高等数学上-闭区间上连续函数的性质

1、 闭区间上的连续函数有很多重要性质闭区间上的连续函数有很多重要性质. 这些性质在以这些性质在以后各章的学习中经常用到后各章的学习中经常用到. 这些性质这些性质, 从几何上是容易从几何上是容易理解的理解的, 但要给出完整而严格的证明但要给出完整而严格的证明, 有时却是比较困有时却是比较困难的难的. 本节我们将讨论闭区间上连续函数的某些性质本节我们将讨论闭区间上连续函数的某些性质,并从几何上对这些性质予以解释并从几何上对这些性质予以解释.一、最大值最小值定理一、最大值最小值定理定义定义 设设 定义在区间定义在区间 上，上，( )f xI0( )(),f xf x则称则称 为函数为函数 在区间上的最

2、大值；在区间上的最大值； 为最大值点，为最大值点，0()f x( )f x0 x若存在点若存在点 使得对每一个使得对每一个 都有都有0,xI xI0( )(),f xf x则称则称 为函数为函数 在区间上的最小值；在区间上的最小值； 为最小值点，为最小值点，0()f x( )f x0 x若存在点若存在点 使得对每一个使得对每一个 都有都有0,xIxI 0()maxx If xf x并记并记 0()minx If xf x 并记并记例例 函数函数 在整个区间上的最小值为在整个区间上的最小值为 , ( )f xxx0 f xxxxyO ( ),f xxx但无最大值但无最大值.3,( )2;xf x

3、x当21,( );xf xx当02,( )1;xf xx当1 yfxxyOab定理定理1 （最大值最小值定理最大值最小值定理）. 从右边的图中可以看出从右边的图中可以看出, 若函数若函数 在闭区间上连在闭区间上连( )f x( )f x 续续, 则则 在点在点 和和 处处分别取到最大值和最小分别取到最大值和最小值值. 证明从略证明从略. 用简单的数学符号，定理用简单的数学符号，定理1可表述为：可表述为： 值得注意的是，定理值得注意的是，定理1中的条件中的条件 在闭区间上连续，在闭区间上连续，( )f x , fC a b , , , ,( )max ( ),xa ba bff x 使 , (

4、)min ( ).xa bff x不能改为开区间不能改为开区间.证证 因因 存在，由局部有界性定理，存在存在，由局部有界性定理，存在()f a0,例例 设函数设函数 在在 内连续，且内连续，且 存在，存在，( )f x, a b()f a由于区间由于区间 可以表示为可以表示为, a b,a ba aab由于函数连续，故函数在闭区间由于函数连续，故函数在闭区间 有界有界.,ab( )f x, a b证明证明 在在 内有界内有界., a a( )f x使得使得 在在 内有界；内有界；, a b由此得函数在由此得函数在 内有界内有界.二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理 在初等代数中在初等代

5、数中, 我们熟知这一个事实我们熟知这一个事实: 从几何上我们可以很清楚地看到从几何上我们可以很清楚地看到xyO0 x12()()0,nnP x P x则一定存在则一定存在0120,()0.nxx xP x使( )nP x12,x x对多项式函数对多项式函数 ，若存在，若存在 使得使得该问题的实际意义该问题的实际意义. 但该问题对于一般函数而言，结论不成立但该问题对于一般函数而言，结论不成立.xOy 1( ),2 1xxf xxx注意到：注意到：(0)2,(2)2,ff 例如，例如，00,()0.xf x使但不存在但不存在关键原因在于函数不连续关键原因在于函数不连续.定理定理2 (零点定理零点定

6、理)定理定理2可用符号表述为：可用符号表述为： , ,( )( )0fC a bf af b且( )f x, a b( ),( )f af b( )f x, a b00( , ),()0.xa bf x使xyo ab0 x yf x 从几何上看，定理从几何上看，定理2表示：若连续曲线弧表示：若连续曲线弧 的的( )yf x两个端点分别位于两个端点分别位于 轴的两侧，则曲线弧与轴的两侧，则曲线弧与 轴至少有轴至少有xx一个交点一个交点.例例 证明方程证明方程 在区间在区间 内有唯一的根内有唯一的根.e0 ( 1,1)xx证证 令令 ( )e 1,1,xf xxC1(1) ( 1)e 1 e10,

7、ff由零点定理，必存在由零点定理，必存在 ，使得，使得01,1x 0()0.f x 又函数又函数 是单调增加函数，故零点是唯一的是单调增加函数，故零点是唯一的.( )f x例例 任何实系数奇次多项式方程必有实根。任何实系数奇次多项式方程必有实根。证证 设实系数奇次多项式方程为设实系数奇次多项式方程为因因不妨设不妨设 . 记记00a 10110,nnnna xa xaxa1011( ),nnnnf xa xa xaxa1000( )1,nnnaaf xa xa xa x可见：可见：lim( ), lim( )xxf xf x 故，存在故，存在 使得使得10,x 1()0;f x0()0.f x使

8、得使得20,x 2()0.f x同理存在同理存在 使得使得21( ),f xC x x021,xx x因因 由零点定理，知存在由零点定理，知存在证证 作函数作函数 则则 且且( )( ),F xf x( ) , ,F xC a b ( )0,F aF bf af b0()0.F x( )( )f af b( ) ( )f af b( )f x, a b,0 x0().f x, a b即即0().f x由零点定理由零点定理, 存在存在0( , )xa b使得使得 注注 零点定理是介值定理的特殊情况零点定理是介值定理的特殊情况.xyo ab0 x yf xxyo ab0 x yf x之间的任何值之间的任何值. 即即 , fC a b , , min( ) ,max( ),xa bx