂径定理得到 OCL BE,再在RD OBH中利用解直角三角形得到BH=24,OH= 18,接着证明 OHB AOCM得到/ OC璃Z OHB= 90° ,然后根据切线的判定定理得到结论.【答案】证明：（1）延长CD交。0于点G. CDLAB, BG= BGBC= CE . .CE BG ./ CB9 Z GCB，CF= BF;(2)连接OC交BE于点H,如图.BC= CE -OCL BE.在 RtOBH中,

6、cos / OBH= BHH= 4, .,.BH= 4X6=24， -OH=162- -24 = ?.OB 555.5518OH 色 3 OB 6 3 OH OB OCT 6=5, OIT 6+ 4= 5，OCT OM又/ HOB= /COMOHB OCM,，/OCM= /OHB= 90° , .1.OCLCM, 直线CM是。0的切线.1.（ 2018-宿迁中考）如图,AB,AC分别是。0的直径和弦，ODLAC于点D,过点A作。0的切线与OD的延长线交 于点P,PC,AB的延长线交于点 F.(1)求证：PC是。0的切线；(2)若/ABC= 60° ,AB=10,求线段 CF

7、 的长.证明：连接OC. ODLAC,OD经过圆心O,AD= CD,.1. PA= PC.在OAP和OCP中，OA= OCPA= PCOP= OP .OAPOCPSSS，/OCP= Z OAP.PA是。0 的切线，OAP= 90° . ./ OCP= 90° ,即 OCL PC, .PC是。0的切线；(2)解：: AB 是直径，/ ACB= 90° . . /ABC= 60° ,，/CAB= 30° , . . / COF= 60° PC是。0 的切线，AB =10,1 OCL PF,OC= OB= 2AB= 5, .CF= OC-

8、tan Z COF= 5、R2.（ 2018 白银中考）如图,在 ABC中,/ ABC= 90°（1）作/ ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心，OB的长为半径作。Q （要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）判断（1）中AC与。0的位置关系，直接写出结果.解：（1）如图；(2)相切.过点0作OEXAC于点D. (W分/ ACB.OB=OD,即圆心0到直线AC的距离d=r,.。0与直线AC相切.3. (2018 玉林中考)如图，在 ABC中，以AB为直径作。0交BC于点D, Z DAG= Z B.(1)求证：AC是。0的切线；1(2)点E是AB上一点,若/ BCE=ZB , t

9、an ZB=-。的半径是4,求EC的长.(1)证明：AB是直径,：.Z ADB= 90 , Z B+Z BAD= 90 ./ DAG= ZB , DAGF Z BAD= 90 ,BAG= 90 , . ABLAC.又 J AB是直径，二AC是。0的切线；解：BCZB , .1.EC= EB.设 EC= EB= x.AC 1在ABC 中，tan Z B= - AB = 8,在 RtMEC中,EC2=aU+aC, .x2=(8x)2+42，解得 x=5,EC= 5.直角三角形模型例3 (2018 聊城中考)如图，在RtABC中，/C= 90 ° ,BE平分/ ABC交AC于点E,作EDL

10、 EB交AB于点D, 。是ABED的外接圆.(1)求证：AC是。0的切线；(2)已知。0的半径为2.5,BE =4,求BC,AD的长.【解析】(1)连接OE,由OB= OE知/OBE= /OEB,又由BE平分/ ABC知/ OBE= / CBE,据此得/ OEB= /CBE,从 而得出0日/ BC,进一步即可得证；(2)证 BD曰 BEC得BD= BE,据此可求得 BC的长度，再证 AO9 ABC得AO= OE据此可得 AD的长.BE BCAB BC【答案】(1)证明：连接OE.14,.OB= OE, ./ OBtE= / OEB. BE平分/ ABQ ./ OBE= Z CBE. ./ OE

11、B= Z CBEOE/ BC.又.U 90° ,AEO= 90°，即 OELAC. .AC是。0的切线；(2)解：. EDLBE,，/BED= Z C= 90° .又. / DBE= / EBC, .BD曰 BEC,BD BE 口.5416=即一=BC= BE BC 4 BC BC 5 . ./AEO= /C= 90°，/A=/ A,AO OE AD+ 2.52.5 .AOHAABC, =二即 e :=不, 'AB BCAD+ 516 '545AD=.7BC的延长线于4.( 2018 柳州中考)如图，4ABC为。0的内接三角形，AB为。0

12、的直径，过点A作。0的切线交 点D.(1)求证： DA6 ADBA ,、1(2)过点C作。0的切线 CE交AD于点E,求证：CE= 2AD;(3)若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G,且AD= 6,AB= 3,求CG的长.证明：.AB是。0直径， ./ ACD= / ACB= 90° .AD是。0的切线，BAD= 90° , ./ ACD= Z BAD= 90° .Z D= ZD , . DAC DBA(2)证明：: EA,EC是。0的切线，AE= CE(切线长定理)./ DAe / ECA. . /ACD= 90° ,/ AC曰 / D

13、CE= 90° , / DAO Z D= 90D- / DCEJDg CE. AA AE+ DE= CE+ CE= 2CE.1CE= 2AD;(3)解:在 RtMBD中，AD-6,AB = 3, .tan /ABAAD= 2.AB过点G作GHL BD于点H,则 tan / ABD-黑 2,，GH= 2BH.BH.点F是直径 AB下方半圆的中点，BC已45° . ./ CGH= /CHS Z BCF= 45CH= GH= 2BH, BC= BH+ CH= 3BH.在 RtA ABC中，tan / ABC= AC= 2,AC= 2BC.BC根据勾股定理，得AC2+ BC = A

14、E2,-4BC!+BC2= 9, BC= 5BH=唱GH= 2BH=守. 55在 RtA CHGF , / BCF= 45° , .CG 2GH= 10毕节中考专题过关1.（ 2018 昆明中考）如图,AB是。0的直径，ED切。0于点C,AD交。0于点F,AC平分/BAD,连接BF.(1)求证：AD£ ER(2)若 CD- 4,AF=2,求。0 的半径.证明：连接OC,如图. AC平分/ BAD,/ OAC= / CAD. O七 OC, / OAC= / OCA ./ CAD= /OCA，OC/ AD.EDWOO 于点 C, .,.OCL ED,AD± ED;(2

15、)解：设OC交BF于点H,如图. AB为直径， ./ AFB= 90° ,易得四边形CDFH矩形，FH= CD= 4, ZCHF= 90° , OHL BF, BH= FH= 4, .-.rBF= 8.在 RtABF 中，AB= AF2+BF2= 22+82=2 17,O的半径为乐.2.( 2018-北部湾中考)如图，4ABC内接于OO , / CBG= /A,CD为直径，OC与AB相交于点E,过点E作EF± BC, 垂足为点F,延长CDX GB的延长线于点P,连接BD.(1)求证：PG与。0相切；EF 5 4BE-士(2)右AC= 8,求OC勺值；(3)在(2)

16、的条件下，若。0的半径为8,PD = OD,求OE的长.(1)证明：连接 OB,则OB= OD, ./ BDC= / DBO. . / BDC= /BAC= Z CBG, ./ CBG= / DBO. CDbOO 的直径，DBG- /OBC= 90° /CBGF /OBC= 90° , ./ OBG= 90° , PGOO 相切；(2)解：过点 O作OM_AC于点M,连接OA,1则/AOMh /CO璃 万/AOC.又. / BFE= /OM>A 90°1/ EBF= 2/AOC= / AOMEF BE.BED OAM-AM= OA AM= ；AC,

17、OA= OC,.-. t = BE.2I OC2acEF 5 BE EF 5 5又AC= 8, ' ' OCT2X ACT2*9=不（3）解：PA OD,/PBO= 90° , .,.BD= OD= 8.在 RtA DBC中,BC= 4dC-bD = 8r,cos ZBDO= BD=2=1, ,/ BDO= 60。, CD 16 2 / ocb= 300,2,EF= v3.设 EF= x,贝U EC= 2x,FC = /3x, BF= 8 3- 3x.在山210. 100=x2+（8 小一:x） 2,解得 x = 6±匹.6+诉 >8（舍去），.=6诉，EC= 12-2/13.OE= 8-（12 2匹）=2 匹4.3. (2018-襄阳中考)如图,AB是。0的直径，AM和BN是。0的两条切线,E为。0上一点，过点E作直线DC分 别交 AM,BN点 D,C,且 CB= CE.(1)求证：DA= DE(2)若AB= 6,CD= 4南,求图中阴影部分的面积证明：连接OE,OC,BE. OB= OE,/.Z OBtE= Z OEB. CB= CE, .CBE= Z CEB ./ OBC= Z OEC. BC为。0的切线, ./ OEC= /OBC= 90° . OE为半径，CD为。0的切线. AD切O O于点 A, DA