第十章_凯恩方程

1、第十章 凯恩方程 东北大学理学院应用力学研究所李永强应用力学研究所 李永强第2页第十章 凯恩方程 10.1 偏速度和偏角速度偏速度和偏角速度 10.2 凯恩方程凯恩方程 1. 同同Appell思路一样构造独立的速度变量思路一样构造独立的速度变量(伪速度伪速度)代替不独立的速度变量；代替不独立的速度变量；2. 引入偏速度引入偏速度(partial velocity)，偏角速度，偏角速度(partial angular velocity), 广义主广义主动力动力(Generalized active forces) ,广义惯性力广义惯性力(Generalized inertia forces),

2、运动方程由形式简单的广义主动力，广义惯性力表示运动方程由形式简单的广义主动力，广义惯性力表示3. 广义主动力，广义惯性力便于计算机计算，步骤程序化广义主动力，广义惯性力便于计算机计算，步骤程序化 应用力学研究所 李永强第3页10.1 偏速度和偏角速度 具有具有 n 个质点的非完整系统，受到个质点的非完整系统，受到 d 个完整约束和个完整约束和 g 个非完整约束，个非完整约束，则系统的独立的坐标变分数（即系统的自由度）为则系统的独立的坐标变分数（即系统的自由度）为: f = 3n-d-g 系统中每一个质点系统中每一个质点 Mi 的矢径可用广义坐标表示，即的矢径可用广义坐标表示，即 tqqqrrk

3、ii,21 2 1 ,n, ,i则质点的速度则质点的速度 trqqrrvikjjjiii1 2 1 ,n, ,i令令 ， ，则上式可写成，则上式可写成: jiijqrutruii001ikjjijiiuqurv式中式中 和和 通常是广义坐标通常是广义坐标 qj 和时间和时间 t 的函数。的函数。 iju0iu应用力学研究所 李永强第4页10.1 偏速度和偏角速度对于刚体系统，类似地可对第对于刚体系统，类似地可对第 i 个刚体的瞬时角速度表示为个刚体的瞬时角速度表示为:01ikjjijiq式中式中 和和 通常是广义坐标通常是广义坐标 qj 和时间和时间 t 的函数。的函数。 ij0i根据伪速度的

4、定义，系统的广义速度可以用根据伪速度的定义，系统的广义速度可以用 f 个独立的伪速度个独立的伪速度 表示为表示为 jfjjhhq, 01, 2 1 k , ,j则则 0101, 011,01, 01,01ifiikjijjfkjijjikjjfjijikjjijiiuuuuhuhuhhuuqurv 其中其中 kjjijkjijjiqrhuhu1,1,01, 00ikjijjiuuhu 称为质点系中第称为质点系中第 i 个质点相对于第个质点相对于第个独立的速度变量个独立的速度变量 的的偏速度偏速度。 和和 一般为广义坐标一般为广义坐标 qj 和时间和时间 t 的函数。的函数。 iuiu0iu应用

5、力学研究所 李永强第5页10.1 偏速度和偏角速度类似可得类似可得 0101ifiikjjijiq式中称式中称 为刚体系中第为刚体系中第 i 个刚体相对于第个刚体相对于第个独立的速度变量个独立的速度变量 的偏角的偏角速度。速度。 和和 一般为广义坐标一般为广义坐标 qj 和时间和时间 t 的函数。的函数。 ii0i 对于完整系统，由于广义速度对于完整系统，由于广义速度 ( j=1 , 2 , , k )彼此独立，因此可以彼此独立，因此可以取伪速度取伪速度 为广义速度，即为广义速度，即 ( = j = 1 , 2 , , k )，则相对独，则相对独立广义速度的偏速度立广义速度的偏速度 jq jq

6、 jiijiqruu应用力学研究所 李永强第6页10.1 偏速度和偏角速度注意：注意： 偏速度和偏角速度是关于广义坐标偏速度和偏角速度是关于广义坐标 qj 和时间和时间 t 的矢量函数，是相的矢量函数，是相对于独立速度而言的，这里的独立速度可以是独立的广义速度对于独立速度而言的，这里的独立速度可以是独立的广义速度 ，也可以是预先选定的的独立的伪速度也可以是预先选定的的独立的伪速度 。由于独立速度变量的选。由于独立速度变量的选取不是唯一的，因此对于同一质点或刚体可以有不同形式的偏速度取不是唯一的，因此对于同一质点或刚体可以有不同形式的偏速度和偏角速度。但是对于质点系中每一个质点和偏角速度。但是对

7、于质点系中每一个质点 Mi 和刚体系中每一个刚和刚体系中每一个刚体体 Di ，都分别有与系统自由度数相同数目的偏速度和偏角速度。因，都分别有与系统自由度数相同数目的偏速度和偏角速度。因此，在讲偏速度和偏角速度时，必须指明是哪个质点或刚体相对应此，在讲偏速度和偏角速度时，必须指明是哪个质点或刚体相对应哪个独立速度的偏速度或偏角速度。哪个独立速度的偏速度或偏角速度。 jq 应用力学研究所 李永强第7页10.1 偏速度和偏角速度例例10-1 设一质点设一质点 A 在在 Oxy 平面内沿固定的抛物平面内沿固定的抛物线轨道运动，轨道方程为线轨道运动，轨道方程为 ，其中，其中a为为常数，求偏速度。常数，求

8、偏速度。 22axy 解：该系统为单自由度完整系统。质点解：该系统为单自由度完整系统。质点A的速度投影的速度投影 应满足限制条件应满足限制条件 yx ,xaxy 现取现取 y 为独立广义坐标，则为独立广义坐标，则 为独立广义速度，质点为独立广义速度，质点 A 的速度可表示为的速度可表示为 y yjiaxj yiaxyj yi xvA1相对于独立速度相对于独立速度 的偏速度为的偏速度为 y jiaxuAy1应用力学研究所 李永强第8页10.1 偏速度和偏角速度例例10-2 求图示双摆系统的偏速度。求图示双摆系统的偏速度。 解：取解：取 1和和 2为独立广义坐标，则为独立广义坐标，则 和和 均为独

9、立均为独立速度。作单位矢量速度。作单位矢量 和和 分别垂直于分别垂直于OA和和AB。则质点则质点A和和B的速度可分别表示为的速度可分别表示为: 121e2e111elvA222111elelvvvABAB可见，质点可见，质点 A 对于对于 和和 的偏速度分别为的偏速度分别为: 12111eluA02Au而质点而质点 B 的两个偏速度分别是的两个偏速度分别是 :111eluB222eluB应用力学研究所 李永强第9页10.1 偏速度和偏角速度考虑到考虑到 和和 jie111sincosjie222sincos则可将则可将 和和 用用 表示为表示为:AvBvji,jilelvA1111111sin

10、cosjiljilelelvB22221111222111sincossincos因而，点因而，点 A 和点和点 B 对于独立速度对于独立速度 和和 的偏角速度成为的偏角速度成为: 12jiluA111sincos102AujiluB111sincos1jiluB222sincos2应用力学研究所 李永强第10页10.1 偏速度和偏角速度例例10-3 行星齿轮行星齿轮半径为半径为r，由连杆，由连杆OA带动沿固定带动沿固定的的大齿轮的的大齿轮滚动。轮滚动。轮的半径为的半径为R。试求偏速度。试求偏速度与偏角速度。与偏角速度。 解：系统为单自由度完整系统，选连杆的转角解：系统为单自由度完整系统，选连

11、杆的转角 为广义坐为广义坐标，则点标，则点 A 的速度可写成的速度可写成 jiljlilvA cos sin cos sin式中式中 的矢量系数就是点的矢量系数就是点 A 对于对于 的偏速度，即的偏速度，即 jiluA cos sin其中其中l = R+r。以。以 表示连杆表示连杆OA的角速度，有的角速度，有 1k 1故连杆对于的偏角速度为故连杆对于的偏角速度为 k1应用力学研究所 李永强第11页10.1 偏速度和偏角速度令行星齿轮令行星齿轮的角速度为的角速度为 ，则，则 rrR 于是齿轮于是齿轮的角速度矢的角速度矢 可写为可写为: 2krrRk 2故齿轮故齿轮对于对于 的偏角速度为的偏角速度

12、为: krrR 2应用力学研究所 李永强第12页10.1 偏速度和偏角速度例例10-4 杆长为杆长为2l 的直杆的直杆 AB 作平面运动，假设其一作平面运动，假设其一端端 A 的速度始终指向另一端的速度始终指向另一端 B ，试写出其中点，试写出其中点 C 的的偏速度。偏速度。 解：取解：取xA , yA 和和为广义坐标，其约束方程为为广义坐标，其约束方程为: tanAAxy是一非完整约束，故系统为两个自由度。是一非完整约束，故系统为两个自由度。C 点的速度为点的速度为:jlxilxjlyilxjyixvAAAACCC costan sin cos sin若取若取 Ax 1 2应用力学研究所 李

13、永强第13页10.1 偏速度和偏角速度则则 C 点的偏速度点的偏速度: jiuxC tanjliluC cos sin注意到注意到: sincosAAAyxv可以取为伪速度，若取可以取为伪速度，若取 Av1l2则有则有 iuxCjuC 可见伪速度的选择不是惟一的，偏速度将因伪速度的选择不同而可见伪速度的选择不是惟一的，偏速度将因伪速度的选择不同而有不同的形式。有不同的形式。 应用力学研究所 李永强第14页10.2 凯恩方程 凯恩方程凯恩方程 广义主动力和广义惯性力的计算广义主动力和广义惯性力的计算应用力学研究所 李永强第15页10.2 凯恩方程 凯恩方程从动力学普遍方程从动力学普遍方程 01n

14、iiiiirrmF 出发导出凯恩方程出发导出凯恩方程 设有设有 n 个质点组成的质点系，具有个质点组成的质点系，具有 f 个自由度。选取个自由度。选取 f 个伪速度个伪速度 ( =1 , 2 , , f )，使系统中每一质点的速度用伪速度表示，即，使系统中每一质点的速度用伪速度表示，即 01ifiiuuv 2 1 ,n, ,i由此得由此得: tuturifiiddd01 2 1 ,n, ,i相对于伪速度相对于伪速度 ，引入伪坐标，引入伪坐标 ，则第，则第 i 个质点的虚位移个质点的虚位移 可以可以用独立的伪坐标的变分来表示，即用独立的伪坐标的变分来表示，即 irfiiur1 2 1 ,n, ,

15、i应用力学研究所 李永强第16页10.2 凯恩方程 凯恩方程将上式代入动力学普遍方程，得将上式代入动力学普遍方程，得: 011nifiiiiurmF 变换求和次序，得变换求和次序，得:011 fniiiiiiurmuF 令令 niiiuFK1niiiiurmK1* 则则 01*fKK由于由于是彼此独立的，于是有是彼此独立的，于是有 0*KK 2 1 ,f, , 凯恩方程凯恩方程 式中式中 和和 分别称为系统对应于第分别称为系统对应于第个独立速度的个独立速度的广义主动力广义主动力和和广广义惯性力义惯性力。 K*K应用力学研究所 李永强第17页10.2 凯恩方程 凯恩方程 将这将这 f 个方程与个

16、方程与 g 个非完整约束方程联立求解，则可得到个非完整约束方程联立求解，则可得到 f+g 个个关于广义坐标关于广义坐标qj(t)的方程组，求其解即可确定系统的运动规律。由此可的方程组，求其解即可确定系统的运动规律。由此可见，利用凯恩方法建立系统的动力学方程，关键是计算系统的广义主见，利用凯恩方法建立系统的动力学方程，关键是计算系统的广义主动力和广义惯性力。动力和广义惯性力。 0*KK 2 1 ,f, ,凯恩方程凯恩方程 应用力学研究所 李永强第18页10.2 凯恩方程 广义主动力和广义惯性力的计算 广义主动力广义主动力 广义惯性力广义惯性力 应用力学研究所 李永强第19页10.2 凯恩方程 广

17、义主动力和广义惯性力的计算_ 广义主动力 对于完整系统，如果取广义速度对于完整系统，如果取广义速度 为独立速度为独立速度 ( =j)，由上节，由上节可知，偏速度可知，偏速度 ，于是广义主动力，于是广义主动力 jq jiijqrujnijiijQqrFK1 2 1 ,g, ,j 也就是说，广义主动力即为拉格朗日方程中系统对应于广义坐标的广也就是说，广义主动力即为拉格朗日方程中系统对应于广义坐标的广义力。对照第二类拉格朗日方程，根据凯恩方程给出的结果，广义惯性力义力。对照第二类拉格朗日方程，根据凯恩方程给出的结果，广义惯性力可由系统的动能表示，即可由系统的动能表示，即 jjjqTqTtKdd* 2

18、 1 ,g, ,j因此，对于完整系统，凯恩方程与第二类拉格朗日方程是等价的。因此，对于完整系统，凯恩方程与第二类拉格朗日方程是等价的。 应用力学研究所 李永强第20页10.2 凯恩方程 广义主动力和广义惯性力的计算_ 广义主动力对于一般的质点系，广义主动力可表述为：对于一般的质点系，广义主动力可表述为： 质点系中每一质点上作用的主动力与该点对应于某一独立速度质点系中每一质点上作用的主动力与该点对应于某一独立速度的偏速度的标积之和，称为系统对应于该独立速度的广义主动力。的偏速度的标积之和，称为系统对应于该独立速度的广义主动力。 以以K表示，即表示，即 niiiuFK1 2 1 ,f, , 对于刚

19、体，广义主动力可表述为：作用于刚体简化中心上的主矢和主对于刚体，广义主动力可表述为：作用于刚体简化中心上的主矢和主矩，分别与该点对应于某一独立速度的偏速度与偏角速度的标识之和，矩，分别与该点对应于某一独立速度的偏速度与偏角速度的标识之和，称为刚体对应于该独立速度的广义主动力。假设称为刚体对应于该独立速度的广义主动力。假设O点为刚体的简化中心，点为刚体的简化中心，则有则有 OOOMuRK 2 1 ,f, ,应用力学研究所 李永强第21页10.2 凯恩方程 广义主动力和广义惯性力的计算_ 广义主动力现进行证明：现进行证明： 当刚体作一般运动时，其上任一质点当刚体作一般运动时，其上任一质点 i 的速

20、度的速度 OOOMuRK 2 1 ,f, ,iOirvv式中式中 表示简化中心的速度，表示简化中心的速度， 表示刚体的角速度，表示刚体的角速度， 表示质点表示质点i相对相对简化中心简化中心 O 点的矢径。点的矢径。 Ovir 、 和和 可用伪速度表示，即可用伪速度表示，即 Oviv01OfOOuuv01ifiiuuv01f将上式代入将上式代入 iOirvv比较等式两边比较等式两边 前面的系数，可得前面的系数，可得 iOiruu 2 1 ,f, ,应用力学研究所 李永强第22页10.2 凯恩方程 广义主动力和广义惯性力的计算_ 广义主动力iOiruu 2 1 ,f, , 上式表明，刚体上第上式表

21、明，刚体上第 i 个质点相对第个质点相对第个独立速度的偏速度，可用刚体个独立速度的偏速度，可用刚体简化中心简化中心O点和刚体相对第点和刚体相对第个独立速度的偏速度和偏角速度表示。将上式个独立速度的偏速度和偏角速度表示。将上式代入广义主动力的表达式，则有代入广义主动力的表达式，则有 niiiOniiniiiniOiniiOiniiiFruFrFuFruFuFK111111则则 OOOMuRK 2 1 ,f, ,若系统由若系统由N个刚体组成，则个刚体组成，则 NiiONiOOiiiMuRK11 2 1 ,f, ,应用力学研究所 李永强第23页 在计算惯性力时，需对各点的加速度进行分析，然后在每个质

22、点上加在计算惯性力时，需对各点的加速度进行分析，然后在每个质点上加上惯性力，算出每一质点上作用的惯性力与该点对应于某一独立速度的偏上惯性力，算出每一质点上作用的惯性力与该点对应于某一独立速度的偏速度的标积之和，即为系统对应于该独立速度的广义惯性力。速度的标积之和，即为系统对应于该独立速度的广义惯性力。 对于刚体，与计算广义主动力的推导方法相同，得对于刚体，与计算广义主动力的推导方法相同，得 10.2 凯恩方程 广义主动力和广义惯性力的计算_ 广义惯性力 对于质点系，可由下式计算出对于质点系，可由下式计算出 niiiiurmK1* 2 1 ,f, , niiiiOniiiniiiiamruamu

23、amK111*若将简化中心选在刚体的质心若将简化中心选在刚体的质心 C 上，则上，则 COuuCniiiaMam1式中式中M为刚体的质量，为刚体的质量，aC 为质心的加速度。为质心的加速度。 应用力学研究所 李永强第24页10.2 凯恩方程 广义主动力和广义惯性力的计算_ 广义惯性力 若取质心若取质心 C 为平动坐标系的原点，则有为平动坐标系的原点，则有 iCiaaa表示刚体上第表示刚体上第 i 个质点相对于平动坐标系的加速度，个质点相对于平动坐标系的加速度， ia又因又因 ，则，则 01niiirm niiiiniiiiniCiiniiCiiniiiiamramrarmaamramr1111

24、1令令 CCaMR* niiiiCamrL1*则则 *CCCLuRK 2 1 ,f, ,同理可得整个刚体系统的广义惯性力同理可得整个刚体系统的广义惯性力 NiiCNiCCiiiLuRK1*1* 2 1 ,f, ,式中角标式中角标 Ci 表示第表示第 i 个刚体的质心。个刚体的质心。 应用力学研究所 李永强第25页10.2 凯恩方程 例例10-5 质量为质量为m，半径为，半径为 r 的均质半圆盘，在粗糙的均质半圆盘，在粗糙的水平面上摆动，设的水平面上摆动，设 ，C为半圆盘的质为半圆盘的质心。试用凯恩方程摆动的微分方程。心。试用凯恩方程摆动的微分方程。 eCO解：系统具有一个自由度，取解：系统具有

25、一个自由度，取为广义坐标，令为广义坐标，令 。 C点对应于点对应于 的偏速度为的偏速度为: jeiruC 半圆盘转动的角速度半圆盘转动的角速度 :k 半圆盘对应于半圆盘对应于 的偏角速度的偏角速度: k在半圆盘上主动力只有其重力在半圆盘上主动力只有其重力 作用，即作用，即 PjmgP质点质点C的速度的速度: 应用力学研究所 李永强第26页10.2 凯恩方程 于是系统的广义主动力于是系统的广义主动力: sinmgej ei rjmguPKCC 点的加速度点的加速度: iejeirjejeirjeirttvaCC 2 dddd则半圆盘上各点惯性力的主矢则半圆盘上各点惯性力的主矢: iejeirma

26、mRCC 2 半圆盘上各点惯性力对半圆盘上各点惯性力对 C 点的主矩点的主矩: kJkJJLCCCC 系统的广义惯性力系统的广义惯性力 : sincos2 2222* CCCCCCCCJrere-ermkkJjeiriejeirmkJuamLuRK应用力学研究所 李永强第27页10.2 凯恩方程 由凯恩方程由凯恩方程: 0* KK得得 0 sincos2 sin222 CJrere-ermmge即即 0sinsincos22222gerere-erC CCJrere-ermKmgeuPKsincos2 sin222*应用力学研究所 李永强第28页10.2 凯恩方程 例例10-6 重量为重量为

27、P 的滑块可在光滑的固定水平面的滑块可在光滑的固定水平面上滑动。半径为上滑动。半径为a、重量为、重量为Q的匀质圆柱同时在的匀质圆柱同时在滑块的斜面上滚动。已知斜面倾角为滑块的斜面上滚动。已知斜面倾角为，试写，试写出在重力作用下系统的运动方程。出在重力作用下系统的运动方程。 解：系统是两个自由度完整系统解：系统是两个自由度完整系统, 选取选取 x, s 为独立的广义坐标，则为独立的广义坐标，则 , 为独立的广义速度。为独立的广义速度。C1点的速度点的速度 x s i xvC1C1 点对于两个独立速度的偏速度分别是：点对于两个独立速度的偏速度分别是： iuxC101sCuC2点的速度：点的速度：

28、i si xvC2C2点的两个偏速度分别是：点的两个偏速度分别是： iuxC2iusC2这里这里 是沿是沿 的单位矢。的单位矢。 ixO 应用力学研究所 李永强第29页10.2 凯恩方程 滑块作平动，其角速度滑块作平动，其角速度 10，故滑块的偏角，故滑块的偏角速度也恒等于零。速度也恒等于零。 圆柱的角速度：圆柱的角速度： kas2故圆柱的两个偏角速度是：故圆柱的两个偏角速度是： 02x aks2系统对独立速度系统对独立速度 的广义主动力是：的广义主动力是： x 021ijQijPuQuPKxCxCx同理可计算出系统对独立速度同理可计算出系统对独立速度 的广义主动力是：的广义主动力是： s s

29、in21QijQuQuPKsCsCs应用力学研究所 李永强第30页10.2 凯恩方程 在计算广义惯性力以前，可先将各刚体的惯在计算广义惯性力以前，可先将各刚体的惯性力系向各自的质心简化。对于滑块，其惯性力性力系向各自的质心简化。对于滑块，其惯性力系简化为在系简化为在C1 点的一个主矢点的一个主矢: i xgPRC *1对于圆柱，其惯性力系简化为在对于圆柱，其惯性力系简化为在C2 点的一个主矢点的一个主矢: i si xgQRC *2和一个惯性力偶，其矩矢和一个惯性力偶，其矩矢: ksagQkasagQkasJLCC 21212*2应用力学研究所 李永强第31页10.2 凯恩方程 则系统对于独立速度则系统对于独立速度 的广义惯性力：