152　综合法和分析法

1、1.5.2综合法和分析法1.了解综合法与分析法证明不等式的思维过程与特点.2.会用综合法、分析法证明简单的不等式.基础·初探教材整理1综合法从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法.已知a0，1b0，则()A.aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a【解析】1b0，1b20b.又a0，abab2a.【答案】D教材整理2分析法从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)，这种证明方法称为分析法.已知a

2、0，1，求证： .【证明】要证明，只需证1，即(1a)(1b)1，只要证abab0成立.a0，1，a0，b0，0，abab0成立.故成立.质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型用综合法证明不等式已知a，b，c是正数，求证：abc.【精彩点拨】由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2c2a2a2b2abc(abc)，利用x2y22xy可证.或将原不等式变形为abc后，再进行证明.【自主解答】法一：a，b，c是正数，b2c2c2a22abc2，b2c2a2b22ab2c，c2a2a2b22

3、a2bc，2(b2c2c2a2a2b2)2(abc2ab2ca2bc)，即b2c2c2a2a2b2abc(abc).又abc0，abc.法二：a，b，c是正数，22c.同理2a，2b，22(abc).又a0, b0，c0，b2c2a2c2a2b2abc(abc).故abc.1.综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键.2.综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质，(2)基本不等式及其变形，(3)三个正数的算术几何平均不等式等.再练一题1.已知a，b，c为

4、ABC的三条边，求证：abbcaca2b2c2<2ab2bc2ac.【证明】先证abbcaca2b2c2.a>0，b>0，c>0，a2b22ab，当且仅当ab时取等号.b2c22bc，当且仅当bc时取等号，a2c22ac，当且仅当ac时取等号.a2b2c2abbcac.再证a2b2c2<2ab2bc2ac.法一：在ABC中，a<bc，b<ac，c<ba，则a2<a(bc)，b2<b(ac)，c2<c(ba).a2b2c2<a(bc)b(ac)c(ab)，即a2b2c2<2ab2bc2ac.法二：在ABC中，设a>

5、;b>c，0<ab<c,0<bc<a,0<ac<b，(ab)2<c2，(bc)2<a2，(ac)2<b2，(ab)2(bc)2(ac)2<c2a2b2，即a2b2c2<2ab2bc2ac.综上，得abbcaca2b2c2<2ab2bc2ac.用分析法证明不等式设abc，且abc0，求证：(1)b2ac0；(2)a.【精彩点拨】根据题目特点，利用分析法寻找结论成立的充分条件.【自主解答】(1)abc且abc0，a0，c0，ac0，故b2ac0.(2)欲证a，只需证b2ac3a2.因为c(ab)，只要证明b2a(ab)3

6、a2成立，也就是(ab)(2ab)0，即证(ab)(ac)0.abc，(ab)(ac)0成立，从而a成立.1.本题的关键是在不等式两边非负的条件下，寻找结论成立时不带根号(平方)的充分条件，采用分析法是常用方法.证明时要注意表达的严密、准确，不可颠倒因果关系，否则要犯逻辑错误.2.当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径.再练一题2.若将例题中条件改为“a>b>0”，求证：<<.【证明】要证原不等式成立，只需证<ab2<，即证<()2<.因为a>b>0，所以只需证&

7、lt;<，即<1<，即<1<.只需证<1<.a>b>0，<1<成立，原不等式成立.探究共研型综合法与分析法的特点探究1综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的？【提示】综合法：AB1B2BnB(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论).分析法：BB1B2BnA(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知).在较复杂的不等式的证明中，往往需要把综合法与分析法结合起来使用.探究2如何理解分析法寻找的是充分条件？【提示】用分析法证明，其叙述格式是：要证明A，只需证明B.即说明只要有B成立，就一定有A成立.因此分析法是“执果索

8、因”，步步寻求上一步成立的充分条件.分析法体现了数学思维中的逆向思维.逆求(不是逆推)结论成立的充分条件.探究3综合法与分析法证明不等式的一般思路是什么？【提示】综合法的思路是“由因导果”，也就是从已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出欲证的不等式；分析法的思路是“执果索因”，在表述中经常用符号“”，这里注意箭头的方向，用分析法时，一般用“”，用综合法时，一般用“”，一般来说，无理不等式、三角不等式以及含绝对值符号的不等式，采用分析法证明较方便.设实数x，y满足yx20，且0a1，求证：loga(axby)loga2.【精彩点拨】要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质

9、，先用分析法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明.【自主解答】由于0a1，则tlogax(x0)为减函数.欲证loga(axay)loga2，只需证axay2a.yx20,0a1，xyxx2.当且仅当x时，(xy)max.axya，a.又axay2(当且仅当xy取等号). 又axay2a.由于等号不能同时成立，式等号不成立，即axay2a成立.故原不等式loga(axay)loga2成立.1.通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明.体现了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证关系.2.函数与不等式综合交汇，应注意函数

10、性质在解题中的运用.再练一题3.已知x0，y0，求证：(x2y2)(x3y3).【证明】要证明(x2y2)(x3y3)，只需证(x2y2)3(x3y3)2，即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，即证3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20，即证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立.(x2y2)(x3y3).构建·体系综合法与分析法1.若a，b，c是常数，则“a0，且 b24ac0”是“对任意的xR，有ax2bxc0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件【解析】当a0，b24ac0时，ax2bxc0.反之，ax2bxc0对任意的xR成立不能推出a0，b24ac0.反例：ab0，c2.【答案】A2.要证a2b21a2b20，只需证()A.2ab1a2b20B.a2b210C.1a2b20D.(a21)(b21)0【解析】a2b21a2b2(a21)(b21)0.【答案】D3.设a0，b0，且ab(ab)1，则()A.ab2(1)B.ab1C.ab(1)2D.ab2(1)【解析】因为，所以ab(ab)2，(ab)2(ab)ab(ab)1，(ab)24(ab)40，因为a0，b0，所以ab22成立(当且仅当ab1时取等号).【答案】A4.已知a0，b0且ab1，则与8的大