2022年2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题10代数综合问题

1、专题 10：代数综合问题1. （ 2021 广东佛山 10 分） 规律是数学争辩的重要内容之一中学数学中争辩的规律主要有一些特定的规章，符号 数 及其运算规律， 图形的数值特点和位置关系特点等方面请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：(1) 写特别数 a 用整数 n 表示的式子.(2) 写出有理数 b 用整数 m和整数 n 表示的式子.(3) 函数的争辩中, 应关注 y 随 x 变化而变化的数值规律 课本里争辩函数图象的特点实际上也是为了说明函数的数值规律 由表看出,当x 的取值从 0 开头每增加 1 个单位时, y 的值依次增加1, 3,5.请回答：当 x 的取值从 0 开头每增加 1 个

2、单位时, y 的值变化规律是什么？2当 x 的取值从 0 开头每增加 1 个单位时, y 的值变化规律是什么？n【答案】 解：（ 1） n 是任意整数,就表示任意一个奇数的式子是：2n+1.（2）有理数b= mn（n0）.（ 3）当 x 的取值从 0 开头每增加 1 个单位时,列表如下：2x i011325.y i0.yi+1 yi1443454474944114.下面对函数 y=x 2 的某种数值变化规律进行初步争辩：x i012345.y i01491625.yi+1 yi1357911.222119425可编辑资料 - - - 欢迎下载12345nnnnn1491625n2n 2n2n2

3、n2357911n2n 2n2n2n2故当 x 的取值从0 开头每增加 1 个单位时, y 的值依次增加21 ， 344，5 2i 441 .当 x 的取值从 0 开头每增加 1 个单位时,列表如下：nx i0.y i0.yi+1 yi1n 2.故当 x 的取值从 0 开头每增加 1 个单位时, y 的值依次增加nn21 ， 3n2，5 2i1 .n2n2【考点】 分类归纳（数字的变化类） ,二次函数的性质,实数.【分析】（1）n 是任意整数,偶数是能被2 整除的数,就偶数可以表示为2n,由于偶数与奇数相差 1,所以奇数可以表示为2n+1.（2）依据有理数是整数与分数的统称,而全部的整数都可以

4、写成整数的形式,据此可以得到答案.（3）依据图表运算出相应的数值后即可看出y 随着 x 的变化而变化的规律.222. （ 2021 广东梅州 10 分）（ 1）已知一元二次方程x +px+q=0（ p 4q0）的两根为 x 1，x2.求证： x1+x2= p, x1.x2=q2（2）已知抛物线y=x +px+q 与 x 轴交于 A，B 两点,且过点（ 1, 1）,设线段 AB的长为d,当 p 为何值时, d2取得最小值,并求出最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载2【答案】（ 1）证明： a=1, b=p, c=q, p 4q0, xxb =p, xxc =q .12a12a2（2）解：把（

5、1, 1）代入 y=x +px+q 得 p q=2,即 q=p 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载设抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴交于 A，B 的坐标分别为（ x1, 0），（ x2, 0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载d=|x 1 x 2| ,222222d=（ x1 x2） =（ x1+x2） 4 x 1.x2=p 4q=p 4p+8=（ p2） +4.2当 p=2 时, d的最小值是 4.【考点】 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,抛物线与 x 轴的交点, 曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值.【分析】（ 1）依据一元二次方程根与系数的关系可直接证得.【教材中没

6、有元二次方程根与系数的关系可先依据求根公式得出x1 ，x2 的值, 再求出两根的和与积即可】可编辑资料 - - - 欢迎下载2（ 2）把点（ 1, 1）代入抛物线的解析式,再由d=|x 1 x2 | 可得 d关于 p 的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载关系式,应用二次函数的最值原理即可得出结论.3. （ 2021 广东湛江 12 分） 先阅读懂得下面的例题,再按要求解答以下问题：2例题：解一元二次不等式x 4 02解：x 4=（ x+2 ）（x 2）2x 4 0 可化为（x+2 ）（ x 2） 0由有理数的乘法法就“两数相乘,同号得正”,得解不等式组,得x 2, 解不等式组,得x 2,（

7、x+2）（x 2） 0 的解集为 x 2 或 x 2,2即一元二次不等式x 4 0 的解集为 x2 或 x 22（1） 一元二次不等式x 16 0 的解集为.（2） 分式不等式的解集为.2（3） 解一元二次不等式2x 3x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载【答案】 解：（ 1） x4 或 x 4.（ 2） x 3 或 x1.2（ 3） 2x 3x=x（ 2x 3）22x 3x0 可化为 x （ 2x 3） 0由有理数的乘法法就“两数相乘,异号得负”,得可编辑资料 - - - 欢迎下载x > 02x3 < 0 或x < 0 .2x3 > 0可编辑资料 - - - 欢迎下

8、载解不等式组,得0 x 3 ,解不等式组,无解.2不等式 2x2 3x 0 的解集为 0 x 3 .2【考点】 有理数的乘法法就,一元一次不等式组的应用.【分析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后依据有理数的乘法法就“两数相乘,同号得正”化为两个一元一次不等式组求解即可.（2） 依据有理数的除法法就“两数相除,同号得正”, 可以得到其分子， 分母同号,从而转化为两个一元一次不等式组求解即可.（3） 将一元二次不等式的左边因式分解后,有理数的乘法法就“两数相乘,异号得可编辑资料 - - - 欢迎下载负”,化为两个一元一次不等式组求解即可.4. （ 2021 贵州黔西南14 分） 问题：已知方

9、程根分别是已知方程根的2 倍.x 2 +x1=0 ,求一个一元二次方程,使它的可编辑资料 - - - 欢迎下载解：设所求方程的根为y,就 y=2x ,所以x= y2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载把 x=y 代入已知方程,得22yy+1=022可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载化简,得：y 2 +2y4=0可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载故所求方程为y 2 +2y4=0可编辑资料 - - - 欢迎下载这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.请阅读材料供应的“换根法”求新方程（要求：把所

10、求方程化成一般形式）可编辑资料 - - - 欢迎下载（1） 已知方程就所求方程为：.x 2 +x2=0 ,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（2） 已知关于 x 的一元二次方程ax2 +bx+c=0a0 有两个不等于零的实数根,求一个一可编辑资料 - - - 欢迎下载元二方程,使它的根分别是已知方程的倒数.可编辑资料 - - - 欢迎下载2【答案】 解：（ 1） y y2=0.（ 2）设所求方程的根为y,就 y1（ x 0）,于是 xx1（ y 0）.y可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢

11、迎下载把 x12代入方程 ax +bx+c=0,得 a21+b1 +c=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载yyy2去分母,得 a+by+cy =0.如 c=0 ,有 ax2 +bx=0 ,可得有一个解为x=0,与已知不符,不符合题意.c0.可编辑资料 - - - 欢迎下载2所求方程为cy【考点】 一元二次方程的应用.+by+a=0（c0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载【分析】（ 1）设所求方程的根为y,就 y= x 所以 x= y.2把 x= y 代入已知方程,得y y 2=0.（2）依据所给的材料,设所求方程的根为y,再表示出 x,代入原方程,整理即得出所求的方程.5.（ 2021

12、江苏南京 9 分） “？”的摸索下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅.题目： 某村方案建造如以下图的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2：1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m 的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是？288m 2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,就长为 2xm , 依据题意,得 x.2x=288 解这个方程,得x1=-12 （不合题意,舍去） , x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28 （ m）,宽为 12+1+1=14 （ m）答：当温室的长为28m,宽为 14m 时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m 2我的

13、结果也正确小明发觉他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中划了一条横线,并打开了一个“？”结果为何正确呢？（1） 请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程： 变化一下会怎样（2） 如图, 矩形 ABCD在矩形 ABCD的内部, ABAB, ADAD, 且AD：AB=2： 1,设 AB与 AB， BC与 BC， CD与 CD， DA与 DA之间的距离分别为a，b，c，可编辑资料 - - - 欢迎下载d,要使矩形 ABCD矩形 ABCD, a，b，c，d 应中意什么条件？请说明理由AcdDA'D'B'C'BbaC【答案】 解：（ 1）小明没有说明矩形蔬菜种植

14、区域的长与宽之比为2： 1 的理由.在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,就长为 2xm”前补充以下过程： 设温室的宽为 ym,就长为 2ym.就矩形蔬菜种植区域的宽为（y 1 1）m,长为（ 2y 31） m.可编辑资料 - - - 欢迎下载 2y312y4 2y11y2,矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2： 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 2） a+c b+d =2 .理由如下：要使矩形 ABCD矩形 ABCD,就要 A DAD ,即A BABADac2ABbd1,2ABac2ABbd1即,即 a+c b+d =2 .【考点】 一元二次方程的应用（几何问题）,相像多边形的性质,比例的性质

15、.【分析】（ 1）依据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1 的理由, 所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可.（2）由使矩形 ABCD矩形 ABCD,利用相像多边形的性质,可得可编辑资料 - - - 欢迎下载A DADA BAB,然后利用比例的性质.可编辑资料 - - - 欢迎下载6.（ 2021 江苏盐城 12 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载学问迁移：当 a0 且 x0 时,由于 xa 2 0 , 所以 x2axa 0 , 从而x可编辑资料 - - - 欢迎下载xa 2a 当x可编辑资料 - - - 欢迎下载xa 时取等号 . 记函数 yxa a x0

16、, x0 , 由上述结论可知：当xa 时, 该函数可编辑资料 - - - 欢迎下载有最小值为 2a .直 接 应 用 ： 已 知 函 数y1x x0 与 函 数 y21 x x0) ,就 当 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载时, y1y2 取得最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载为.可编辑资料 - - - 欢迎下载变形应用： 已知函数y1x1x1) 与函数 y2x124 x1 , 求y2 的最小y1可编辑资料 - - - 欢迎下载值, 并指出取得该最小值时相应的 x 的值 .实际应用： 已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用, 共 360元

17、.二是燃油费 , 每千米为 1.6元.三是折旧费 , 它与路程的平方成正比, 比例系数为 0.001 . 设该汽车一次运输的路程为 x 千米 ,求当 x 为多少时 , 该汽车平均每千米的运输成本 最低？最低是多少元？【答案】 解： 直接应用： 1. 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载2变形应用： y2 x14 x14 x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载y1x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载 y2 y1有最小值为 244 .可编辑资料 - - - 欢迎下载当 x14 ,即 x1 时取得该最小值.实际应用： 设该汽车平均每千米的运输成本为y 元,就0.001x21.6x360360

18、360000可编辑资料 - - - 欢迎下载y0.001x1.60.001 x1.6可编辑资料 - - - 欢迎下载xxx,当 x360000600 千米 时,该汽车平均每千米的运输成本y 最低,可编辑资料 - - - 欢迎下载最低成本为 0.00123600001.62.8 元.【考点】 二次函数的应用,几何不等式.【分析】 直接运用：可以直接套用题意所给的结论,即可得出结果：可编辑资料 - - - 欢迎下载有最小值为 2a ,函数 yxa a x0, x0 , 由上述结论可知： 当 xa 时, 该函数可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 函 数y1xx0 与 函

19、 数 y21 x x0 , 就 当 x11 时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载y1y2 取得最小值为2 12 .可编辑资料 - - - 欢迎下载变形运用： 先得出y2 的表达式, 然后将 xy11看做一个整体, 再运用所给结论即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载实际运用： 设该汽车平均每千米的运输成本为y 元,就可表示出平均每千米的运输成本,利用所可编辑资料 - - - 欢迎下载给的结论即可得出答案.7. （ 2021 四川内江 12 分） 假如方程 x2pxq0 的两个根是x1 , x2 ,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载x1x2p, x1.x2q,

20、 请依据以上结论,解决以下问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（1） 已知关于 x 的方程 x2mxn0, n0, 求出一个一元二次方程,使它的两个根分可编辑资料 - - - 欢迎下载别是已知方程两根的倒数.可编辑资料 - - - 欢迎下载（2） 已知 a，b 中意 a 215a50, b 215 ba b50 , 求的值 .b a可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（3） 已知 a，b，c 中意abc0, abc16 求正数 c 的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载【答案】 解：（ 1）设关于

21、 x 的方程 x2mxn0, n0 的两根为x 1 , x2 ,就有：可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载xxm, x .xn ,且由已知所求方程的两根为1 , 1可编辑资料 - - - 欢迎下载1212x 1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 11x1x2m1111,.可编辑资料 - - - 欢迎下载x 1x2x1 x2nx1x22m1x1 x2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载所求方程为xxnn0 ,即nxmx10n0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 2） a，b 中意 a 215a50, b 215b50,可编辑资料

22、- - - 欢迎下载 a，b 是方程x215x50 的两根. ab15, ab5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载aba2b222ab2abab1522247 .可编辑资料 - - - 欢迎下载baababab516可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 3）abc0, abc16 且 c0 abc, ab.c可编辑资料 - - - 欢迎下载2 a，b 是一元二次方程 x2c x160 c c0 的两个根,可编辑资料 - - - 欢迎下载2代简,得 cxc x160 c0.可编辑资料 - - - 欢迎下载2又此方程必有实数根,此方程的0,即 c24 c 160 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载

23、c c3430 .可编辑资料 - - - 欢迎下载又 c0 c3430 . c4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载正数 c 的最小值为 4.【考点】 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,代数式化简.可编辑资料 - - - 欢迎下载【分析】（ 1）设方程 x2mxn0, n0 的两根为x1 , x2 ,得出11m,可编辑资料 - - - 欢迎下载x 1x2n可编辑资料 - - - 欢迎下载111,再依据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,即可求出答可编辑资料 - - - 欢迎下载x1x2n可编辑资料 - - - 欢迎下载案.（ 2）依据 a，b 中意 a 215a50, b2

24、15b50 ,得出 a，b 是一元二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载x215x50 的两个根,由ab15, ab5 ,即可求出 ab 的值.ba可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 3）依据abc0, abc16 ,得出a bc, ab16, a，b 是一元二次方程c可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载cx 2c2 x160 的两个根,再依据0 ,即可求出 c 的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载8. （ 2021 山东济宁 8 分） 有四张外形，大小和质地相同的卡片A，B，C，D,正面分别写有一个正多边形（全部正多边形的边

25、长相等）,把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上,从 中随机抽取一张（不放回）,接着再随机抽取一张可编辑资料 - - - 欢迎下载（1） 请你用画树形图或列表的方法列举出可能显现的全部结果.（2） 假如在 （ 1）中各种结果被选中的可能性相同,求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率.（3） 如两种正多边形构成平面镶嵌,p，q 表示这两种正多边形的个数,x，y 表示对应正多边形的每个内角的度数,就有方程px+qy=360 ,求每种平面镶嵌中p，q 的值【答案】 解：（ 1）画树形图如下：全部显现的结果共有12 种.（ 2）两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的情形有4 种： AB, AD, BA, D

26、A,P（两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌）= 41 .123（ 3）当正三角形和正方形构成平面镶嵌时,就有60p+90q=360,即 2p+3q=12.p，q 是正整数, p= 3, q=2.当正三角形和六边形构成平面镶嵌时,就有60p+120q=360,即 p+2q=6.p，q 是正整数, p=4, q=1 或 p=2, q=2.【考点】 列表法和树状图法,概率,多边形内角和定理,平面镶嵌（密铺）.【分析】（ 1）列表或画树状图即可得到全部的可能情形.（ 2）依据平面镶嵌的定义, 能构成平面镶嵌的多边形有正三角形与正方形,正三角形与正六边形,然后依据概率公式列式运算即可得解.（3）对两种平面

27、镶嵌的情形,依据方程代入数据整理,再依据p，q 都是整数解答.9. （ 2021 浙江湖州 10 分） 为进一步建设秀美，宜居的生态环境,某村欲购买甲，乙，丙三种树美化村庄,已知甲，乙丙三种树的价格之比为2： 2：3,甲种树每棵200 元,现方案用 210000 元资金,购买这三种树共1000 棵可编辑资料 - - - 欢迎下载（1） 求乙，丙两种树每棵各多少元？（2） 如购买甲种树的棵树是乙种树的2 倍,恰好用完方案资金,求这三种树各能购买多少棵？（3） 如又增加了 10120 元的购树款,在购买总棵树不变的前提下,求丙种树最多可以购买多少棵？【答案】 解：（ 1）已知甲，乙丙三种树的价格之

28、比为2： 2： 3,甲种树每棵 200 元,乙种树每棵200 元,丙种树每棵 3 ×200=300（元） .2（2） 设购买乙种树 x 棵,就购买甲种树2x 棵,丙种树（ 1000 3x）棵 依据题意： 200·2x 200x 300（ 1000 3x） =210000,解得 x=30.2x=600, 1000 3x=100,答：能购买甲种树600 棵,乙种树 300 棵,丙种树 100 棵.（3） 设购买丙种树 y 棵,就甲，乙两种树共（ 1000 y）棵, 依据题意得： 200（ 1000 y） 300y210000 10120, 解得： y201.2 .y为正整数,y

29、 最大为 201.答：丙种树最多可以购买 201 棵.【考点】 一元一次方程和一元一次不等式的应用.【分析】（ 1）利用已知甲，乙丙三种树的价格之比为 2： 2：3,甲种树每棵 200 元,即可求出乙，丙两种树每棵钱数.（ 2）设购买乙种树 x 棵,就购买甲种树 2x 棵,丙种树（ 1000-3x ）棵,利用（ 1）中所求树木价格以及现方案用 210000 元资金购买这三种树共 1000 棵,得出等式方程, 求出即可.（ 3）设购买丙种树 y 棵,就甲，乙两种树共（ 1000 y）棵,依据题意列不等式,求出即可.10. （ 2021 内蒙古赤峰 14 分） 阅读材料：（1） 对于任意两个数 a

30、，b 的大小比较,有下面的方法： 当 ab0 时,确定有 ab .当 ab0 时,确定有 ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载当 ab0 时,确定有 ab 反过来也成立因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”（2） 对于比较两个正数a，b 的大小时,我们仍可以用它们的平方进行比较：可编辑资料 - - - 欢迎下载 a2b 2abab , ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（ a2b2 ）与（ ab ）的符号相同可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当 a2b2 0 时, ab 0,得 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载222当 ab =0 时, ab =0,得 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载当 a2b 0 时, ab 0,得 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载解决以下实际问题：（1） 课堂上,老师让同学们制作几种几何体,张丽同学用了3 张 A4 纸, 7 张 B5 纸.李明同学用了 2 张 A4 纸,8 张 B5 纸 设每张 A4 纸的面积为 x,每张 B5 纸的面积为 y,且 x y, 张丽同学的用纸总面积为W1,李明同学的用纸总面积为W2回答以下问题：W1=（用 x，y 的式子表示）W2=（用 x，y 的式子表示）请你分析谁用的纸面积最大（2） 如图