勾股定理知识点与常见题型总结

1、勾股定理复习一知识归纳勾股定理：直角三角形两直角边的平方与等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的与等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的与为大正方形面积为所以方法三：，化简得证.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角

2、形.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边与直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在中，则，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的

3、可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方与与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方与时，这个三角形是直角三角形.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示勾股数：（为正整数）；（，为正整数）

4、常见图形：类型一：勾股定理的直接用法 1、在中，90 (1)已知6， 10，求b， (2)已知40，9，求c； (3)已知25，15，求a. 2. 已知直角三角形两边的长为3与4，则此三角形的周长为【变式】:如图90, 1312, 3,则的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用1. 若一个三角形的边长分别是12、16与20，则这个三角形最长边上的高长是。2.如图，中，有一点P在上移动若5，6，则的最小值为（）A 8 B 8.8 C 9.8 D 10 3.在中，边上的高，则的周长为（ ）A、42 B、32 C、42或32 D、37或334.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为.

5、 5.等边三角形的边长为2，求它的面积。【变式】:中，若90，如图1，根据勾股定理，则。若不是直角三角形，如图2与3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。类型三：勾股定理的实际应用1.如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3m同时梯子的顶端B下降至B，那么（ ）A小于1mB大于1mC等于1mD小于或等于1m2.将一根24的筷子，置于底面直径为15，高8的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（）Ah17 Bh8C15h16 D7h16（一）用

6、勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?如图，公路与公路在P点处交汇，点A处有一所中学，160米，点A到公路的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那

7、么学校受到影响的时间为多少？（二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 【变式】1.如图，一圆柱体的底面周长为20，高为4，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程2.如图1，长方体的长为12，宽为6，高为5，一只蚂蚁沿侧面从点向点爬行，问：爬到点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？3.如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米

8、的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫? 解题步骤归纳：1、标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？），明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；2、利用折叠，找全等。3、将已知边与未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。类型四：利用勾股定理作长为的线段 1、作长为、的线段。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。类型五：勾股定理逆定理 7、如果

9、的三边分别为a、b、c，且满足a222+506a810c，判断的形状。 举一反三【变式1】四边形中，90，3，4，12，13，求四边形的面积。【变式2】已知:的三边分别为m2n2,222(为正整数,且mn),判断是否为直角三角【变式3】如图正方形，E为中点，F为上一点，且。请问与是否垂直?请说明。类型六：与勾股定理有关的图形问题1.如图，是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的，若图中大小正方形的面积分别为62.5与4，求直角三角形两直角边的长。2如图，直线l经过正方形的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是3.在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三

10、个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、。类型七：关于图形变换问题1.如图，把矩形纸片沿对角线折叠，点B落在点E处，与相交于点F.若4，6，求的周长与面积.2.如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，求的长3.如图，是直角三角形，是斜边，将绕点A逆时针旋转后，能与重合，若3，求的长。勾股定理在旋转中的运用例1、如图1，P是正三角形内的一点，且6，8，10，求的度数。练习：如图：设P是等边内的一点，3， 4，5，则的度数是.例2 . 如图P是正方形内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为1，2，3。求此正方形面积。+5练习1：正方形内一点P，使得：

11、1：2：3，求的度数。 练习2：请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形内有一点P，且2， ，1、求度数的大小与等边三角形的边长李明同学的思路是：将绕点B顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得P是等边三角形，而A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以150，而150，进而求出等边的边长为 ，问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形内有一点P，且 ， ，1求度数的大小与正方形的边长解：（1）如图，将绕点B逆时针旋转90，得A，则A1，= ；连接，在P中，= ，=90，=2，45；在P中，222；P是直角三角形，即90，135，135（2）

12、过点B作，交的延长线于点E；45，1，2；在中，由勾股定理，得 ；135，正方形边长为例3如图（4-1），在中， =900，P为内一点，且3，1，2。求的度数。练习1.BCDEFA如图，在 中，D、E是斜边上两点，且45，将绕点顺时针旋转90后，得到，连接，下列结论：；其中正确的是（ ）A； B；C；D练习2：.阅读下面材料，并解决问题：(1)、如图(10)，等边内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则，由于，不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出的度数(2)、请你利用第(1)题的

13、解答思想方法，解答下面问题：已知如图(11)，中，90，E、F为上的点且45，求证：222 数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 1、如图所示，是等腰直角三角形，D是斜边的中点，E、F分别是、边上的点，且，若12，5求（1）线段的长。（2）的面积。总结：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段与所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 （二）方程的思想方法 1.若直角三角形的三边长分别是1，2，3，求n。2.直角三角形周长为12，斜边长为5，求直角三角形的面积。【变式】1.如图