螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析-中国机械工程

1、螺旋升角对滚珠丝F副弹性变形的影响分析-姜洪奎 宋现冷 张佐营螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析姜洪奎I宋现春I张佐营21.山东建筑大学9济南,2501002.山东大学卩济南,250061摘要：考虑螺旋升角的因素建立了滚珠丝杠副的受力模型.应用微分几何理论推导了螺旋面的主 曲率并进一步分析了螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响。计算结果表明随着螺旋升角的增大. 滚珠丝杠副的法向弹性变形量也随着增大。关键词：滚珠丝杠副；螺旋而；主曲率；法截而中图分类号:TH132. 1文章编号：1004 132X(2008)09 1079 05Influence of Lead Angle on Elasti

2、c Deformation of Ball ScrewJiang Hongkui Song Xianchun1 Zhang Zuoying1. Shandong Jianzhu University .Jinan. 2000302. University of Shandong .J inan, 250061Abstract: The mechanics model of a ball screw was developed considering the factor of lead angle and the main curvature of the helical surface wa

3、s deduced using differential geometry method and the effect of lead angle on the elastic deformation was analyzed. The result shows that the normal elastic deformation of ball screw decreases with the lead angle increases.Key words: ball screw；helical surface；main curvature；normal section1079#0引言fcl

4、前滚珠丝杠副的受力和变形的力学模別 均简化为若干个承受纯轴向工作载荷的推力向心 轴承这样就忽略了螺旋升角的影响。随着滚珠丝 杠副工程直径d的增大和滚珠丝杠副转速N的提 高滚珠丝杠副的导程也越来越大螺旋升角A达 到了 18°左右，并汨现了定位精度低、可靠性差等 问题。国内外对滚珠丝杠副的弹性变形做了不少 理论研究心。本文应用微分儿何理论对螺旋滚道 面的主曲率做了理论分析和计算并进一步推导 出螺旋升角对滚珠丝杠副受力和弹性变形的影 响。这对丁研制开发高速滚珠丝杠副冇着重要的 理论指导意义。1 数学模型建立1. 1 用法向截面表示螺旋曲面3】以法向载形为双圆弧为例，建立螺旋曲面的 数学模型

5、。如图1所示，设OXYZ为固定坐标系，Z 轴与丝杠轴线一致。螺母滚道法向截面和丝杠滚 道的法截面位于坐标系(yxw 中且坐标系 OXYZ的X轴与坐标系O'X'0Z"的X"轴重合。 将坐标系OX YZ沿X轴平移距离R °,得到坐标系 (yxfYfzfo坐标系()'X'Y'Z与 ZW 之间的 夹角为螺旋升角入。收稿日期；20061124基金项目：国家口然科学基金资助项目(50675124)图1 螺母侧和丝杠侧滚道曲面的坐标系的构架螺母螺旋滚道的法向截形即母线为哥斯特偏 心圆弧其公式为乂' = Rcosm W = 0 I(

6、1)才=Rsinn e )式中R为滚道曲率半径"为滚道偏心距；“为滚道圆弧角度,0 V“ V今。动坐标系(yXfYfZf与母线坐标系()'X"*Z" 之间的转换公式为X' = X'1yz = V*cos入一2TsinA I(2)= WsinA + Z'cosA )A = aFCtan 為式中/为螺纹导程；R为滚珠丝杠公称半径。动坐标系(YXY'Z '与固定坐标系OXYZ之 间的转换公式为(3)(4)X = X + /<>Y = WZ = Z'<滚道螺旋面的方程为x = XcosOYsiQy

7、= Xsin0 +Yeo"7 . h0I"Z+石J式中*为滚珠相对于丝杠轴的旋转角度。 将式(1)、式(2)、式(3)代入式(4)得到螺母侧滚 道螺旋面方程：x = (R > + Rcosm tOcosO+ (RsinM f)siiiAsin' yx = (/?. I Rcosm F)sinO (Rsin“ 一 e)sinAcosO za =(Rsin“ e)cos入 + 务0J同理可以得到丝杠侧滚道螺旋面方程：= (Ro Rcos" + a)co"+(Rsin” 幺)sinAsinO， ys =(R° Rcos"+Js

8、in0(RsinM e)sinAcos0 zs = (Rsinw <*)cosA 4- -02兀1.2 螺旋面的主曲率的计算 将式(5)写成向量的形式为r = (Ri + Rcos” 一)cos0+(RsinM CsinAsinO(5)(6)(R> T Rcosm e)sin0 (Rsinw 幺)sin入cosO求解上式町得kn = (2F7Vf £/ /X7) i7( D/ /X；)2 4(EFnMr FGLM- F bi-FX；) /2( F _ EG)(14) 由式(14 )得；I1在区间0 V “ V兀/2时，L ： M ： ,/ = E ： F ： G不能成立所

9、以螺旋滚道面内 没冇脐点。因此接触点处冇两个不同的主方向，且 两个主方向彼此正交。求解式(14).得螺母侧滚 道曲面的主曲率如下：(15) ,_ cosAcosp2 IS + RacosR.式中/为接触点法线与中心线之间的夹角即接触角；R, 为滚珠的半径。同理丝杠侧滚道曲面的主曲率为1COS入COS0Ro + Rbcosj(16)1.3 根据赫兹理论求解滚珠螺母弹性变形量1. 3. 1滚珠与滚道而的接触弹性变形螺母侧滚道面的主曲率为1081(Rsinz/ )cosA + 上 0 Ztt(7)因为0 V " V兀/2,因此re = (R)十 Rcos” 一 F)sin0+ (Rsinz

10、/ e)sinAcos(Ro + Rcos"匕)cos+ (Rsii】“一幺)siiiAsinO(8)2nru = Rsin”cos0+RcosMsinOsinARsinusinO RcosucosOsinX Rcosz/cosA巾. = Rsin“sin0+RcosMCOsOsinARsxnucosO t RcoswsinsinA 0re9 = (Ro + Rcosm f)cos0(Rsin“ 一e)sinsiiiA (Ro + Rcow 幺)sin0 +(Rsinu e) cosOsinA 0rM lf = Rcosmcos RsinwsinsinARcos“sin0+ /?si

11、nwcos<?siriA Rsinz/cosA(9)(10)(11)(12)內=02 =痔-,1P2 =知=豆，L _COS 入 COS”知=弟=-R所以螺母侧滚道面主曲率之和为2 _ 1 _ cosAcosp PY =瓦H 一 R。+ Rgp同理丝杠侧滚道面主Illi率之和为2 _ 1 丄 cosAcos/? 卩”亠= RR R。+ RbeosB丝杠侧主Illi率和螺母侧主曲率的差值为(17)(18)(19)2cosAcosp心 + Rt cos/?(20)(2)接触椭Ml长短轴分别为#E = r(f(13)01 + P2 +代1 +02令 R' = Rq +jRcosu e、

12、R' = (Rsinu e)sinA« 根 据微分方程原理得第一类基向量如下： 竹=/+旷+ (襄尸F =灯 r =RR cosnsinA + RR"sinAsinw + -/cosAcosm6 = ru rK = R2设艸=|巾几分别求得第二类基向量 I r9 X rlt |L =sN、M = rud N、“ = /“N。将两类基向 虽代入主曲率方程得(ZrnF M)2 (knE L) (knG n) = 0式中，怂为主轴率。(21)83( 1 _ "： + 1 _ "匚)吊十爲丿式中，P为法向压力g为接触椭圆的长轴仏为接触椭圆 的短轴叨】护2

13、及EE2分别为弹性材料的泊松比和弹性 模量；系数a、°由文献5确定。(3)赫兹接触参数为#螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析-姜洪奎 宋现斥 张佐营1083#(23)1 02” +2(0】一02 )(01 因)cos2/+(0】一01 )P +。2 +。1 +因式中诩为两个接触曲而的主平面之间的夹角。蘇兹接触参数r又称为变形系数。由丁接触体为 球体，所以01 =02简化式（22）可得（4）法向弹性变形员为图2 法向载荷作用下滚珠的受力变形(24)久，根据图2所示的位移关系可得5“ = arcsin/cosA(30)式中J为由r确定的椭圆积分。将式（18）式（21）代入式（24）得

14、由式（25）和式（29）可得几= TTP1(1 一加由于螺母侧与丝杠侧的螺纹面的Illi率半径不相 同，所以两侧的接触变形也不相同。在轴向载荷F 的作用下螺悸侧与丝杠侧接触点处产生的法向 弹性变形量分别为九、几o螺母侧与丝杠侧弹性 变形量之差为$令 +（皿* 知<31）将式（22）和式（25）带入式（24）中得& =爭=其尹井+坛幻幻令+（恥心JXp ,arcsin/?cosA（32）,-1由丁滚珠、螺母和丝杠均为钢，设E =少=丄為卩（导n L匕1(26)式中下标n、s分别表示螺母侧滚道和丝杆侧滚道。1.3. 2 螺母与丝杠轴的相对位移和变形考虑不均匀丁作载荷分布的影响并根据文

15、 献6假设滚珠受到的负载沿螺旋滚道呈比例递 减。设初始滚珠受到的法向载荷为P。，滚珠所承 受载荷递减系数为则第/个滚珠受到法向载荷 为P. =aT%。总体滚珠的法向载荷与螺母受到的 轴向推力Fa之间的关系为Fa =另巾 1 Posin/3cosA（27）由于?< 1,所以式（27）可写为Fa = P（）sinj?cosA（28）1 一 7式中y为工作滚珠数。以滚珠为受力研究对象，分析法向弹性变形 少螺母相对位移的关系。如图2所示建立局部坐 标系OXYZ.取滚珠球心为坐标原点O.Y轴平行 丝杠轴线。在两侧法向接触力的作用下滚珠达到 静力平衡。因此滚珠与滚道两侧的接触点及滚珠 的几何中心三点

16、成一线，两接触点处的法向力大 小相等。在法向载荷的作用下螺母滚道面与丝杠滚 道面间由于法向弹性接触变形所产生的弹牲变形 量为几，苴值为210GPa、“ = 0. 3将式(32)简化为& = 1.759 X 10-吒(皿)寺厶+ S亞卄LlSanFf 3 Misin "/Jcos1 'A(mm)(33)1 _ a'由式（33）可以看出主要影响因素有螺旋 升角、接触角以及滚珠承受载荷分布而口 & Ai 载荷几之间的关系是非线性的。滚珠丝杠制在停 顿和转向时都会产生A就使滚珠丝杠的运动产 生一定滞后，将直接影响到滚珠丝杠副传动的定 位桔度，其非线性特征也使控

17、制系统的稳定性和 精度很难保证。因此滚珠丝杠副的设计中，要合理 考虑螺旋升角和接触角的参数。2 计算结果分析以40-40滚珠丝杠副的螺悸滚道而为例，设 R = 3 215mm、Ro = 20mm、力=40mm、入= 17°39'、滚珠的半径& = 2976mm、接触角0 = 38°、偏心距e = 0. 168mm、滚珠承受载荷衰减系 数为a = 0.8o2. 1 滚道接触面两侧的主曲率和接触角之间的 关系根据式（20）式（23）,计算丝杠侧与螺母侧 的接触点处的主Illi率和之差，汁算结果如图3和 图4所示。图3屮螺母侧的变形系数随着接触角 的増大而增大而丝

18、杠侧的变形系数反而随着接 触角的増大而减少螺母侧的变形系数始终小于厲“ =§npi +(29)螺母与丝杠滚道面的法向弹性位移将引起 螺母在轴线方向上相对于丝杠有一轴向弹性位移丝杠侧的变形系数。图4屮螺旋滚道两侧的主|11| 率之差随着接触角增大而减小.当接触角等于 9 0 ° 两侧接触点处的主曲率之差为零。滚珠两侧 的接触点不同的曲率特征使滚珠运动状态不对 称，容易产生陀螺运动。因此合理增大接触角冇利 丁改善滚珠的运动状态，从而提高滚珠丝杠副的 性能。图3 两侧接触点的变形系数与接触角的关系0 8 6 loo0.6 630507090接触角p/C)图4 两侧接触点处的主曲率

19、和之差与接触角的关系2.2 接触面两侧弹性变形与接触角的关系 根据式(26)可得l759X10T(&y 厶一仏，“厶P2/3 同时根据丁值,计算两侧弹 ana,性变形之差随着接触角的变化而发生变化的情由丁高速转动而产生的惯性力所以对丁高速滚 珠丝杠副的设计参数两侧的刚度均需作刚度 计算。2.3 轴向弹性变形与接触角的关系根据式(33)得出轴向弹性变形量与接触角 的关系如图6所示。由图6可知随着接触角的增 大轴向弹性变形的值不断减少。当接触角”接近 40°时轴向弹性变形址的趋势变化较平缓因此 合理增大接触角会减小滚珠丝杠副的变形虽提 高滚珠丝杠副的定位粘度。轴向弹性变形量与接触

20、角的关系2.4 螺旋升角与轴向弹性变形量的关系由式(33)知，螺旋升角也是影响滚道接触曲 率半径的因素，因此冇必要分析螺旋升角对滚珠 两侧接触变形的影响。设滚珠丝杠副小滚珠与滚 道之间的接触角为38°在4°36°的范围内改 变滚珠丝杠副的螺旋升角得出螺旋升角与轴向 变形最的关系如图7所乐。tn iY2)、(g55.05.15.34. 9 |1I11412202836螺旋升角0/(°)#o 5 0 5 0 5 0图5 螺母侧与丝杠侧弹性 变形系数之差与接触角的关系图7 轴向弹性变形量与螺旋升角的关系由图7可以看出，轴向弹性变形量随着螺旋 升角的增大而减小。

21、在螺旋升角4°10°的范围 内，法向弹性位移变化不明显；在螺旋升角10 36°的范围内法向弹性位移系数由521 X10'5减 小到4. 90X105.变化幅度较大。螺旋升角的增大 同时减少了螺母与丝杠轴之间的弹性位移使定 位精度增加。因此滚珠丝杠副的导程增大有利于 提高滚珠丝杠副的性能。1085从图5可以看出，由于螺母侧的弹性变形系 数均小于丝杠侧的弹性变形系数即螺母侧刚度 要大于丝杠侧刚度，因此在滚珠丝杠的疲劳失效 和强度汁算时，要以丝杠侧接触点的塑性变形为 准o考虑到滚珠丝杠副高速运转时螺母侧要承受3 结论本文根据微分儿何原理计算出滚珠丝杠副的 滚道而

22、Illi率，比不考虑螺旋升角的计算Illi率半径 更加准确根据计算的Illi率结果计算出的弹性接#冇限元分析中边界条件对模态影响的研究李志旌 李小清 陈学东等有限元分析中边界条件对模态影响的研究李志鑫I李小清I陈学东3 陈鹿民21.华中科技大学国家数字制造装备与技术重点实验室，武汉，4300742. 郑州轻工业学院，郑州，450002摘要：在对结构进行模态分析时边界条件的施加方式会直接影响分析结果的正确性。对结构件在 两种典型边界条件下的模态计算给予了详细的分析.采用试验模态分析方法.对结构件进行了 司有特性 的辨识验证了施加不同的边界条件会导致分析结果出现很大差别。对结构件进行了重分析结合模

23、态 试验，对结构件边界条件进行了辨识，得出了正确边界条件的施加方式。关键词：冇限元分析;边界条件；重分析；模态试验中图分类号:TB122文章编号：1004 132X(2008)09 1083041 he Study on Boundary Conditions to the Effect of Mode Analysis in FEALi Zhixin收稿日期：20061128基金项目：国家武点棊础研究发展计划资助项目(2OO3CB716206)；国家白然科学基金资助项目(50605025)触变形量同时考虑了螺旋升角的影响；考虑载荷 分布不均的影响，建立了螺母与丝杠滚道面的法 向弹性位移的求解

24、模型；螺旋升角对滚珠丝杠冈'I 度的影响并不大适当增大滚珠丝杠副的导程有 利于提高滚珠丝杠副的定位精度。研究结果对大 导程重载滚珠丝杠副的设计和理论计算都冇很好 的参考价值。参考文献： Mei Xuesong, Masaorni Tsutsumi. Tao Tao, et al. Study on the Load Distribution of Ball Screws with ErrorsJ . Mechanism and Machine Theory, 2003» 38(11):1257-1269.2 杜平安.滚珠直旋副滚道弹性接触分析J.电子科 Li Xiaoqing

25、1 Chen Xued on g1,2 Chen Lu min21. State Key Laboratory of Digital Manufacturing Equipment and Technology?Huazhong University of Science and Technology Wuhan 4300742. Zhengzhou University of Light Industry, Zhengzhou, 450002Abstract: During the period of carrying on lhe mode analysis, how to deal wi

26、th the boundary conditions will influence the accurate analytical result directly. The theory discussion is carried on in the paper. Two typical boundary conditions were carried on the structure and the mode nnalysis was im- pleme nted in detail * too. There have much more different between them. The test mode was carried on,