中考数学复习专题讲座精编含详细参考答案动点型问题

1、中考数学复习专题讲座：动点型式（或函数图像）、动态几何型压轴题、双动点（建立动点的函数、因动点产生的最值）一、中考专题诠释所谓“动点型”是指题设图形中一个或多个动点,它们段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类“动点型的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决.” 题型繁多、题意创新，学生的分析、解决的能力，内容空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。二、解题策略和解法精讲解决动点的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的

2、运动过程中观察和图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学三、中考考点精讲中最的数学本质。建立动点的函数式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化,这种变化就是动点中的函数.（一）应用勾股定理建立函数式（或函数图像）例 1（2012嘉兴）如图，正方形 ABCD 的边长为a，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABDCA 的路径运动，回到点 A 时运动停止设点 P 运

3、动的路程长为长为 x，AP 长为 y，则y 关于 x 的函数图象大致是（）ABCD式，然后对 x 从 0 到 2a+2思路分析：根据题意设出点 P 运动的路程 x 与点 P 到点A 的距离 y 的函数a 时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出解：设动点P 按沿折线ABDCA 的路径运动，正方形 ABCD 的边长为a，BD=a，则当 0xa 时，y=x，当 ax（1+）a 时，y=，当 a（1+）xa（2+）时，y=，当 a（2+）xa（2+2）时，y=a（2+2）x，结合函数式可以得出第 2，3 段函数式不同，得出 A 选项一定错误，根据当 ax（1+）a 时，函数图象被 P 在BD 中

4、点时，分为对称的两部分，故 B 选项错误，再利用第 4 段函数为一次函数得出，故 C 选项一定错误，故选：D点评：此题主要考查了动点题的关键的函数图象；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数式是解决本对应训练 1（2012内江）如图，正ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 ABC的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒），y=PC2，则 y 关于x 的函数的图象大致为（）ABCD解：正ABC 的边长为 3cm，A=B=C=60°，AC=3cm13 3如图，D 为 AB 的中点，连结 CD，则：AD=BD=1.5（cm），CD=（c

5、m）。2段AD 上时，AP=xcm（0x1.5），则当 0x1.5 时，即点PPC 2 = CDDP2 = (3 3 )2 + ( 3 - x)2 = x2 - 3x + 9 ，即 y=x23x+9（0x1.5）；2当 1.5<x3 时，即点P2段 AD 上时，AP=xcm（1.5<x3），则D3 33PC 2 = CDDP2 = ()2 + (x - )2 = x2 - 3x + 9 ，即 y=x23x+9（1.5<x3）；22综上，当 0x3 时，y=x23x+9，该函数图象是开口向上的抛物线；当 3x6 时，即点P段 BC 上时，PC=（6x）cm（3x6）；则 y=（

6、6x）2=（x6）2（3x6），该函数的图象是在 3x6 上的抛物线；故选 C（二）应用比例式建立函数式（或函数图像）例 2（2012攀枝花）如图，直角梯形 AOCD 的边OC 在x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于x 轴，D（5，4），AD=2若动点E、F 同时从点O 出发，E 点沿折线OAADDC 运动，到达C 点时停止；F 点沿 OC 运动，到达C 点是停止，它们运动的速度都是每秒 1 个长度设 E 运动 x 秒时，EOF 的面积为 y（平方），则 y 关于x 的函数图象大致为（）ABCD思路分析：首先根据点D 的坐标求得点A 的坐标，从而求得线段OA 和线段OC 的长，然后根据运动时

7、间即可三角形 EOF 的面积的变化情况解：D（5，4），AD=2OC=5，CD=4OA=5，运动 x 秒（x5）时，OE=OF=x，作 EHOC 于H，AGOC 于OFEH= ×x× x= x2，故 A、B 错误；点 G，EHAG，EHOAGO，即：EH=，x，SEOF=当点F 运动到点C 时，点E 运动到点A，此时点F 停止运动，点E 在AD 上运动，EOF 的面积不变，点 E 在 DC 上运动时，如右图，EF=11x，OC=5，SEOF=OCCE= ×（11x）×5= x+是一次函数，故 C 正确，故选 C点评：本题考查了动点的函数图象，解题的关键是

8、根据动点确定分段函数的图象对应训练 2（2012贵港）如图，RtABC 的内切圆O 与AB、BC、CA 分别相切D、E、F，且ACB=90°，AB=5，BC=3，点 P 在射线 AC 上运动，过点 P 作 PHAB，垂足为 H（1）直接写出线段 AC、AD 及O 半径的长；（2）设 PH=x，PC=y，求 y 关于x 的函数式；（3）当 PH 与O 相切时，求相应的 y 值（1）连接 AO、DO设O 的半径为 r在 RtABC 中，由勾股定理得 AC=4，则O 的半径 r= （AC+BCAB）= （4+35）=1；CE、CF 是O 的切线，ACB=90°，CFO=FCE=C

9、EO=90°，CF=CE，四边形 CEOF 是正方形，CF=OF=1；又AD、AF 是O 的切线，AF=AD；AF=ACCF=ACOF=41=3，即 AD=3；2（2）在 RtABC 中，AB=5，AC=4，BC=3，C=90°，PHAB，C=PHA=90°，A=A，AHPACB，=，即 =，y= x+4，即 y 与x 的函数式是 y= x+4；（3）如图，PH与O 相切OMH=MHD=HDO=90°，OM=OD，四边形 OMHD 是正方形，MH=OM=1；由（1）知，四边形 CFOE 是正方形，CF=OF=1，PH=PM+MH=PF+FC=PC，即 x

10、=y；又由（2）知，y= x+4，y= y+4，y= （三）应用求图形面积的建立函数式例 3 （2012桂林）如图，在ABC 中，BAC=90°，AB=AC=6，D 为BC 的中点（1）若 E、F 分别是AB、AC 上的点，且 AE=CF，求证：AEDCFD；（2）当点 F、E 分别从C、A 两点同时出发，以每秒 1 个DEF 的面积为 y，F 点运动的时间为 x，求 y 与x 的函数长度的速度沿 CA、AB 运动，到点 A、B 时停止；设式；（3）在（2）的条件下，点 F、E 分别沿 CA、AB 的延长线继续运动，求此时 y 与x 的函数思路分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到

11、BAD=DAC=B=C=45°，进而得到 AD=BD=DC，为证明AEDCFD 提供了重要的条件；（2）利用 S 四边形 AEDF=SAED+SADF=SCFD+SADF=SADC=9 即可得到 y式与 x 之间的函数式；（3）依题意有：AF=BE=x6，AD=DB，ABD=DAC=45°得到DAF=DBE=135°，从而得到ADFBDE，利用全等三角形面积相等得到 SADF=SBDE 从而得到 SEDF=SEAF+SADB 即可确定两个变量之间的函数式解：（1）证明：BAC=90° AB=AC=6，D 为BC 中点 BAD=DAC=B=C=45

12、6; AD=BD=DC （2 分）AE=CFAEDCFD（2）解：依题意有：FC=AE=x，AEDCFDS 四边形 AEDF=SAED+SADF=SCFD+SADF=SADC=9；（3）解：依题意有：AF=BE=x6，AD=DB，ABD=DAC=45°DAF=DBE=135°ADFBDESADF=SBDE SEDF=SEAF+SADB =点评：本题考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大对应训练 3（2012桂林）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，动点 P 从 A 点出发，以每秒 1 个长度的速度沿 AB 向 B 点运动

13、，同时动点 Q 从 B 点出发，以每秒 2 个长度的速度沿 BCCD 方向运动，当 P 运动到 B点时，P、Q 两点同时停止运动设 P 点运动的时间为 t，APQ 的面积为 S，则 S 与t 的函数的图象是（）ABCD解：点 P 在 AB 上运动，点 Q 在 BC 上运动，此时 AP=t，QB=2t，故可得 S= APQB=t2，函数图象为抛物线；点 P 在 AB 上运动，点 Q 在CD 上运动，此时 AP=t，APQ 底边 AP 上的高维持不变，为正方形的边长 4，故可得S= AP×4=2t，函数图象为一次函数综上可得总过程的函数图象，先是抛物线，然后是一次增函数选D（四）以双动点

14、为载体，探求函数图象例 4 （2012荆门）如图（1）所示，E 为矩形 ABCD 的边AD 上一点，动点P、Q 同时从点B 出发，点P 沿折线 BEEDDC 运动到点C 时停止，点Q 沿3BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是 1cm/秒设 P、Q 同发t 秒时，BPQ 的面积为 ycm2已知 y 与t 的函数图象如图（2）（曲线 OM 为抛物线的一部分），则下列结论：AD=BE=5；cosABE= ；当 0t5时，y= t2；当 t=秒时，ABEQBP；其中正确的结论是（填序号）思路分析： 根据图（2）可以三角形的面积变化分为三段，可以出当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点C，从而得

15、到BC、BE 的长度，再根据M、N 是从 5 秒到 7 秒，可得ED 的长度，然后表示出AE 的长度，根据勾股定理求出 AB 的长度，然后各小题分析解答即可解：根据图（2）可得，当点 P 到达点 E 时点Q 到达点 C，点 P、Q 的运动的速度都是 1cm/秒，BC=BE=5，AD=BE=5，故小题正确；又从 M 到N 的变化是 2，ED=2，AE=ADED=52=3，在 RtABE 中，AB=4，cosABE= ，故小题错误；过点 P 作PFBCF，ADBC，AEB=PBF，sinPBF=sinAEB= ，PF=PBsinPBF= t，当 0t5 时，y= BQPF= t t= t2，故小题

16、正确；当 t=秒时，点 P 在 CD 上，此时，PD=BEED=52= ，PQ=CDPD=4 =，= ，=，=，又A=Q=90°，ABEQBP，故小题正确综上所述，正确的有点评：本题考查了动点的函数图象，根据图（2）出点 P 到达点 E 时点Q 到达点 C 是解题的关键，也是本题的口（五）以双动点为载体，探求函数最值例 5（2012张家界）如图，抛物线 y=x2+x+2 与x 轴交于C、A 两点，与y 轴交B，OB=2点 O 关于直线 AB 的对称点为 D，E 为线段 AB 的中点（1）分别求出点 A、点B 的坐标；（2）求直线 AB 的式；（3）若反比例函数 y= 的图象过点 D，

17、求 k 值；（4）两动点P、Q 同时从点 A 出发，分别沿 AB、AO 方向向B、O 移动，点P 每秒移动 1 个单位，点Q 每秒移动 个，设POQ 的面积为S，移动时间为t，问：S 是否最大值？若，求出这个最大值，并求出此时的 t 值；若不，请说明理由思路分析：（1）抛物线的式中，令 x=0，能确定抛物线与 y 轴的交点坐标（即 B 点坐标）；令 y=0，能确定抛物线与 x 轴的交点坐标（即 A、C 的坐标）（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线 AB 的式（3）欲求出反比例函数的式，需要先得到 D 点的坐标已知 A、B 的坐标，易出OAB 是含特殊角的直角三角形，结合O、D 关于直

18、线 AB 对称，可得出 OD 的长，结合DOA 的读数，即可得到D 点的坐标，由此得解（4）首先用t 列出AQ、AP 的表，进而可得到P 到x 轴的距离，以OQ 为底、P 到x 轴的距离为高，可得到关于S、t 的函数式，根据函数的性质即可得到 S 的最大值及此时 t 的值解：（1）令 y=0，即x2+x+2=0；x1=，x2=2C（，0）、A（2，0）4令 x=0，即 y=2，B（0，2）综上，A（2，0）、B（0，2）（2）令 AB 方程为 y=k1x+2 因为点A（2，0）在直线上，0=k12+2k1=直线 AB 的，式为 y=x+2（3）由 A（2，0）、B（0，2）得：OA=2，OB=

19、2，AB=4，BAO=30°，DOA=60°；D 与O 点关于 AB 对称，DOA=60°，OD=OA=2，D 点的横坐标为，纵坐标为 3，即D（，3）因为 y= 过点 D，3=，k=3（4）AP=t，AQ=t，P 到 x 轴的距离：APsin30°= t，OQ=OAAQ=2 t；SOPQ= （2- t） t=- （t2）2+；依题意有，0t4当 t=2时，S 有最大值为 点评：该题考查的知识点有：函数式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数时，一定要注意未知数的取值范围（六）因动点产生的最值因动点产生的最值与一般最值一样，一般都归于两

20、类基本模型：1. 归于函数模型 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性 确定某范围内函数的最大或最小值2. 归于几何模型 这类模型又分为两种情况：（1） 归于“两点之间的连线中 线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时大都应用这一模型。（2） 归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时大都应用这一模型。例 6（2012襄阳）如图，在矩形 OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 B 落在OA 边上的点 E 处分别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线 y=ax2+bx

21、+c 经过 O，D，C三点（1）求 AD 的长及抛物线的式；（2）一动点P 从点E 出发，沿 EC 以每秒 2 个长的速度C 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿 CO 以每秒1 个长的速度O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以 P、Q、C 为顶点的三角形与ADE 相似？（3）点 N 在抛物线对称轴上，点 M 在抛物线上，是否这样的点 M 与点 N，使以 M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若，请直接写出点 M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不，请说明理由5解：（1）四边形 ABCO 为矩形，OAB=AOC=B=90°，

22、AB=CO=8，AO=BC=10由题意，BDCEDCB=DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD由勾股定理易得 EO=6AE=106=4，设 AD=x，则 BD=ED=8x，由勾股定理，得 x2+42=（8x）2，x=3，AD=3抛物线 y=ax2+bx+c 过点 D（3，10），C（8，0），式为：y= x2+抛物线的x（2）DEA+OEC=90°，OCE+OEC=90°，DEA=OCE，由（1）可得 AD=3，AE=4，DE=5而 CQ=t，EP=2t，PC=102t当PQC=DAE=90°，ADEQPC，=，即 =，t=当QPC=DAE=90&

23、#176;，ADEPQC，=，即= ，t=5当 t=或时，以 P、Q、C 为顶点的三角形与ADE 相似（3）假设符合条件的 M、N 点，分两种情况讨论：EC 为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过 EC 中点，若四边形 MENC 是平行四边形，那么 M 点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段 MN 必被EC 中点（4，3）平分，则 N（4，）；EC 为平行四边形的边，则 ECMN，设 N（4，m），则 M（48，m+6）或 M（4+8，m6）；将 M（4，m+6）代入抛物线的将 M（12，m6）代入抛物线的式中，得：m=38，此时 N（4，38）、M（4

24、，32）；式中，得：m=26，此时 N（4，26）、M（12，32）；综上，符合条件的 M、N 点，且它们的坐标为：M1（4，32），N1（4，38）M2（12，32），N2（4，26）M3（4，），N3（4，）四、中考1. （2012演练省 4 分）如图，A 点在半径为 2 的O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线l ，与O 过A 点的切线交B，且APB=60°，设 OP= x，则PAB 的面积 y 关于x 的函数图像大致是【】【分析】利用 AB 与O 相切，BAP 是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用 x 表示出三角形的面积，根据函数式确定函数的图象： AB 与

25、O 相切，BAP=90°，OP=x，AP=2x，BPA=60°，AB= 3(2 - x) ，APB 的面积y = 3 (2 - x)2 ，（0x2）。2PAB 的面积 y 关于x 的函数图像是经过（2，0）的抛物线在 0x2 的部分。故选 D。2. （2012 浙江温州 4 分）如图，在ABC 中，C=90°，M 是 AB 的中点，动点 P 从点 A 出发，沿 AC 方向匀速运动到终点 C,动点 Q 从点C 出发，沿 CB 方向匀速运动到终点 B.已知 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点.连结 MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，MPQ 的面积大小变化情况是【】

26、A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减小= 1 S，开始时，ABC【分析】，连接 CM，M 是 AB 的中点，SACM=SBCM2= 1 S；由于 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，从而点 P 到达 AC 的中点时，点Q 也到达 BC 的中ABCSMPQ=SACM2= 1 S；结束时，SABCMPQ1BCM= SABC。MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选 C。点，此时，S=SMPQ423.（2012 江苏无锡 3 分）如图，以 M（5，0）为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 AB 两点，P 是M 上异于 AB的一动点，直线 PAPB 分别交 y 轴于 CD，

27、以 CD 为直径的N 与x 轴交于 E、F，则 EF 的长【】A 等于 4【分析】 连接 NE，B等于 4C等于 6D随P 点N 半径为 r，ON=x，则 OD=rx，OC=r+x，以 M（5，0）为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 AB 两点，OA=4+5=9，0B=54=1。AB 是M 的直径，APB=90°。BOD=90°，PAB+PBA=90°，ODB+OBD=90°。PBA=OBD，PAB=ODB。6APB=BOD=90°，OBDOCA。 OC = OD ，即 r+x =9，即 r2x2=9。1r - xOBOA由垂径定理得：OE=

28、OF，由勾股定理得：OE2=EN2ON2=r2x2=9。OE=OF=3，EF=2OE=6。4. （2012黄冈3分）如图，在RtABC中，C=90°，AC=BC=6cm，点P 从点A 出发，沿AB方向以每秒 2 cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P.设Q点运动的时间t秒， 若四边形QPCP为菱形，则t的值为【】A.2B. 2C.2 2D. 4【分析】如图，过点 P 作 PDACD，连接PP。由题意知，点 P、P关于 BC 对称，BC 垂直平分 PP。QP=QP，PE=PE。根据菱形的性质，若

29、四边形 QPCP是菱形则 CE=QE。C=90°，AC=BC，A=450。AP= 2 t，PD= t。易得，四边形 PDCE 是矩形，CE=PD= t，即 CE=QE= t。又 BQ= t，BC=6，3 t=6，即 t=2。广元 3 分） 如图，点 A 的坐标为（-1，0），点 B 在直线y = x 上运动，当线段5. （2012AB 最短时，点 B 的坐标为【】B.（ - 1 ，- 1 ）22）2D.（ -2 ，-22）2C.（，-2A.（0，0）22【分析】如图，过点 A 作 ABOB，垂足为点 B，过 B作 BCx 轴，垂足为 C。由垂线段最短可知，当 B与点 B 重合时 AB

30、 最短。点 B 在直线 y=x 上运动，AOB是等腰直角三角形。BCO 为等腰直角三角形。点 A 的坐标为（-1，0），OC=CB= 1 OA= 1 ×1= 1 。222B坐标为（ 1 ， 1 ）。当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为（ 1 ， 1 ）。故选 B。22226. （2012 浙江义乌 4 分）如图，已知点 A（0，2）、B（，2）、C（0，4），过点 C向右作平行于 x 轴的射线，点 P 是射线上的动点，连接 AP，以 AP 为APQ，连接PB、BA若四边形 ABPQ 为梯形，则：（1） 当 AB 为梯形的底时，点 P 的横坐标是；（2） 当 AB 为梯形的腰时，点

31、P 的横坐标是【分析】（1）如图 1：当 AB 为梯形的底时，PQAB，Q 在 CP 上。APQ 是等边三角形，CPx 轴，AC 垂直平分 PQ。左侧作等边3 = 2 3 。33A（0，2），C（0，4），AC=2。 PC = AC× tan30° = 2 ´当 AB 为梯形的底时，点 P 的横坐标是： 2 3 。3（2）如图 2，当 AB 为梯形的腰时，AQBP，Q 在y 轴上。BPy 轴。CPx 轴，四边形 ABPC 是平行四边形。CP=AB= 2 3 。当 AB 为梯形的腰时，点 P 的横坐标是： 2 3 。7. （2012鄂州 3 分）在锐角三角形 ABC

32、 中，BC= 4 2 ，ABC=45°，BD 平分ABC，M、N 分别是 BD、BC上的动点，则 CM+MN 的最小值是。【分析】如图，在 BA 上截取 BE=BN，连接 EM。ABC 的平分线交 ACEBM=NBM。在AME 与AMN 中，BE=BN ，EBM=NBM，BM=BM，D，7BMEBMN（SAS）。ME=MN。CM+MN=CM+MECE。又CM+MN 有最小值，当 CE 是点C 到直线 AB 的距离时，CE 取最小值。BC= 4 2 ，ABC=45°，CE 的最小值为4 2 sin450=4。CM+MN 的最小值是 4。8. （2012 山东济南 3 分）如图

33、，MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点O 的最大距离14555D2】A 2 +1B 5为【C5【分析】如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、OD，ODOE+DE，当 O、D、E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大，1此时，AB=2，BC=1，OE=AE= AB=1。2DE= =AD2 + AE2 = 12 +12 =2 ，OD 的最大值为： 2 +1。故选 A。9（2012遵义）如图，ABC 是

34、边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过 P 作PEAB 于 E，连接 PQ 交AB 于 D（1） 当BQD=30°时，求 AP 的长；（2） 当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由解：（1）ABC 是边长为 6 的等边三角形，ACB=60°，BQD=30°，QPC=90°，设 AP=x，则 PC=6x，QB=x，QC=QB+BC=6+x，

35、在 RtQCP 中，BQD=30°，PC= QC，即 6x= （6+x），x=2；（2）当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度改变理由如下：作 QFAB，交直线 AB 的延长线F，连接 QE，PF，又PEAB 于 E，DFQ=AEP=90°，点 P、Q 做匀速运动且速度相同，AP=BQ，ABC 是等边三角形，A=ABC=FBQ=60°，在APE 和BQF 中，A=FBQ=AEP=BFQ=90°，APE=BQF，APEBQF，AE=BF，PE=QF 且PEQF，四边形 PEQF 是平行四边形，DE= EF，EB+AE=BE+BF=AB，DE= AB，又等

36、边ABC 的边长为 6，DE=3，当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度改变10（2012河南）如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+1 与抛物线 y=ax2+bx3 交于 A、B 两点，点 A 在x轴上，点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与 A、B 点重合），过点 P 作x 轴的垂线交直线 ABC，作 PDABD（1） 求 a、b 及 sinACP 的值；（2） 设点P 的横坐标为 m用含有 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连接PB，线段PC 把PDB 分成两个三角形，是否适合的m 的值，直接写出m 的值，使这两个三角形

37、的面积之比为 9：10？若，直接写出 m 的值；若不，说明理由解：（1）由 x+1=0，得 x=2，A（2，0）由 x+1=3，得 x=4，B（4，3）8y=ax2+bx3 经过A、B 两点，a=，b=设直线 AB 与y 轴交E，则 E，（0，1）PCy 轴，ACP=AEOsinACP=sinAEO=式为 y= x2 x3则点 P（m，m2（2）由（1）知，抛物线的新m3）m+1（ m2 m3）= m2+m+4= （m1）2+已知直线 AB：y= x+1，则点 C（m， m+1）PC=RtPCD 中，PD=PCsinACP= （m1）2+ =（m1）2+PD 长的最大值为：如图，分别过点 D、

38、B 作 DFPC，BGPC，垂足分别为 F、G在 RtPDF 中，DF=PD= （m22m8）又BG=4m，=当=时，m= ；当=时，m=11（2012孝感）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 是，a0）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交C，三个交点的坐标分别为 A（1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求抛物线的式及顶点 D 的坐标；（2）若 P 为线段 BD 上的一个动点，过点P 作 PMx 轴M，求四边形 PMAC 面积的最大值和此时P 点的坐标；（3）若 P 为抛物线在第一象限上的一个动点，过点 P 作PQAC 交 x 轴Q当点 P 的坐标为时，四边形 PQAC

39、 是平行四边形；当点 P 的坐标为时，四边形 PQAC 是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 过点C（0，3）当 x=0 时，c=3又抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（1，0），B（3，0），抛物线的式为：y=x2+2x+3 又y=x2+2x+3，y=（x1）2+4，顶点 D 的坐标是（1，4）（2）设直线BD 的式为 y=kx+n（k0）直线 y=kx+n 过点 B（3，0），D（1，4），直线 BD 的式：y=2x+6，P 点段 BD 上，因此，设点 P 坐标为（m，2m+6）又PMx 轴M，PM=2m+6，OM=m，又A（1，0），C（3，

40、0）OA=1，OC=39（2m+6+3）m=m2+m+ =（m ）2+设四边形 PMAC 面积为S，则 S= OAOC+ （PM+OC）OM= ×，13，当 m= 时，四边形 PMAC 面积的最大值为此时，P 点坐标是（ ，）（3）：（2，3）；（，）*注：以下给出解题简要过程，原题并无此要求*四边形 PQAC 是平行四边形，如右图所示过点P 作PEx 轴E，易证AOCQEP，yP=PE=CO=3又CPx 轴，则点 C（0，3）与点 P 关于对称轴 x=1 对称，xP=2P（2，3）四边形 PQAC 是等腰梯形，如右图所示设 P（m，n），P 点在抛物线上，则有 n=m2+2m+3过

41、 P 点作PEx 轴E，则 PE=n在 RtOAC 中，OA=1，OC=3，AC=，tanCAO=3，cosCAO=；PQCA，tanPQE=tanCAO=3，QE= n，PQ=n过点 Q 作QMPC，交 ACM，则四边形 PCMQ 为平行四边形，QAM 为等腰三角形再过点 Q 作 QNACN则有：CM=PQ=n，AN=AM= （ACCM）=（1 n），AQ=5（1 n）又 AQ=AO+OQ=1+（m n），5（1 n）=1+（m n），化简得：n=3 m；又P 点在抛物线上，有 n=m2+2m+3，m2+2m+3=3m，化简得：m2m=0，m1=0（舍去），m2=m=，n=3 m=，P（，）

42、12（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 是菱形，顶点 A、C、D 均在坐标轴上，且AB=5，sinB= （1）求过 A、C、D 三点的抛物线的式；2式为 y1=mx+n，（1）中抛物线的式为 y2=ax +bx+c，求当（2）记直线 AB 的y1y2 时，自变量 x 的取值范围；（3）设直线 AB 与（1）中抛物线的另一个交点为 E，P 点为抛物线上 A、E 两点之间的一个动点，当 P 点在何处时，PAE 的面积最大？并求出面积的最大值解：（1）四边形 ABCD 是菱形，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD= ；RtOCD 中，OC=CDsinD=

43、4，OD=3；OA=ADOD=2，即：A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）、D（3，0）；式为：y=a（x+2）（x3），得：2×（3）a=4，a= ；抛物线：y= x2+ x+4设抛物线的2（2）由 A（2，0）、B（5，4）得直线 AB：y1= x ；由（1）得：y2= x + x+4，则：，：，；由图可知：当 y1y2 时，2x510（3）SAPE= AEh，当P 到直线AB 的距离最远时，SABC 最大；若设直线 LAB，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点 P；设直线 L：y= x+b，当直线 L 与抛物线有且只有一个交点时， x+b= x2+ x+4，且=

44、0；求得：b=，即直线 L：y= x+；可得点 P（ ， ）由（2）得：E（5，），则直线 PE：y=x+9；则点 F（，0），AF=OA+OF=；PAE 的最大值：SPAE=SPAF+SAEF= ××（+ ）=综上所述，当 P（ ， ）时，PAE 的面积最大，为13（2012凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B两点，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，并与 x 轴交于另一点 C（点 C 点A 的右侧），点 P是抛物线上一动点（1）求抛物线的式及点 C 的坐标；（2）若点 P 在第二象限内，过点 P 作 PD轴于

45、 D，交 AB线段 PE 最长？此时 PE 等于多少？E当点P 运动到什么位置时，（3）如果平行于 x 轴的动直线l 与抛物线交Q，与直线 AB 交N，点M 为 OA 的中点，那么是否这样的直线l，使得MON 是等腰三角形？若，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，A（4，0），B（0，4）抛物线 y=x2+bx+c 经过A、B 两点，可得，抛物线式为 y=x23x+4令 y=0，得x23x+4=0，x1=4，x2=1，C（1，0）（2）如答图 1 所示，设D（t，0）OA=OB，BAO=45°，E（t，t），P

46、（t，t23t+4）222PE=yPyE=t 3t+4t=t 4t=（t+2） +4，当 t=2 时，线段 PE 的长度有最大值 4，此时 P（2，6）（3）如答图 2 所示，过 N 点作 NHx 轴H设 OH=m（m0），OA=OB，BAO=45°，NH=AH=4m，yQ=4m又 M 为 OA 中点，MH=2mMON 为等腰三角形：2若 MN=ON，则 H 为底边 OM 的中点，m=1，yQ=4m=3由xQ 3xQ+4=3，xQ=，点 Q 坐标为（，3）或（，3）；若 MN=OM=2，则在 RtMNH 中，根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即 22=（4m）2+（2m）2，化

47、简得 m26m+8=0，：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）2yQ=2，由xQ 3xQ+4=2，xQ=，点 Q 坐标为（，2）或（，2）；若 ON=OM=2，则在 RtNOH 中，根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即 22=（4m）2+m2，化简得 m24m+6=0，=80，此时不这样的直线 l，使得MON 为等腰三角形综上所述，这样的直线 l，使得MON 为等腰三角形所求 Q 点的坐标为（，3）或（，3）或（，2）或（，2）14（2012恩施州）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0），C（2，3）两点，与 y 轴交N其顶点为 D（1）抛物线及直线 AC 的

48、函数式；11（2）设点 M（3，m），求使 MN+MD 的值最小时 m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EFBD 交抛物线F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值解：（1）由抛物线 y=x2+bx+c 过点A（1，0）及 C（2，3）得，故抛物线为y=x2+2x+3，又设直线为 y=kx+n 过点 A（1，0）及 C（2，3）得，故直线 AC 为 y=x+1；，（2）作N 点关于直线 x=3 的

49、对称点N，则 N（6，3），由（1）得 D（1，4），故直线 DN的函数式为y= x+，当 M（3，m）在直线 DN上时，MN+MD 的值最小，则 m= ×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）点 E 在直线 AC 上，设E（x，x+1），当点 E段 AC 上时，点 F 在点E 上方，则F（x，x+3），F 在抛物线上，x+3=x2+2x+3，x=0 或 x=1（舍去）E（0，1）；当点 E段 AC（或 CA）延长线上时，点 F 在点 E 下方，则 F（x，x1）由F 在抛物线上x1=x2+2x+3，x=或 x=E（，）或（，）综上，满足条件的点 E 为 E（0，1）

50、、（，）或（，）；（4）一：过点 P 作 PQx 轴交 ACQ；过点 C 作CGx 轴G，如图 1设 Q（x，x+1），则 P（x，x2+2x+3）PQ=（x2+2x+3）（x1）=x2+x+2PQAG= （x2+x+2）×3= （x ）2+又SAPC=SAPQ+SCPQ=面积的最大值为，二：过点 P 作PQx 轴交ACQ，交x 轴H；过点 C 作CGx 轴G，如图 2，设 Q（x，x+1），则 P（x，x2+2x+3）（x+1）（x2+2x+3）+ （x2+2x+3+3）（2x） ×3×3又SAPC=SAPH+S 直角梯形 PHGCSAGC= x2+ x+3= （x ）2+APC 的面积