202X学年高中数学第二章概率2.6正态分布课件北师大版选修2_3

1、*6 6正态分布正态分布1.认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间范围内的概率.3.会用正态分布解决一些简单的实际问题.12345671.离散型随机变量的取值是可以一一列举的离散型随机变量的取值是可以一一列举的,但在实际应用中但在实际应用中,还还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值有许多随机变量可以取某一区间中的一切值,是不可以一一列举的是不可以一一列举的,这种随机变量称为连续型随机变量这种随机变量称为连续型随机变量.【做一做【做一做1】 以下随机变量中以下随机变量中,是连续型随机变量的是是连续型随机变量的是()A.连续投掷五枚均匀的硬币连续投

2、掷五枚均匀的硬币,其中正面出现的次数其中正面出现的次数B.某工厂生产的某种零件的长度某工厂生产的某种零件的长度C.抛掷两枚骰子抛掷两枚骰子,所得点数之差所得点数之差D.某人的手机在一周内接到的某人的手机在一周内接到的 次数次数答案答案:B12345672.如果一个随机变量X可以取某一区间中的一切值,那么在取出的样本中,样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率,为了完全了解随机变量X的分布情况,需要将区间无限细分,最终得到一条曲线.这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线,这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数,记为f(x).12345673.如果知道了如果知道了X的

3、分布密度曲线的分布密度曲线,那么那么X取值于任何范围取值于任何范围(例如例如aX0),通常用XN(,2)表示X服从参数为和2的正态分布.当和2给定后,就是一个具体的正态分布.当n很大时,二项分布也可以用正态分布来近似描述.123456712345676.正态分布密度函数图象的性质正态分布密度函数图象的性质:(1)曲线位于曲线位于x轴上方轴上方,与与x轴不相交轴不相交;(2)曲线是单峰的曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称;(4)曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1;(5)当当一定时一定时,曲线随着曲线随着的变化而沿的变化而沿x轴平移轴平移,如下图如下图;1234567(6)当

4、一定时,曲线的形状由确定.越小,曲线越“瘦高,表示总体的分布越集中;越大,曲线越“矮胖,表示总体的分布越分散,如下图.123456712345677.随机变量服从正态分布随机变量服从正态分布,那么它在区间那么它在区间(-2,+2)外取值的概外取值的概率只有率只有4.6%,而在区间而在区间(-3,+3)外取值的概率只有外取值的概率只有0.3%,由于这由于这些概率值很小些概率值很小,通常称这些情况发生为小概率事件通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说也就是说,通常通常认为这些情况在一次试验中几乎不可能发生认为这些情况在一次试验中几乎不可能发生.服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量X在三个

5、特殊区间内取值的概率值如在三个特殊区间内取值的概率值如下下:P(-X+)=68.3%,P(-2X+2)=95.4%,P(-3X+3)=99.7%.1234567【做一做4】 某种零件的尺寸服从N(0,4),那么尺寸不在区间(-4,4)内的零件约占总数的. 解析:设零件的尺寸为X,XN(0,4),=0,=2.P(-2X2)=P(-4X4)=95.4%.尺寸不在区间(-4,4)内的零件约占总数的1-95.4%=4.6%.答案:4.6%题型一题型二题型三【例1】 (1)设一个正态分布的分布密度函数为那么这个正态分布的均值与方差分别为()A.3,2 B.3,4 C.8,3D.2,3(2)如图是一个正态

6、曲线,那么该正态分布的均值与方差分别为. 题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思正态分布的分布密度函数 其中为均值,2为方差,曲线关于x=对称,且当x=时,曲线处于最高点,由这一点向左、右两边延伸且曲线逐渐降低,且越大,曲线就越“矮胖,越小,曲线越“瘦高.题型一题型二题型三【变式训练1】 某次市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如下图(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),以下说法中正确的选项是()A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙的总体的平均数不一样题型一题型二题型三解析:此题考察理解,的意义以及它们在正

7、态曲线中的作用.由正态曲线的性质知,曲线的形状由参数确定,越大,曲线越“矮胖,越小,曲线越“瘦高,且是标准差,应选A.答案:A题型一题型二题型三【例2】 设N(2,1),试求:(1)P(13);(2)P(34);(3)P(0).分析:首先可确定,由正态曲线的3原那么求解.解:N(2,1),=2,=1.(1)P(13)=P(2-12+1)=P(-+)=0.683.(2)P(34)=P(01)题型一题型二题型三反思解决此类问题一定要灵活把握3原那么,将所求概率向P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)进展转化,然后利用特定值求出相应的概率.同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积

8、为1这一特殊性质.题型一题型二题型三【变式训练2】 设N(1,22),试求:(1)P(-13);(2)P(35);(3)P(5).解:N(1,22),=1,=2,(1)P(-13)=P(1-21+2)=P(-+)=0.683.(2)P(35)=P(-3-1),题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例3】 在某次数学考试中,考生的成绩X服从一个正态分布,即XN(90,100).(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率;(2)假设这次考试共有2 000名考生,试估计考试成绩在(80,100)内的考生大约有多少人?分析:正态分布已经确定,那么总体的期望和标准差就可以求出,根据正态分布在三

9、个常见的区间上取值的概率进展求解.题型一题型二题型三(1)由于正态变量在区间(-2,+2)内取值的概率是0.954,而该正态分布中,-2=90-210=70,+2=90+210=110,于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率为0.954.(2)由=90,=10得-=80,+=100.正态变量在区间(-,+)内取值的概率为0.683,考试成绩X位于区间(80,100)内的概率为0.683.一共有2 000名考生,考试成绩在(80,100)内的考生大约有2 0000.683=1 366(人).题型一题型二题型三反思解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(-,+),(-2,+2),(

10、-3,+3)上的概率值,同时又要根据的正态分布确定所给区间.题型一题型二题型三【变式训练3】 某设备在正常运行时,产品的质量服从正态分布,其参数为=500,2=1,为了检验设备运行是否正常,质量检查员需要随机地抽取产品,测量其质量.当检验员随机地抽取一个产品,测得其质量为504 g时,他立即要求停顿生产,检查设备.他的决定是否有道理呢?解:如果设备正常运行,产品质量服从正态分布N(,2),根据3原那么可知,产品质量在-3=500-3=497(g)和+3=500+3=503(g)之间的概率为0.997,而质量超出这个范围的概率只有0.003,这是一个几乎不可能出现的事件.但是检验员随机抽取的产品为504 g,这说明设备的运行极可能不正确,因此检验员的决定是有道理的.123451.设随机变