导数微积分综合

1、【导数】 （1）（uv）uv （2）（uv）uvuv （记忆方法：uvuv，分别在“u”上、“v”上加） （3）（cu）cu（把常数提前） uvuv （4）（v0） v 【关于微分】 左边：d打头 右边：dx置后 再去掉导数符号即可 【微分】 设函数u（x），v（x）皆可微，则有： （1）d（uv）dudv （2）d（uv）duvudv duvudv （3）d（v0） v（5）复合函数（由外至里的“链式法则”） dy f（u）（x） dx 其中yf（u），u（x） （6）反函数的导数： 1 f（y） f（x） 其中，f（x）0【导数】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的导数： （c）0 （

2、2）x的次幂： 【】【1】 （3）指数类： 【x】【x】 lna（其中a0，a1） 【x】【x】 （4）对数类： 11 loglog（其中a0，a1） axaxlna 1 （lnx） x （5）正弦余弦类： （sinx）cosx （cosx）sinx 【微分】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的微分： dC0 （2）x的次幂： 【】【1】 ddx （3）指数类： 【x】【x】 dlnadx（其中a0，a1） 【x】【x】 ddx （4）对数类： 11 dloglogdx（其中a0，a1） axaxlna 1 dlnxdx x （5）正弦余弦类： dsinxcosxdx dcosxsinxd

3、x【导数】 （6）其他三角函数： 1 （tanx）secx cosx 1 （cotx）cscx sinx （secx）secxtanx （cscx）cscxcotx （7）反三角函数： （arcsinx）（1x1） / 1x （arccosx）（1x1） / 1x （arctanx） 1x （arccotx） 1x 【微分】 （6）其他三角函数： 1 dtanxsecxdx cosx 1 dcotxcscxdx sinx dsecxsecxtanxdx dcscxcscxcotxdx （7）反三角函数： darcsinxdx（1x1） / 1x darccosxdx（1x1） / 1x dar

4、ctanxdx 1x darccotxdx 1x导数的应用（一）中值定理 特殊形式 【拉格朗日中值定理】【罗尔定理】 【拉格朗日中值定理】 如果函数yf（x）满足： （1）在闭区间a，b上连续； （2）在开区间（a，b）上可导。 则：在（a，b）内至少存在一点（ab），使得 f（b）f（a） f（） ba 【罗尔定理】 如果函数yf（x）满足： （1）在闭区间a，b上连续； （2）在开区间（a，b）上可导； （3）在区间端点的函数值相等，即f（a）f（b）。 则：在（a，b）内至少存在一点（ab），使得f（）0。 导数的应用（二）求单调性、极值（辅助作图） 【单调性】 （1）如果x（a，b）时

5、，恒有f（x）0， 则f（x）在（a，b）内单调增加； （2）如果x（a，b）时，恒有f（x）0， 则f（x）在（a，b）内单调减少。 【极值】 若函数f（x）在点x处可导，且f（x）在x处取得 极值，则f（x）0。 导数的应用（三）曲线的凹向与拐点（辅助作图） 【凹向】 设函数yf（x）在区间（a，b）内具有二阶导数， （1）若当x（a，b）时，恒有f（x）0， 则曲线yf（x）在区间（a，b）内上凹； （2）若当x（a，b）时，恒有f（x）0， 则曲线yf（x）在区间（a，b）内下凹。 【拐点】 曲线上凹与下凹的分界点。第一类：常数的积分 0dxC dxxC（1的积分） kdxkxC 第二

6、类：x的次幂的积分 【】1【1】 xdxxC（1） 1 第三类：倒数的积分【注意：绝对值】 1 dxln|x|C（x0） x 第四类：指数的积分 【x】1【x】 adxaC（a0，a1） lna 【x】【x】 edxeC 第五类：三角函数的积分 sinxdxcosxC cosxdxsinxC tanxdxln|cosx|C【选记】 cotxdxln|sinx|C【选记】 secxdxtanxC cscxdxcotxC 第六类：结果为反三角函数 1 dxarcsinxCarccosxC / 1x 1 dxarctanxCarccotxC 1xbb f（x）dxF（b）F（a）F| aa导数表基本

7、函数推到过程这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程： y=c(c为常数） y=0 y=xn y=nx(n-1）3.y=ax y=axlnay=ex y=ex y=logax(a为底数，x为真数） y=1/x*lna y=lnx y=1/x y=sinx y=cosx y=cosx y=-sinx y=tanx y=1/cos2x y=cotx y=-1/sin2x y=arcsinx y=1/（1-x2） y=arccosx y=-1/（1-x2） y=arctanx y=1/（1+x2） y=arccotx y=-1/（1+x2） y=uv = y=v * uv * lnu + u

8、 * u(v-1） * v 引用的常用公式在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： y=fg(x),y=fg(x)g(x）fg(x)中g(x）看作整个变量，而g(x）中把x看作变量 y=u/v,y=（uv-uv）/v2 y=f(x）的反函数是x=g(y），则有y=1/x 编辑本段推导过程证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c，y=c-c=0,limx0y/x=0。 这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=ex y=ex和y=lnx y=1/x这两个结

9、果后能用复合函数的求导给予证明。 y=ax, y=a(x+x)-ax=ax(ax-1） y/x=ax(ax-1）/x 如果直接令x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数=ax-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga（1+）。 所以（ax-1）/x=/loga（1+）=1/loga（1+）1/ 显然，当x0时，也是趋向于0的。而lim0（1+）1/=e，所以lim01/loga（1+）1/=1/logae=lna。 把这个结果代入limx0y/x=limx0ax(ax-1）/x后得到limx0y/x=axlna。 可以知道，当a=e时有y=ex y=ex。 y=logax

10、 y=loga(x+x)-logax=loga(x+x)/x=loga（1+x/x)x/x y/x=loga（1+x/x)(x/x)/x 因为当x0时，x/x趋向于0而x/x趋向于，所以limx0loga（1+x/x)(x/x)=logae，所以有 limx0y/x=logae/x。 可以知道，当a=e时有y=lnx y=1/x。 这时可以进行y=xn y=nx(n-1）的推导了。因为y=xn，所以y=eln(xn)=enlnx, 所以y=enlnx（nlnx)=xnn/x=nx(n-1）。 y=sinx y=sin(x+x)-sinx=2cos(x+x/2）sin（x/2） y/x=2cos

11、(x+x/2）sin（x/2）/x=cos(x+x/2）sin（x/2）/（x/2） 所以limx0y/x=limx0cos(x+x/2）limx0sin（x/2）/（x/2）=cosx 类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。 y=tanx=sinx/cosx y=(sinx)cosx-sinx(cos)/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x y=cotx=cosx/sinx y=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sin2x=-1/sin2x y=arcsinx x=siny x=cosy y=1/x=1/cosy=1/1-sin2y=1/1-x

12、2 y=arccosx x=cosy x=-siny y=1/x=-1/siny=-1/1-cos2y=-1/1-x2 y=arctanx x=tany x=1/cos2y y=1/x=cos2y=1/sec2y=1/1+tan2x=1/1+x2 y=arccotx x=coty x=-1/sin2y y=1/x=-sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2 联立： （ln(uv)=(v * lnu) （ln(uv)=ln(uv) * (uv)=(uv) / (uv) 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂

13、的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 y=u土v,y=u土v y=uv,y=uv+uv 均能较快捷地求得结果。 编辑本段公式y=f【g(x）】，y=f【g(x）】g(x）f【g(x）】中g(x）看作整个变量，而g(x）中把x看作变量 y=u/v,y=uv-uv/v2 y=f(x）的反函数是x=g(y），则有y=1/x 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c，y=c-c=0,limx0y/x=0。 这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=ex

14、 y=ex和y=lnx y=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 y=ax, y=a(x+x)-ax=ax(ax-1） y/x=ax(ax-1）/x 如果直接令x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数=ax-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga（1+）。 所以（ax-1）/x=/loga（1+）=1/loga（1+）1/ 显然，当x0时，也是趋向于0的。而lim0（1+）1/=e，所以lim01/loga（1+）1/=1/logae=lna。 把这个结果代入limx0y/x=limx0ax(ax-1）/x后得到limx0y/x=axlna。 可以知道，当a=

15、e时有y=ex y=ex。 y=logax y=loga(x+x)-logax=loga(x+x)/x=loga【（1+x/x)x】/x y/x=loga【（1+x/x)(x/x）】/x 因为当x0时，x/x趋向于0而x/x趋向于，所以limx0loga（1+x/x)(x/x)=logae，所以有 limx0y/x=logae/x。 可以知道，当a=e时有y=lnx y=1/x。 这时可以进行y=xn y=nx(n-1）的推导了。因为y=xn，所以y=eln(xn)=enlnx, 所以y=enlnx（nlnx)=xnn/x=nx(n-1）。 y=sinx y=sin(x+x)-sinx=2cos(x+x/2）sin（x/2） y/x=2cos(x+x/2）sin（x/2）/x=cos(x+x/2）sin（x/2）/（x/2） 所以limx0y/x=limx0cos(x+x/2）limx0sin（x/2）/（x/2）=cosx 类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。 y=tanx=sinx/cosx y=【（sinx)cosx-sinx(cos)】/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x y=cotx=cosx/sinx y=【（cosx)sinx-cosx(sinx)】/sin2x=-1