数学破题36计 第9计瞎子开门伸手摸缝

1、数学破题36计第9计 瞎子开门 伸手摸缝 计名释义命题人本来为解题人设计了“题门”，即所谓题目的入口处.但对“瞎子”来讲，他不是在看，而是用手去摸.在摸的过程中，他没有能力关心整个大门，而只是关心这个门的门缝.如果遇上了门缝，他便将手伸到门的后面，轻轻地把门闩拉掉，题门也就随之开了.典例示范引题已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列的各项为正，且满足，（）证明：，；（）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值；（）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0，都有分析 此题有3扇门，即题问（），（），（）.用手去摸，发现（）是个门缝，因为（）最轻便：一是“

2、猜”，二是“写出”（不要求说道理）.于是，可以把手伸到（）的后面，把（）当作门闩抽掉.解 因为0 < an < 而后者的极限是0，所以an的极限是0.插语 解（）之时，承认并利用了（）的结果.评说 这么难的压轴题，竟这么容易地拿下了它的三分之一.即使最后不能攻下（），而（）的分数却已经拿到手了.拿下（）之后，可以直抓后面的（）.既然an0，那么要它an<，那就解不等式求N罢了.这时，仍然可以把（）的结果当作已知.解 （放大为了化简）令，故取N=1024，可使当n>N时，都有插语 （），（）已破，题门大开，回师攻（）形势更好.解 问题简化为已知： 求证：插语 先抓住求证式

3、，其右边的分母中有变量，顺藤摸瓜，找到已知式中的，不过它却在“分子”上.至此，快摸到问题（）的“门闩”.续解 式变为得式 .插语 式即为题（）的门闩.以下用式与式连接，从式中变出.续解 由式得 得式 依次令n=2,3,4,得 两边相加得 代式 于得.这就是要证的式.从而证得式：，即问题（）得证.插语 变为，用的是分析法.变、为，用的是综合法.条件（，）不等式（）的证明，经常利用“分析综合法”进行两边夹攻.评论 本题是一道难度很高的压轴大题，“伸手摸缝”的策略，改变了命题人原来设定的解题顺序，即从（）到（）、再到（）的一般顺序.从而使得易解的（）成为该大题的“题缝”.对于最难的题（），仍然采用了

4、中间突破的办法，成功的关键也是从中找到了题（）的题缝：，实际上，不等式的证明中，分析法与综合法的接头处，正是问题的题缝.对应训练对以上例题第（）问改为如下的问题：已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列的各项为正，且满足，（）设f(n)= ,用数学归纳法证明：；（）求证：，；参考答案分析本题的（）、（）问，显然第（）问比第（）问容易.因此我们可以先解第（）问，这时必需把第（）问的结果当作已知题门从后面拨开.解（）： 由已知不等式得解（）： 设，利用数学归纳法证不等式（）当n=3时，由，知不等式成立（）假设当n=k（k3）时，不等式成立，即，则即当n=k+1时，不等式也成立由（）（）知，插语 数学归纳法证题，在k到k+1之间，存在着一个“题缝”.从k正推，属综合法；由k+1反推，属分析法.“题缝”就藏在综合与分析的“接头处”.从考场策略上讲，若在“接头处”遇上困难，可用“因为所以”的模糊法把前后的“裂缝拉拢”，以便逃脱阅卷人的苛求