两条直线的交点坐标与距离公式

1、返回目录返回目录 一、两直线的交点 已知两条直线已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与与l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组的交点坐标对应的是方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0的解，的解，其中当其中当A1B2-A2B10时时,两条直线两条直线 ， 当当A1B2-A2B1=0且且A1C2-A2C10（或（或B1C2-B2C10）时）时,两两条直线无交点条直线无交点,即即 ，当，当A1B2-A2B1=0且且A1C2-A2C1=0(或或B1C2-B2C1=0)时时,两条直线有无数个公共点两条直线有无数个公共点,即即 . 二、距离公式 1.两点间的距离两

2、点间的距离 平面上两点平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离间的距离|P1P2|= . 2.点到直线的距离点到直线的距离 平面上一点平面上一点P(x1,y1)到一条直线到一条直线l:Ax+By+C=0的距离的距离d= .返回目录返回目录 相交于一点相交于一点 平行平行2 21 12 22 21 12 2) )y y- -(y(y) )x x- -(x(x+2 22 20 00 0B BA A| |C CB By yA Ax x| |+重合重合返回目录返回目录 3. 3.两平行线的距离两平行线的距离 若若l1,l2是平行线，求是平行线，求l1,l2距离的方法：距离的方法： (1

3、)求一条直线上一点到另一条直线的距离求一条直线上一点到另一条直线的距离. (2)设设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则则d= .2 22 22 21 1B BA AC C- -C C+返回目录返回目录 已知直线已知直线l1:(m+3)x+4y=5-3m,l2:2x+(m+5)y=8,问问m为为何值时何值时:l1l2;l1与与l2重合重合;l1与与l2相交相交;l1与与l2垂直垂直.利用两直线平行、重合、相交、垂直的条利用两直线平行、重合、相交、垂直的条件求解件求解.返回目录返回目录 由由 ，得，得m=-7,当当m=-7时时,l1l2.由由 ，得，得m=-1,当当m=-1

4、时，时，l1与与l2重合重合.由由 ，得，得m-1且且m-7,当当m-1且且m-7时，时，l1与与l2相交相交.由由(m+3)2+4(m+5)=0,得得m=- ,当当m=- 时，时，l1与与l2垂直垂直.8 8- -5 5- -3m3m5 5m m4 42 23 3m m+=+8 8- -5 5- -3m3mm m5 54 42 23 3m m=+=+m m5 54 42 23 3m m+3 313133 31313返回目录返回目录 （1）垂直有两种情况：一种是一条直线）垂直有两种情况：一种是一条直线的斜率为的斜率为0，另一条直线的斜率不存在；另一种就是斜，另一条直线的斜率不存在；另一种就是斜

5、率都存在，且两个斜率的积为率都存在，且两个斜率的积为-1. （2）两条直线平行有两种情况，一种就是斜率都）两条直线平行有两种情况，一种就是斜率都不存在；另一种就是斜率都存在并且相等不存在；另一种就是斜率都存在并且相等. （3）两条直线重合即方程是相同的）两条直线重合即方程是相同的.已知两直线已知两直线l1：mx+8y+n=0和和l2:2x+my-1=0.试确定试确定m,n的值，使的值，使（1）l1与与l2相交于点相交于点P(m,-1);（2）l1l2;（3）l1l2，且，且l1在在y轴上的截距为轴上的截距为-1.返回目录返回目录 （1）m2-8+n=0,且且2m-m-1=0,m=1,n=7.（

6、2）由）由mm-82=0，得，得m=4,由由8(-1)-nm0,得得n2,即即m=4,n-2时，或时，或m=-4,n2时，时，l1l2.（3）当且仅当）当且仅当m2+8m=0，即，即m=0时，时，l1l2，又又- =-1,n=8.即即m=0，n=8时时,l1l2，且，且l1在在y轴上的截距为轴上的截距为-1.返回目录返回目录 8 8n n返回目录返回目录 已知直线已知直线l过点过点P（3，1）且被两平行线）且被两平行线l1：x+y+1=0，l2：x+y+6=0截得的线段长为截得的线段长为5，求直线，求直线l的方程的方程. 可设点斜式方程，求与两直线的交点可设点斜式方程，求与两直线的交点.利用利

7、用两点间距离公式求解两点间距离公式求解.解法一：若直线解法一：若直线l的斜率不存在，则直线的斜率不存在，则直线l的的方程为方程为x=3，此时与，此时与l1，l2的交点分别是的交点分别是 A（3，-4），），B（3，-9），）， 截得的线段长截得的线段长|AB|=|-4+9|=5，符合题意，符合题意.若直线若直线l的斜率存在，则设直线的斜率存在，则设直线l的方程为的方程为y=k（x-3）+1，分别与直线分别与直线l1，l2的方程联立的方程联立, y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1 x+y+6=0, 由两点间的距离公式由两点间的距离公式,得得( )2+( )2=25,解得

8、解得k=0,即所求直线方程为即所求直线方程为y=1.综上可知，直线综上可知，直线l的方程为的方程为x=3或或y=1.返回目录返回目录 由由由由A ( ).解得解得B ( )解得解得1 1k k4k4k- -1 1, ,1 1k k2 2- -3k3k+1 1k k9k9k- -1 1, ,1 1k k7 7- -3k3k+1 1k k7 7- -3k3k- -1 1k k2 2- -3k3k+1 1k k9k9k- -1 1- -1 1k k4k4k- -1 1+：设直线：设直线l与与l1，l2分别相交于分别相交于A（x1，y1），），B（x2，y2），）， 则则x1+y1+1=0，x2+y2

9、+6=0， 两式相减，得（两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5， 又（又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25， x1-x2=5 x1-x2=0 y1-y2=0 y1-y2=5. 由上可知，直线由上可知，直线l的倾斜角分别为的倾斜角分别为0和和90. 故所求的直线方程为故所求的直线方程为x=3或或y=1.返回目录返回目录 或或联立可得联立可得返回目录返回目录 这类题一般有三种情况：被两已知平行直这类题一般有三种情况：被两已知平行直线截得的线段的定长为线截得的线段的定长为a的直线，当的直线，当a小于两平行线间距小于两平行线间距离时无解离时无解.当当a=d时有唯一解时有唯一解 ； 当当

10、ad时有且只有两解时有且只有两解.本题解法一采用通法通解本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交解法二采用设而不求，先设交点坐标，利用整体思想求解点坐标，利用整体思想求解.返回目录返回目录 :设直线设直线l的方程为的方程为y-2=k(x+1),即即kx-y+k+2=0.由题意知由题意知即即|3k-1|=|-3k-3|,k=- .直线直线l的方程为的方程为y-2=- (x+1),即即x+3y-5=0.当直线当直线l的斜率不存在时，直线方程为的斜率不存在时，直线方程为x=-1，也符合题意，也符合题意.求过点求过点P（-1，2）且与点）且与点A（2，3）和）和B（-4，5）距离）距离相等的

11、直线相等的直线l的方程的方程.1 1k k| |2 2k k5 5- -4k-4k| |1 1k k| |2 2k k3 3- -2k2k| |2 22 2+=+3 31 13 31 1:当当ABl时时,有有k=kAB=- ，直线，直线l的方程为的方程为y-2= - (x+1),即即x+3y-5=0.当当l过过AB的中点时，的中点时，AB中点坐标为中点坐标为 （-1,2）,直线直线AB的方程为的方程为x=-1.故所求直线故所求直线l的方程为的方程为x+3y-5=0或或x=-1.返回目录返回目录 3 31 13 31 1返回目录返回目录 求直线求直线l1:y=2x+3关于直线关于直线l:y=x+

12、1对称的直线对称的直线l2的方程的方程.转化为点关于直线的对称转化为点关于直线的对称,利用方程组求解利用方程组求解. y=2x+3 y=x+1 (-2,-1),在在l1上任取一点上任取一点A(0,3),则则A关于直线关于直线l的对称点的对称点 =-1 x1=2 y1=1, 即即B(2,1).l2的方程为的方程为y-1= (x-2),即即x-2y=0.返回目录返回目录 得直线得直线l1与与l2的交点坐标为的交点坐标为解法一解法一:由由B(x1,y1)一定在一定在l2上上,由由得得1 11 1x x3 3- -y y1 12 2x x2 23 3y y 1 11 1+=+2 22 21 11 1+

13、:设所求直线上一点设所求直线上一点P(x,y),则在直线则在直线l1上必存在一点上必存在一点P1(x0,y0)与点与点P关于直线关于直线l对称对称.由题设由题设:直线直线PP1与直线与直线l垂直垂直,且线段且线段PP1的中点的中点P2( )在直线在直线l上上. 1=-1 x0=y-1 , y0=x+1,代入直线代入直线l1:y=2x+3得得x+1=2(y-1)+3,整理得整理得x-2y=0.所求直线方程为所求直线方程为x-2y=0.返回目录返回目录 2 2y yy y, ,2 2x xx x0 00 0+x x- -x xy y- -y y0 00 01 12 2x xx x2 2y yy y

14、0 00 0+=+变形得变形得 y=2x+3 y=x+1 设直线设直线l2的方程为的方程为y+1=k(x+2),即即kx-y+2k-1=0.在直线在直线l上任取一点上任取一点(1,2),由题设知点由题设知点(1,2)到直线到直线l1,l2的距离相等的距离相等,由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得解得解得k= (k=2舍去舍去),直线直线l2的方程为的方程为x-2y=0.返回目录返回目录 : 由由, ,( (- -1 1) )2 2| |3 32 2- -2 2| |k k1 1| |1 1- -2 2k k2 2- -k k| |2 22 22 22 2+=+2 21 1知直线知直线l

15、1与与l的交点坐标为的交点坐标为(-2,-1),返回目录返回目录 (1)对称问题是解析几何中的一个重要题型对称问题是解析几何中的一个重要题型,是高考热点之一是高考热点之一.两条曲线关于一条直线对称常转化为曲两条曲线关于一条直线对称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决线上的点关于直线对称来解决.求点求点P(x0,y0)关于直线关于直线l:Ax+By+C=0的对称点的对称点Q(x1,y1)的坐标的坐标,可利用可利用PQl及线及线段段PQ被被l平分这两个条件建立方程组求解平分这两个条件建立方程组求解,本题解法二就本题解法二就是利用这种方法结合是利用这种方法结合“代入法代入法”求轨迹方程的思想方法求轨

16、迹方程的思想方法解题的解题的.这是解这类问题的一个通法这是解这类问题的一个通法. (2)两点关于点对称、两点关于直线对称的常用结论：两点关于点对称、两点关于直线对称的常用结论： 点点(x,y)关于关于x轴的对称点为轴的对称点为(x,-y); 点点(x,y)关于关于y轴的对称点为轴的对称点为(-x,y); 点点(x,y)关于原点的对称点为关于原点的对称点为(-x,-y); 点点(x,y)关于直线关于直线x-y=0的对称点为的对称点为(y,x); 点点(x,y)关于直线关于直线x+y=0的对称点为的对称点为(-y,-x).返回目录返回目录 已知直线已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0

17、.若直线若直线l2与与l1关于关于l对称对称,则则l2的方程是（的方程是（ ）A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0B（l1与与l2关于关于l对称，则对称，则l1上任一点关于上任一点关于l的对称点都在的对称点都在l2上，故上，故l与与l1的交点（的交点（1，0）在）在l2上上.又易知（又易知（0，-2）为）为l1上一点，设其关于上一点，设其关于l的对称点为（的对称点为（x，y），则），则 -1=0， x=-1， =-1, y=-1. （-1，-1）为）为l2上两点，可得上两点，可得l2的方程为的方程为x-2y-1=0.故应选故应选B.）返回目录返回目

18、录 2 22 2- -y y- -2 20 0 x x+得得即（即（1，0），），1 1x x2 2y y +返回目录返回目录 求经过直线求经过直线l1:3x+2y-1=0和和l2:5x+2y+1=0的交点的交点,且垂且垂直于直线直于直线l3:3x-5y+6=0的直线的直线l的方程的方程. (1)先求出直线先求出直线l1与与l2的交点的交点,然后利用点然后利用点斜式求出直线方程斜式求出直线方程. (2)可利用垂直直线系方程求解可利用垂直直线系方程求解.返回目录返回目录 解法一解法一:先解方程组先解方程组3x+2y-1=05x+2y+1=0,得得l1,l2的交点的交点(-1,2),再由再由l3的

19、斜率为的斜率为 求求出出l的斜率为的斜率为- ,于是由直线的点斜式方程求出于是由直线的点斜式方程求出 l:y-2=- (x+1),即即5x+3y-1=0.5 53 33 35 53 35 5:ll3,故故l是直线系是直线系5x+3y+C=0中的一条直线中的一条直线,而而l过过l1,l2的交点的交点(-1,2),故故5(-1)+32+C=0,由此求出由此求出C=-1.故故l的方程为的方程为5x+3y-1=0.:l过过l1,l2的交点的交点,故故l是直线系是直线系 3x+2y-1+(5x+2y+1)=0中的一条中的一条,将其整理将其整理,得得(3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0.其斜率其斜率

20、 ,解得解得= ,代入直线系方程即得代入直线系方程即得l的方程为的方程为5x+3y-1=0.返回目录返回目录 3 35 5- -2 22 25 53 3 - -=+5 51 1:ll3,故故l属于直线系属于直线系5x+3y+C=0, 又又l过过l1,l2的交点的交点,故故l又属于直线系又属于直线系(3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0. 则则,是同一直线是同一直线,必有必有 又又C=-1,代入即得代入即得l的方程为的方程为5x+3y-1=0.返回目录返回目录 C C1 1- -3 32 22 25 55 53 3+=+=+5 54 43 35 55 52 2- -) )2 25 5( (2

21、 2) )5 52 2( (3 3- -C C1 1- -=+=+由等比定理由等比定理,得得5 54 42 2C C- -3 34 43 32 2C C- -) )2 2( (2 2) )2 2( (- -1 1- -=+ (1)解法一是通法通解解法一是通法通解,用了求交点及两直线用了求交点及两直线垂直时斜率之间的关系求出斜率垂直时斜率之间的关系求出斜率,然后利用点斜式求出方然后利用点斜式求出方程程.解法二与解法三比较灵活解法二与解法三比较灵活,用了垂直和相交的直线系方用了垂直和相交的直线系方程程,运算较简捷运算较简捷. (2)常见的直线系方程常见的直线系方程: 与直线与直线Ax+By+C=0

22、平行的直线系方程是平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(mR且且mC). 与直线与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0(mR). 过直线过直线l1:A1x+B1y+C1=0与与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(是实数是实数),但不包括但不包括l2,应用直线系方程可比较快捷地应用直线系方程可比较快捷地求出与已知直线平行或垂直的直线方程求出与已知直线平行或垂直的直线方程,利用直线系方程利用直线系方程可解决与相交和过定点有关的问题可解决与相交和过定点有关的问题.返回目录

23、返回目录 过两直线过两直线7x+5y-24=0与与x-y=0的交点的交点,且与点且与点P(5,1)的的距离为距离为 的直线的方程为的直线的方程为 .3x-y-4=0(设所求的直线方程为设所求的直线方程为7x+5y-24+(x-y)=0,即即（7+）x+(5-)y-24=0. ,解得解得=11.故所求直线方程为故所求直线方程为3x-y-4=0.)返回目录返回目录 10101 10 0) )- -5 5( () )( (7 7| |2 24 4- -) )- -( (5 55 5) )( (7 7| |2 22 2=+在直线在直线l:3x-y-1=0上求一点上求一点P,使得使得:(1)P到到A(4

24、,1)和和B(0,4)的距离之差最大的距离之差最大;(2)P到到A(4,1)和和C(3,4)的距离之和最小的距离之和最小.返回目录返回目录 设设B关于关于l的对称点为的对称点为B,AB与与l的交点的交点P满满足（足（1）;C关于关于l的对称点为的对称点为C,AC与与l 的交点的交点Q满足满足(2).事事实上实上,对于对于(1),若若P是是l上异于上异于P的点的点,则则 |PA|-|PB|=|PA|-|PB|AC|=|QA|+|QC|.返回目录返回目录 (1)如图所示如图所示,设点设点B关于关于l的对称点的对称点B的坐标的坐标为为(a,b),则则kBB kl=-1,即即3 =-1.a+3b-12

25、=0 又由于线段又由于线段BB的中点坐标为的中点坐标为( , ),且在直线且在直线l上上,3 - -1=0.即即3a-b-6=0 解得解得a=3,b=3,B(3,3).于是于是AB的方程为的方程为 ,即即2x+y-9=0. 3x-y-1=0 x=2 2x+y-9=0, y=5,即即l与与AB的交点坐标为的交点坐标为P（2，5）.返回目录返回目录 a a4 4- -b ba a4 4- -b b2 22 2a a4 4- -b b4 4- -3 34 4- -x x1 1- -3 31 1- -y y =解解得得(2)如图所示如图所示,设设C关于关于l的对称点为的对称点为C,求出求出C的坐标为的

26、坐标为( ).AC所在直线的方程为所在直线的方程为19x+17y-93=0,AC和和l交点坐标为交点坐标为( ),则则P点坐标为点坐标为( ) .返回目录返回目录 5 52424, ,5 53 37 72626, ,7 711117 72626, ,7 71111 (1)在直线在直线l上求一点上求一点P,使使P到两定点的距离到两定点的距离之和最小之和最小. 当两定点当两定点A,B在直线在直线l异侧时异侧时,由两点之间线段最短由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和都大于第三边可知及三角形中任意两边之和都大于第三边可知,点点P为为AB连连线与线与l的交点的交点;点点P到两定点距离之和的最小值为到两定点距离之和的最小值为|AB|的长的长度度,如图如图. |PA|+|PB|AB|=|PA|+|PB|. 当且仅当当且仅当A,B,P三点共线时等式成立三点共线时等式成立. 返回目录返回目录 当两定点当两定点A,B在直线在直线l的同侧时的同侧时,作点作点A关于直线关于直线l的对的对称点为称点为A.连结连结AB交直线交直线l于点于点P,则点则点P到两定点到两定点A,B的距离的距离之和最小之和最小. (2)在直线在直线l上求一点上求一点P,使使P