2413圆的有关性质——弧弦圆心角教案

1、24.1.3弧、弦、圆心角教学目标1让学生理解圆心角概念和圆的旋转不变性.2了解弧、弦、圆心角之间的关系，并能推理证明3利用圆的旋转不变性和对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系.教学重点弧、弦、圆心角之间的关系，并运用此关系进行有关计算和证明.教学难点利用圆的旋转不变性推导弧、弦、圆心角之间的相等关系.教学过程设计1、 问题引入，新课教授问题1. 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.问题2. 圆一定要绕圆心180 °才能与本身重合吗？活动1：把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转15°活动2：把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O

2、 旋转30°.活动3：把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转60°.活动4：把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转n°.结论：点 N仍在圆O上，即把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合定义：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.师生活动：教师演示课件：展示半径ON按特定角度旋转的过程，师生通过观察得出圆的特性：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合，所以圆是中心对称图形，而且具有旋转对称性. 进而引出圆心角的定义.设计意图：从直观图形出发，引导学生对图形的观察、发现，鼓励学生，使学生对圆心角有一个感性的认识.2、 师生互动，探究新知练习：判别下列各图

3、中的角是不是圆心角，并说明理由.师生活动：教师引导学生认识圆心角后，让学生完成巩固练习.设计意图：学生通过找圆心角，为后面探究三者之间的关系作铺垫.问题1：每个圆心角都有它所对的弦和弧.如图所示，取圆心角: AOB，所对的弦: AB，所对的弧: AB.这三个量之间会有什么关系呢？思考1：如图，O中，当圆心角AOB=A1OB1时，它们所对的弧AB和A1B1、弦AB和A1B1相等吗？为什么？师生活动：教师通过课件展示AOB旋转至A1OB1的过程，引导学生通过观察归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.思考2：如图O与O1是等圆，AOB =A1OB1，请

4、问上述结论还成立吗？为什么?师生活动：教师通过课件展示，引导学生将有关等圆的问题叠合成一个圆，即转化为同圆问题来解决. 使学生经历猜想-证明-归纳得出结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 转化成数学语言： AOB=A1OB1，AB=A1B1 ，AB=A1B1 .设计意图：培养学生猜想、观察、归纳总结的能力，通过思考每组量重合的理论依据，让学生经历一个由感性认识上升的理性认识的认知过程. 培养学生思维的严谨性，形成良好的科研习惯. 最后将定理中的文字语言转化为符号语言，加深对定理的理解.归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，相等

5、的弧所对的圆心角相等， 所对的弦相等； 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等问题2：在这三个结论中，为什么要说“在同圆或等圆中”？能不能去掉？师生活动：教师关注学生是否理解了定理成立的关键条件是“在同圆或等圆中” ，强化学生对定理的理解.问题3：我们看到，这三个结论中，所对的弧相等是什么意思？能不能说所对的弧长相等呢？师生活动：教师在此环节讲述清楚“弧”与“弧长”所代表的不同意义，使学生认识到度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧.设计意图：教师引导学生归纳出推论. 强化对定理的理解，培养学生的思维批判性. 圆心

6、角定理整体理解：1三个元素： 圆心角、所对弦、所对弧2三个相等关系：(1) 圆心角相等(2) 弧相等(3) 弦相等 记忆技巧：知一得二设计意图：结合图形再次加深对圆心角定理的整体理解，并使学生获得“知一得二”的记忆技巧.三、课堂练习练习： 1、如图3，AB、CD 是O 的两条弦。（1）如果 AB=CD，那么AB=CD， AOB=COD .（2）如果 AB=CD，那么AB=CD，AOB=COD.（3）如果AOB=COD，那么AB=CD，AB=CD.（4）如果 AB=CD，OEAB于E，OFCD于F， OE 与OF相等吗？为什么？结论：(1) 圆心角相等(2) 弧相等(3) 弦相等（4）弦心距相等

7、 知一得三师生活动：学生独立思考，回答问题，教师讲评。主要考察学生对弧、弦、圆心角之间关系的掌握情况.对于（4），鼓励学生用多种方法解决，并注意培养学生符号语言表示结论，发展学生用符号语言说理的能力.设计意图：练习设计是圆心弧、弦、圆心角之间的关系的应用，通过四个小问题，对三者之间关系的应用，考察学生对定理和推论的理解和应用.例1：如图，在O中，AB=AC,ACB=60°,求证AOB=BOC=AOC.证明： AB=ACAB=AC，ABC是等腰三角形又 ACB=60°ABC是等边三角形，AB=BC=CAAOB=BOC=AOC例2：如图，AB是O的直径，BC=CD=DE，COD

8、=35°，求AOE的度数.证明： BC=CD=DECOB=COD=DOE =35°AOE=180°-3COD =75°例3：如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小.解： AD=BC AD=BC AD+AC=BC+AC 即 CD=AB CD=AB师生活动：学生独立解答例1、2、3题，展示解答过程，教师对关键步骤，让学生回答理论依据. 展示不同的解题思路.设计意图：例1、2是证明题，主要考察学生对定理的应用，并且使学生会用符号语言去证明. 例2中，将定理中的“两条弧、两个圆心角”扩展成“三条弧、三个圆心角” 从更深层次理解定理。通过例题， 使学生理解三组量之间的相互转化，并会运用转化的数学思想，多角度、多方位解决问题，提升解题技巧和方法，培养学生的创新能力.四、课堂小结1.请回顾本节课我们学习同圆或等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间的关系的学习过程.2.怎样记忆圆心角定理呢？要注意什么？师生活动：让学生参与小结，培养他们对所学知识的回顾思考习惯，通过小结也强调了本节课的重点，巩固所学知识。设计意图：总结回顾，培养学生的知识整理能力与语言表达能力，帮助学生自我评价学习效果.巩固提升：如图，CD为O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交O于点A、B.（1）试判断OE