函数导数及其应用 质量检测

1、阶段质量检测(二)函数、导数及其应用(时间120分钟，满分150分)第卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合Ax|x3，Bx|2x11，则AB ()A.x|x1B.x|x3 C.x|1x3 D.解析：集合B中不等式2x112x120x1，所以ABx|1x3.答案：C2.函数f(x)lnx的零点所在的区间是 ()A.(0,1) B.(1，e) C.(e,3) D.(3，)解析：代入验证可知，只有B中：f(1)·f(e)(ln1)(lne)0，又f(x)0，故在(1，e)上函数f(x)存在零

2、点.答案：B3.设m，nR，函数ymlognx的图象如图所示，则有 ()A.m0,0n1 B.m0，n1C.m0,0n1 D.m0，n1解析：由函数图象可知该函数为增函数，所以n1，又图象与x轴的交点在(0,1)之间，故该图象是由ylognx的图象向上平移得到的，所以m0.答案：B4.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：X1.99345.16.12Y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A.y2x2 B.y()x C.ylog2x D.y(x21)解析：直线是均匀的，故选项A不是；指数函数y()x是

3、单调递减的，也不符合要 求；对数函数ylog2x的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，基本符合要求.答案：D5.已知f(x)则方程f(x)2的实数根的个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.3解析：令31x2，1xlog32.x1log32.又log32<log331，x1log32>0.这个实根符合题意.令x24x32，则x24x10.解得两根x12，x22，x1和x2均小于0，符合题意.答案：D6.曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x1所围成的三角形的面积为 ()A. B. C. D.解析：由题可知，曲线yx3在点(1,1)处的切线方程为y13(x1)

4、，即y3x2，令y0，得x，画出图形可知，所围成三角形的面积为S×(1)×1.答案：B7.函数f(x)ln(1x2)的图象只可能是 ()解析：函数f(x)ln(1x2)的定义域为(1,1)，且f(x)为偶函数，当x(0,1)时，函数f(x)ln(1x2)为单调递减函数；当x(1,0)时，函数f(x)为单调递增函数，且函数值都小于零，所以其图象为A.答案：A8.已知<x<，设a21sinx，b2cosx，c2tanx，则 ()A.a<b<cB.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a解析：因为<x<，所

5、以0<cosx<sinx<1<tanx，而sinxcosx>1，cosx>1sinx，故a<b<c.答案：A9.已知f(x)是R上的减函数，那么a的取值范围是 ()A.(0,1) B.(0，) C.，) D.，1)解析：依题意有0<a<1且3a10，得0<a<，考虑端点x1，则(3a1)4a0得a.答案：C10.定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递减，且f()0，则满足f(logx)0的x的 集合为 ()A.(，)(2，)B.(，1)(1,2)C.(，1)(2，)D.(0，)(2，)解析：函数f(x)为偶函数，且在0

6、，)上单调递减，f()0，log或logx，0x或x2.答案：D第卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分将答案填写在题中的横线上)11.已知函数f(x)则不等式f(x)0的解集为.解析：当x0时，log2x0，即log2x00x1，当x0时，1x20，即x21，1x0，综上所述：f(x)0的解集为(1,1).答案：(1,1)12.若x1、x2为方程2x的两个实数解，则x1x2.解析：2x21，x1，即x2x10，x1x21.答案：113.已知曲线C：ylnx4x与直线x1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是.解析：由已知得y4，所以当x1时有y3，即过

7、点P的切线的斜率k3，又yln144，故切点P(1，4)，所以点P处的切线方程为y43(x1)，即3xy10.答案：3xy1014已知P(x，y)是函数yexx图象上的点，则点P到直线2xy30的最小距离为_解析：将直线2xy30平移到与函数yexx的图象相切时，切点到直线2xy30的距离最短，故关键是求出切点的坐标由yex12解得x0，代入函数yexx易得y1，点(0,1)到直线2xy30的距离为.答案：15以下四个命题，是真命题的有_(把你认为是真命题的序号都填上)若p：f(x)lnx2x在区间(1,2)上有一个零点；q：e0.2e0.3，则pq为假命题；当x1时，f(x)x2，g(x)x

8、，h(x)x2的大小关系是h(x)g(x)f(x)；若f(x0)0，则f(x)在xx0处取得极值；若不等式23x2x20的解集为P，函数y的定义域为Q，则“xP”是“xQ”的充分不必要条件三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)(2010·东北师大附中模拟)已知函数f(x)2x，g(x)2.(1)求函数g(x)的值域；(2)求满足方程f(x)g(x)0的x的值.解：(1)g(x)2()|x|2，因为|x|0，所以0()|x|1，即2g(x)3，故g(x)的值域是(2,3.(2)由f(x)g(x)0得2x20，当x0时，显

9、然不满足方程，即只有x0满足2x20，整理得(2x)22·2x10，(2x1)22，故2x1±，因为2x0，所以2x1，即xlog2(1).17.(本小题满分12分)已知函数f(x)x22ax2，x5,5.(1)当a1时，求f(x)的最大值与最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数.解：(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，当x1时，f(x)取最小值为1，当x5时，f(x)取最大值为37，所以f(x)的最大值是37；最小值是1.(2)由于函数的对称轴是xa，要使函数在区间5,5上是单调函数，必须且只需满足|a|5，故所求的a的取值范围

10、是a5或a5.18.(本小题满分12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点.若存在，求出范围，若不存在，说明理 由.解：若实数a满足条件，则只需f(1)·f(3)0即可.f(1)·f(3)(13a2a1)·(99a6a1)4(1a)(5a1)0.所以a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1.所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0.得x0或x1.方程在1,3上有两根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解之得x或x3.方程在1,3上有两

11、根，不合题意，故a.综上所述，a或a1.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)x33x29xa，(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求函数f(x)在该区间上的最小值.解：(1)f(x)3x26x9，令f(x)0，解得x1或x3，所以函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)；令f(x)0，解得1x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(1,3).(2)因为f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，所以f(2)f(2).因为在区间(1,3)上，f(x)0，所以f(x)在(1,2)上单调递增.又由于f(x)在(2，1)上单调递减，因此f(2)

12、和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a2，故f(x)x33x29x2，因此f(1)7，即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7.20.(本小题满分13分)已知向量a(x21，1)，b(x，y)，当|x|时，有ab；当|x| 时，ab.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求函数yf(x)的单调递减区间；(3)若对|x| ，都有f(x)m，求实数m的最小值.解：(1)当|x|时，由 ab，得a·b(x21)xy0，即yx3x(|x|)；当|x|时，由ab，得y(|x|).f(x) (2)当|x|时，由y3x210，解得x，当|x|时，y0，函数

13、f(x)的单调递减区间为(，).(3)对x(，)，都有f(x)m，即m，由(2)知当|x|时，y0，函数f(x)在(，和，)上都单调递增，f()，f()，当x时，y0，0f(x)f()，同理可得，当x时，有f(x)0，综上所述，对x(，)，f(x)取得最大值，实数m的最小值为.22.(本小题满分14分)(2010·长郡模拟)已知函数f(x)x4ax32x2b(xR)，其中a，bR.(1)当a时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x0时处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意的a2,2，不等式f(x)1在1,1上恒成立，求b的取值范围.解：(1)f(x)4x33ax24xx(4x23ax4).当a时，f(x)x(4x210x4)2x(2x1)(x2).令f(x)0，解得x10，x2，x22.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)02(2，)f(x)000f(x)极小值极大值极小值所以f(x)在(0，)，(2，)内是增函数，在(，0)，(，2)内是减函数.(2)f(x)x(4x33ax4)，显然x0不是方程4x33ax40的根.为使f(x)仅在x0处有极值，