同济第六版高等数学教案第12章微分方程

1、第十二章微分方程教学目的：1了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4 会用降阶法解下列微分方程：y(n)f(x)，yf(x,y)和yf(y,y)5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7 求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8 会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9 会解微分

2、方程组(或方程组)解决一些简单的应用问题。教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程y(n)f(x)，yf(x,y)和yf(y,y)3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。4、欧拉方程1 / 41121微分方程的基本概念9 / 4i函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事

3、物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方解设所求曲线的方程为yy(x)根据导数的几何意义可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)dy2xdx此外未知函数yy(x)还应满足下列条件(2)x1时y2简记为y|x12把(1)式两端积分彳#(称为微分方程的通解)y2xdx即yx2C其中C是任

4、意常数把条件“x1时y2”代入式得212Cyx 1 2的解 )C1把C1代入(3)式得所求曲线方程(称为微分方程满足条件yx21例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度20 4m/s 2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式会0.4dt2(4)此外未知函数ss(t)还应满足下列条件20间记为s|t0=0dts|t0=20(5)把(4)式两端积分一次(6)再积分一次02t2CitC2这里CiC2都是任意常数把条件v|t020代入

5、(6)得20Ci把条件S|t00代入得0C2把CiC2的值代入(6)及式得04t20(8)02t220t(9)在(8)式中令v0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间0450(s)再把t50代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m)解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米04并且s|t0=0s|t0=20把等式s04两端积分一次得04tCi即v04tCi(Ci是任意常数)再积分一次02t2CitC2(CiC2者BC是任意常数)由v|t020得20Ci于是v04t20由s|t0是s02t220t得t50(s)于是列车在制动阶段行驶的路程025022050500(m)几个概

6、念叫微分方程微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程叫微分方程的阶微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数x3yx2y4xy3x2y4yI0y12y5ysin2x严10一般n阶微分方程F(xyyy(n)0y(n)f(xyyy(n1) 叫做该微微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上Fx (x)(x)(n) (x) 0那么函数 y (x) 就叫做微分方程F(x y

7、 y通解 如果微分方程的解中含有任意常数的解叫做微分方程的通解初始条件用于确定通解中任意常数的条件x x0 时 y y0 y y 0一般写成y x x 0 yc y x x 0 YQ特解确定了通解中的任意常数以后y (n) ) 0 在区间 I 上的解且任意常数的个数与微分方程的阶数相同称为初始条件如就得到微分方程的特解即不含任意常数的解这样初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程yf(xy)满足初始条件yxx0yo的解的问题记为yf(x,y)yxxoyo积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线例3验证函数xCicosktC2sinkt是微分方程d2xd

8、t2k2x 0的解解求所给函数的导数dx dtkCisin kt kC 2 cosktd2xdt2k2Ocoskt k 2G sinktk2(Gcoskt C 2sinkt)将dx及x的表达式代入所给方程dtk2(CicosktC2sinkt)k2(CicosktC2Sinkt)0k2x 0因此所给函数是所给方程的解这表明函数xCicosktC2sinkt满足方程号dt2例4已知函数xCicosktC2sinkt(k0)是微分方程吗k2x0的通解dt2求满足初始条件x|t0Ax|t00的特解解由条件x|t0A及xCicosktC2sinkt得CA再由条件x1100及xkCisinktkC2co

9、skt得C20把C、C2的值代入xCicosktC2sinkt中得xAcoskti22可分离变量的微分方程观察与分析i求微分方程y2x的通解为此把方程两边积分得yx2C般地方程y f(x)的通解为y f(x)dx C(此处积分后不再加任意常数)2求微分方程y2xy2的通解因为y是未知的所以积分2xy2dx无法进行方程两边直接积分不能求出通解为求通解可将方程变为J2dy2xdx两边积分得1x2 Cy可以验证函数y21八一是原方程的通解x般地如果一阶C微分方程y(x,y)能写成g(y)dyf(x)dx形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y)F(x)C由方程G(y)F(x)C所确定的隐

10、函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(xy)dxQ(xy)dy0在这种方程中变量x与y是对称的若把x看作自变量、y看作未知函数则当Q(x,y)0时有dyP(x,y)dxQ(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数则当P(x,y)0时有dxQ(x,y)dyP(x,y)可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y)的形式就是说能把微分方程写成一端只含y的函数和dy另一端只含x的函数和dx那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？y2xy是yidy2xdx(2)3x25xy0是

11、dy(3x25x)dx(3)(x 2 y2)dx xydy=0(4)y 1 x y 2 xy 2 是(5)y 10 xy 是不是y (1 x)(1 y2)10 ydy 10 xdx(6) yXi不是yx可分离变量的微分方程的解法第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式第二步两端积分g(y)dyf(x)dx设积分后得G(y)F(x)C第三步求出由 G(y) F(x) C所确定的隐函数y (x) 或 x (y)G(y) F(x) C y (x) 或 x (y) 都是方程的通解其中 G(y) F(x) C 称为隐式 ( 通 ) 解例1求微分方程dy2xy的通解dx分离变量后得解此方程为

12、可分离变量方程y1.八.dy2xdx两边积分得1 .dy2xdxy即ln|y|x2C1从而yex2C1eC1ex2C1 eC1 仍是任意常数把它记作C便得所给方程的通解2yCe解此方程为可分离变量方程分离变量后得1.-dy2xdxy两边积分得1.八.dy2xdxy即ln|y|x2InCxv2从而yCe例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0时铀的含量为M0求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dMdt由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程# / 41dMMdt其中(0)是常数 前的曲面号表示当增加时M单调减少即dMdt由题意初

13、始条件为M|t0M将方程分离变量得dtdMIM两边积分得dM()dtMInMtInC也即MCet由初始条件得M)Ce0C所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MMOe例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系解设降落伞下落速度为v(t)降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)根据牛顿第二运动定律Fma得函数v(t)应满足的方程为一dv一,mdtmgkv初始条件为v|to0方程分离变量得dvdtmgkvm两边积分得dvdtmgkvmvmgln(mgkv)一mk.0em(0ek01将初始条件v|t00代入通解得mg0T于是降落伞

14、下落速度与时间的函数关系为mg(1k例4求微分方程dy1xy2xy2一一，.的通解dx解方程可化为dxy2)分离变量得(1x)dx两边积分得于是原方程的通解为例4有高为1m(1x)dx即arctanyjxytan(2x2x0)的半球形容器水从它的底部小孔流出器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度2小孔横截面面积为1cm开始时谷h随时间t变化的规律解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算QdV-0.62S、2gh其中062为流量系数S为孔口横截面面积g为重力加速度2-现在孔口横截面面积S1cm故dVdt0.6272gh或dV0.62V2ghdt另一方面设在微小时间间隔tt出内水

15、面高度由h降至hdh(dh0)则又可得到其中r是时吊vr2dht的水面半径右端置负号是由于dh0而dV0的缘故又因r,1002(100h)2200hh213 /所以dV(200hh2)dh通过比较得到0.62.2ghdt(200hh2)dh这就是未知函数hh(t)应满足的微分方程还应满足下列初始条件此外开始时容器内的水是满的所以未知函数hh(t)ht0100将方程0.62商hdt(200hh2)dh分离变量后得dt0.62、(200h2，2gh2)dh两端积分得(200h 20.62, 2g3h2)d(驷h20.62*2g3其中C是任意常数由初始条件得0.623100251002)C(4000

16、00200000)141050.62 .,2g 3)0.62,2g15因此(7105103h23h2)0.622g上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系 12 3齐次方程齐次方程如果一阶微分方程dyf(x,y)中的函数f(x,y)可写成dxY的函数即f(x,y)(丫)则称这方程为齐次方程xdy y r 2 x2 dx x下列方程哪些是齐次方程？是齐次方程dy y dx xxyyJy2x2015 /(2八1xy.Jy不是齐次方程dydx1y2(x2y2)dxxydy0是齐次方程dyx2y2dxdyx_yxydxyx不是齐次方dy 0(4)(2xy4)dx(xy1)d

17、y0(3(2xsh3ych)dx3xch,2xshy3ych-dyx_,_xdxy3xchxdy2xy4dxxy1是齐次方程xxxdy2由、dx3xx中令u y即y ux有dx x x齐次方程的解法在齐次方程dy()du(U)u7分离变量得dudx(u)ux两端积分得dudx(u)ux求出积分后再用y代替u便得所给齐次方程的通解X例1解方程y2x2dyxydydxdx解原方程可写成dyy2交dxxyx2_y1x因此原方程是齐次方程令义u则xdyduyuxuxdxdx于是原方程变为假Kx即x电。dxu1分离变量得(1-)dudxux两边积分得uln|u|Cln|x|或写成ln|xu|uCu便得所

18、给方程的通解以乂代上式中的xln|Cy1/例2有旋转曲面形状的凹镜假设由旋转轴上一点。发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行求这旋转曲面的方程解设此凹镜是由xOy面上曲线Lyy(x)(y0)绕x轴旋转而成光源在原点在L上任取一点M(x,y)作L的切线交x轴于A点。发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线由光学及几何原理可以证明OAOM因为OAAPOPPMcotOP、xy而OM,x2y2于是得微分方程一xx2y2y整理得dxxj(2)2i这是齐次方程dyyy问题归结为解齐次方程dx-h(x)21dyyy令v即xyv得vydvvJv21ydy即ydv.,v21dy分离变量得dyxv21y两边

19、积分得ln(vJv21)InyInC,vWv21v)2v21,C耳吆1C2C以yvx代入上式得y22C(xC)这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为y2z22C(xC-)这就是所求的旋转曲面方程例3设河边点O的正对岸为点A河宽OAh两岸为平行直线水流速度为a有一鸭子从点A游向点O设鸭子的游速为b(ba)且鸭子游动方向始终朝着点O求鸭子游过的迹线的方程例3设一条河的两岸为平行直线水流速度为a有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O设鸭子的游速为b(ba)且鸭子游动方向始终朝着点。已知OAh求鸭子游过的迹线的方程解取O为坐标原点河岸朝顺水方向为x轴y轴指向对岸设在时刻t鸭子位于

20、点P(x,y)17 /则鸭子运动速度故有dxvxdy一vy另一方面vab(a,0)b(yy2)vbyy2)因止匕dxvxdy2vy粉即dybj(_x)2dx问题归结为解齐次方程dy令-y即xyu得duy；”dybdu得一？分离变量.u21.u21一dyby两边积分得arshuInC)x代入上式并整理y1六(Cy)2Ci(Cy)b以hx|y。代入上式得C故鸭子游过的轨迹方程为ab0yh代入arshub(lnyalnC)后的整理过程arsh-b(lnylnC)shln(Cy)2(Cy)b(Cy)axb(Cy)a1b1ba(Cy)a白cy)2C119 /12.4 线性微分方程线性方程线性方程方程dy

21、P(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程dxdyP(x)y Q(x) 的齐次线性方程Q(x)0则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程dyP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程dxF列方程各是什么类型方程?(x 2)dy ydyy ， y 0 是齐次线性方程dx x(2) 3x25x5y0y3x25x是非齐次线性方程yycosxesinx是非齐次线性方程(4) dy10xy不是线性方程dx32(5) (yl)2dyx30dy-八-20或dx(yr)-不是线性方程dxdx(y1)2dyx3齐次线性方程的解法齐次线性方程dyP(x)y0是变量可分离方程分离变量后得dxdyP(x)dxy两边积分

22、得ln|y|P(x)dxC1yCeP(x)dx(CeCi)(积分中不再加任意常数)例1求方程(x2)学y的通解dx解这是齐次线性方程分离变量得# / 41y C(x 1) 2dydxyx2两边积分得ln|y|ln|x2|InC方程的通解为yC(x2)非齐次线性方程的解法将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x)把P(x)dxyu(x)e设想成非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得P(x)dxP(x)dx_,P(x)dx-u(x)eu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x)化简彳导u(x)Q(x)eP(x)dxP(x)dxu(x)Q(x)edxC于是非齐次线性方程的通解为P(x)d

23、xP(x)dxyeQ(x)edxC或yCeP(x)dxeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和例2求方程曳也(x1)5的通解dxx1解这是一个非齐次线性方程先求对应的齐次线性方程半空0的通解dxx1分离变量得dy2dxyx1两边积分得lny21n(x1)InC齐次线性方程的通解为用常数变易法把C换成u即令yu(x1)2代入所给非齐次线性方程u (x 1)1)2u(x1)2(xu (x11)251)22u(xx123 / 41两边积分得2u3(x1)再把上式代入yu(x1)2,一一，,、一一-中即得所求方程的通解为3y(

24、x俨2(x1)2C解这里P(x)2-2Q(x)(x1)x1因为P(x)dx(-2-)dx2ln(x1)P(x)dxee21n(x1)(x1)2P(x)dxQ(x)edx所以通解为5(x1)2(x1)2dx(x1)2dx-(x331)万y e P(x)dx Q(x)e3CP(x)dxdxC(x1)22(x1)3例3有一个电路如图所示其中电源电动势为EEmsint(Ee都是常数)电阻R和电感LL型由回路电压定律得出dt都是常量求电流i(t)解由电学知道当电流变化时L上有感应电动势ELdiiR0dt即diRiEdtLL把EEmsint代入上式得RiEm一初始条件为i|to0其中方程电RiEmsint

25、为非齐次线性方程dtLLP(t)RQ(t)Emsint由通解公式得R.一Rdti(t)eP(t)dtQ(t)ePdtdtCeT(ELmsinteLdtC)27 / 41EmLeRtL(sintedtC)2Em2i(RsintR22l2Lcost)CeRtLLEmF-2L2L cos t)其中C为任意常数将初始条件i|to0代入通解因此所求函数i(t)为LEm-tEmi(t).L-Em1(Rsin、伯努利R程2l2R2l2伯努利方程方程dxP(x)yQ(x)yn(n01)叫做伯努利方程F列方程是什么类型方程?,八1_dyy1(12x)y4是伯努利方程dx33(2)dyyxy5dyyxy5是伯努利

26、方程dxdx(3)y区y-yxy1是伯努利方程yxx(4)dy2xy4x是线性方程不是伯努利方程dx伯努利方程的解法以yn除方程的两边得ynddxP(x)y1nQ(x)令z y 1n得线性方程dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) ux例4求方程dy y a(ln x)y2的通解dx x.2 一解以y除方程的两端得2 dydxaln x1、.-(-y-)1 dx x1则上述方程成为dz 1dx xz1 aln xaln x这是一个线性方程它的通解为zMC2(lnx)2以y1代z得所求方程的通解为yMC|(lnx)21经过变量代换某些方程可以化为变量可分离的方程或化为已知其求解方法的方程

27、例5解方程学一dxxy解若把所给方程变形为dxdy即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解但这里用变量代换来解所给方程令xyu则原方程化为1年1即du心dxudxu分离变量得urdudxu1两端积分得uln|u1|xln|C|以uxy代入上式得y ln|x y 1| ln|C|或 x Cey y 1125全微分方程全微分方程一个一阶微分方程写成P(x,y)dxQ(x,y)dy0形式后如果它的左端恰好是某一个函数uu(x,y)的全微分du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy那么方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0就叫做全微分方程这里一P(x,y)Q(x,y)xy而方程可写为du(

28、x,y)0全微分方程的判定若P(x,y)、Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数且PQyx则方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0是全微分方程全微分方程的通解若方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0是全微分方程且du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy则u(x,y)Cxy即P(x,y)dxQ(x0,y)dxC(xqyo)G)x0y0是方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0的通解例1求解(5x43xy2y3)dx(3x2y3xy2y2)dy0解这里上6xy3y2-Qyx所以这是全微分方程取(x。，y0)(0,0)有u(x,y);(5x43xy2y3)dx;y2dyx52x2y2xy3

29、y3于是方程的通解为2233-Xyyc积分因子右方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0不是全微分方程但存在一函数(x,y)(x,y)0)使方程(x,y)P(x,y)dx(x,y)Q(x,y)dy0是全微分方程则函数(x,y)叫做方程P(x,y)dxQ(x,y)dy。的积分因子例2通过观察求方程的积分因子并求其通解：(1)ydxxdy0(2)(1xy)ydx(1xy)xdy0解(1)方程ydxxdy0不是全微分方程因为ydxxdy2y所以12是方程ydxxdy0的积分因子于是yydx2xdy0是全微分方程所给方程的通解为-Cy2y(2)方程(1xy)ydx(1xy)xdy0不是全微分方程将方程的

30、各项重新合并得(ydxxdy)xy(ydxxdy)0再把它改写成d(xy)x2y2(-dx立)0xy这时容易看出行为积分因子乘以该积分因子后方程就变为(xy)d(xy)dxdy。(xy)2xy积分得通解ln|-|InC即xyyCe对我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程yP(x)yQ(x)可以验证(x)eP(X)dX是一阶线性方程yP(x)yQ(x)的一个积分因子在一阶线性方程的两边乘以(x)eP(x)dx得 12 6可降阶的高阶微分方程29 / 41P(x)dxP(x)dxP(x)dxyeyP(x)eQ(x)e即yeP(x)dxyeP(x)dxQ(x)eP(x)dx亦即ye P(x)dx

31、P(x)dxQ(x)e两边积分便得通解P(x)dxP(x)dxyeQ(x)edxC或yeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC例3用积分因子求dy2xy4x的通解dx解方程的积分因子为2xdx(x)e2x方程两边乘以e得2xex2y4xex2x即(e2y)4xe._2于是exy4xexdx2exC24xexdx2Cex212 6 可降阶的高阶微分方程31 / 4141 / 41、y(n)f(x)型的微分方程解法积分n次y(n1)f(x)dxC1y(n2)f(X)dxC1dxC2例1求微分方程ye2xcosx的通解解对所给方程接连积分三次得2e2xsinxC14excosxC1xC2y1e2x

32、sinx1C1x2C?xC382这就是所给方程的通解2x1e2sinx 2C12x1ecosx2Gx C21e2xsinxC1x2C2xC3这就是所给方程的通解e例2质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动设力F仅是时间t的函数FF(t)在开始时刻t0时F(0)F0随着时间t的增大此力F均匀地减小直到tT时F(T)0如果开始时质点位于原点且初速度为零求这质点的运动规律解设xx(t)表示在时刻t时质点的位置根据牛顿第二定律质点运动的微分方程为m吟F(t)dt2由题设力F随t增大而均匀地减小且t0时F(0)F0所以F(t)F0kt又当tT时F(T)0从而F(t)FO(1T)于是质点运动的微分方

33、程又写为/m(1T)其初始条件为x|t00dxi0dt0把微分方程两边积分/日得dxFo(tdtm再积分一次得X：上GtC2Im2由初始条件x|t00dxlt0得ClC20于是所求质点的运动规律为x且(1t2止)m26T7解设xx(t)表不在时刻t时质点的位置根据牛顿第二定律质点运动的微分方程为mxF(t)由题设F(t)是线性函数且过点(0F0)和(T0)Ft1即F(t)F0(1|)F。T于是质点运动的微分方程又写为xm1f)其初始条件为x|t00x|t00把微分方程两边积分得F0(t枭C1再积分一次由初始条件x|to0x得CiC20于是所求质点的运动规律为F0(t2)0tTm26T二、yf(

34、xy)化为型的微分方程解法设yp则方程Pf(xp)设pf(xp)的通解为p(xCi)则dx(x,C1)原方程的通解为y(xG)dxC2例3求微分方程(1x2)y2xy满足初始条件y|xo1y|xo3的特解解所给方程是yf(xy)型的设yP代入方程并分离变量后dp、匕P两边积分得2dxInlln(1x2)C即PlpCi(1x2)(CieC)由条件yylx3得Ci3所以oy3(1x2)两边再积分得yx33xC2又由条件yxo1得C21于是所求的特解为yx33x1试问该绳索在平衡例4设有一均匀、柔软的绳索状态时两端固定绳索仅受重力的作用而下垂是怎样的曲线？三、yf(yy)型的微分方程解法设yp有dp

35、dpdydpyp-dxdydxdy原方程化为dp,p)dy设方程pdpf(y,p)的通解为yp(yCi)则原方程的通解为dydy(y,Ci)例5求微分yy解设y py 2 0的通解pdpdyxC2代入方程得在y 0、dp约去p并分离变量得dpln|p|ln|y| Incdyp两边积分得pCy或yCy(Cc)再分离变量并两边积分便得原方程的通解为ln|y|CxIncyCieCx(Ci例5求微分yyyCi)20的通解设ypdpypJdy则原方程化为p200p0时dp1P0ydy1dy1ygyyCiy0从而原方程的通解为CddxyC2e1GeCX例6一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向

36、地面到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力)求它落127高阶线性微分方程、二阶线性微分方程举例例1设有一个弹簧上端固定下端挂一个质量为 m的物体取x轴铅直向下并取物体的平衡位置为坐标原点给物体一个初始速度x是t的函数x x(t)设弹簧的弹性系数为Vo 0后物体在平衡位置附近作上下振动在振动过程中物体的位置c则恢复力f cx又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比比例系数为由牛顿第二定律得cxdxdtm d2x dt八移项并记2n则上式化为这就是在有阻尼的情况下2ndxk2x0dt物体自由振动的微分方程如果振动物体还受到铅直扰力FHsin的作用而前整dx22nmkxhsinptH其中h

37、m:这就是强迫振动的微分方程2设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路其中L、及C为常数电源电动势是时间t的函数EEmsint这里Em及也是常数设电路中的电流为i(电容器极板上的电量为t)电学知道dq；ucELeCLdtdt根据回路电压定律得q(t)两极板间的电压为Uc自感电动势为El由ELdiqRi0dtC.2.9即LC驾RCduucEnsintdt2出cm或写成(2ucEmsint20cLCduc2due出2dt这就是串联电路的振荡方程其中如果 喉器经充电后照去外电源(E 0)则上述成为2d2UCJC2 duedt2出0Ouc二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为yP(

38、x)yQ(x)yf(x)若方程右端f(x)0时方程称为齐次的否则称为非齐次的二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程_谶d2ydy2yP(x)yQ(x)y0即一2-P(x)Q(x)y0dxdx定理1如果函数yi(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解那么yCiyi(x)C2y2(x)也是方程的解其中C、Q是任意常数齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理证明CiyiC2y2CiyiC2y2CiyiC2y2CiyiC2y2因为yi与y2是方程yP(x)yQ(x)y0所以有yiP(x)yiQ(x)yi0及y2P(x)y2Q(x)y20从而CiyiC2y2P(x)Ciyi

39、C2y2Q(x)CiyiC2y2CyiP(x)yiQ(x)yiC2y2P(x)y2Q(x)y2000这就证明了yCiyi(x)C2y2(x)也是方程yP(x)yQ(x)y0的解设 yi (x) y 2(x)函数的线性相关与线性无关ki k2yn(x)为定义在区间I上的n个函数如果存在n个不全为零的常数kn使得当xI时有恒等式k1y1(x)k2y2(x)knyn(x)0成立那么称这n个函数在区间I上线性相关否则称为线性无关判别两个函数线性相关性的方法对于两个函数它们线性相关与否只要看它们的比是否为常数如果比为常数那么它们就线性相关否则就线性无关例如1cos2xsin2x在整个数轴上是线性相关的2

40、2在任何区间(a,b)内是线性无关的定理2如果如果函数yi(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个线性无关的解那么yCiyi(x)C2y2(x)(Ci、C2是任意常数)是方程的通解例3验证yicosx与y2sinx是方程yy0的线性无关解并写出其通解所以只有所以解因为yiyiy2y2yicosx与cosxcosx0sinxsinx0y2sinx都是方程的解因为对于任意两个常数kicosxk2sinx0kik20所以cosx与sinxyicosx与y2sinx方程的通解为例4验证yix解因为(xi)y(xi)yxyix与y2e都是方程的解ki、k2要使在(，)内是线性无关的是方程y

41、y0的线性无关解yCicosxC2sinx与yex是方程(xi)yxyy0ixyiyi0xx02xy2y2(xi)exxexex0的线性无关解并写出其通解ex/x不恒为常数所以yix与y2ex在(,)内是线性无关的45 / 41因此yix与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解方程的通解x为yC1xC2e推论如果y1(x)y2(x)yn(x)是方程y(n) a 1(x)y(n 1)an 1 (x)y a n(x)y 0n个线性无关的解那么此方程的通解为y C 1y1(x) C 2y2(x)Cnyn (x)其中CiC2Cn为任意常数二阶非齐次线性方程解的结构我们把方程yP(x)yQ(x)y

42、0叫做与非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程定理3设y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解Y(x)是对应的齐次方程的通解那么yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解证明提示Y(x)y*(x)P(x)Y(x)y*(x)Q(x)Y(x)y*(x)YP(x)YQ(x)Yy*P(x)y*Q(x)y*0f(x)f(x)例如YCicosxC2sinx是齐次方程yy0的通解y*x22是yyx2的一个特解因此yCicosxC2sinxx222是方程yyx的通解定理4设非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)的右端f(x)几个函数之和如yP(x

43、)yQ(x)yfi(x)f2(x)而yi*(x)与y2*(x)分别是方程yP(x)yQ(x)yfi(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)那么yi*(x)y2*(x)就是原方程的特解证明提示yiy2*P(x)yi*y2*Q(x)yi*y2*yi*P(x)yi*Q(x)yi*y2*P(x)y2*Q(x)y2*fi(x)f2(x)i29二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数如果yi、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yCiyiC2y2就是它的通解我们看看能否适当选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分

44、方程为此将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解特征方程方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根ri、r2可用公式pp24qri,22求出特征方程的根与通解的关系(i)特征方程有两个不相等的实根门、2时函数yierix、yer2x是方程的两个线性无关的解这是因为1人函数yi erix、y e r2x是方程的解又上1%e(rir2)x不是常数y2er2x因此方程的通解为yC1erixC2er2x(2)特征方程有两个相等的实根rir2时函数y1erix、y2xerix是二阶常系数齐次线性微分方

45、程的两个线性无关的解rix这是因为yierix是方程的解又(xe riX)p(xe riX) q(xer iX ) (2r xr i 2)e riX p(i xrriXiX) )eqxereriX (2r i p) xe riX (r i2pri q) 0riX所以 y2 xe 也是方程的解rx且迄八e- x不是常数yiiX er因此方程的通解为yCierixC2xeriX关的复数形式的解(3) 特征方程有一对共轲复根r i, 2y e ( i)x 、 y e ( i )x 是微分方程的两个线性无cos x 、 y exsin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解yi e( i伙和丫 2

46、 e( i )x 都是方程的解而由欧拉公式得yi e( i )x ex(cos x isin x)y2 e( i )x ex(cos x i sin x)yi y2 2excos xecosx-(yiyi y2 2iexsin xe sin xxcos x 、 y2 e xsin x 也是方程解y2)可以验证yi e xcos x 、 y2 e xsin x 是方程的线性无关解因此方程的通解为y e x( C i cos x C 2sin x )求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0 的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程r2 pr q 0第二步求出特征方程的两个根r1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解求微分方程y 2y 3y 0 的通解所给微分方程的特征方程为r22r30即(r1)(r3)0其根 r 11 r 2 3 是两个不相等的实根因此所求通解为47 / 41yC1e (4 2x)e xC2e3x2 求方程 y 2y y 0 满足初始条件y| x 0 4、 y | x 0 2 的特解所给方程的特征方程为r22r10即(r1)其根 r 1r2 1