与三角形的内切圆有关的几个结论

1、与三角形的内切圆有关的几个结论 郑建元 (浙江省余姚市实验学校 315400) 三角形与其内切圆是直线与圆位置关系的重要内容，运用切线、面积等知识可得到一些重要的结论，特别是当三角形是直角三角形时，结论尤为丰富如果我们平时解题的时候，不满足于就题论题，而是向更深的层次去探究题目的内在规律这样不仅可以培养创造思维能力，而且可以免受题海之困扰，从而大大提高学习效率例1 如图，在RtABC中，C90°，BCa，ACb，ABc，ABC的内心为O，O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，O的半径为r.求证：r.证明：连接OE，OF.O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，OFC=OEC=9

2、0°，AD=AF，BD=BE，CF=CE又C=90°四边形OECF是正方形，CE=OE=r，r =CE=.于是我们得到结论：“直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半.”由于r =CE=（abc）c，2r =abc，于是上述结论又可叙述为：“直角三角形内切圆半径等于它的半周长与斜边的差.”或"直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差.”例 如图，在ABC中，BCa，ACb，ABc，ABC的内心为O，O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，O的半径为r.求证：SABC( a + b +c) r证明：连接OE、OF、OD、OA、OB、OC.O与AB

3、，BC，CA分别相切于D、E、F，ODAB，OEBC，OFAC，SABCSBOC + SAOC + SAOB(a r +b r +c r)( a + b +c) r于是我们得到结论：“三角形面积等于它的半周长与内切圆半径的积.由于r ，所以又有结论：“三角形内切圆半径等于三角形的面积与半周长的商.”特别是当三角形是直角三角形时，r .例3 如图，在RtABC中，C90°，BCa，ACb，ABc，ABC的内心为O，O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，O的半径为r.求证：SABCc r+r2证明：连接OE、OF、OD、OA、OB、OC. O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，O

4、DAB，OEBC，OFAC，AD=AF，BD=BE，CF=CEOFC=OEC=C=90°，CF=CE，四边形OECF是正方形，CE=CF=OE=OF=rSABC( a + b +c) r =( a + b )r+c r，又(a + b )r =(AF+FC +BE+EC) r=(AD+ r +BD+ r) r=(c+2r ) r =c r+r2，SABCc r+r2例4 如图，在RtABC中，C90°，ABC的内心为O，O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F.求证：AD×BD证明：O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，AD=AF，BD=BE，CF=CE.设B

5、Ca，ACb，ABc，则AD=，BD=AD×BD=×=.C=90°，AD×BD 例5 如图，O为ABC的内心，OEBC于E，且AB·AC=2BE·EC.求证：A =90°.分析：由于O为ABC的内心，不妨作出ABC的内切圆，则由切线长定理和勾股定理逆定理可证证明：设ABC的内切圆O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F，BEx，CFy，ADzBDBEx，CE=CFy，AF=ADzAB·AC=2BE·EC，(x +z)( y+ z)=2 x yAB2+AC2=(x +z) 2+( y+ z) 2=(x +

6、z) （y+ z）2+2(x +z)( y+ z) =(x y) 2 +4x y=(x + y) 2 =BC2A =90°练习第1题1.如图，ABC中，内切圆O和边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若DEF55°，则A的度数为 AOB第2题xy第3题2如图，在直角，坐标系中A、B的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则RtABO内心的坐标是 3.如图，在RtABC中，C=90°，AB=5，O与RtABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若O的半径r2，则RtABC的面积为 4.若ABC的周长为18cm，面积为18cm2，则ABC的内切圆的半径为 5. 在RtABC中