泊松过程及例子1

1、 第三章第三章 泊松过程泊松过程(Poisson process) 第一节第一节 泊松过程的定义和例子泊松过程的定义和例子 第二节第二节 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质第三节第三节 非齐次泊松过程非齐次泊松过程第四节第四节 复合泊松过程复合泊松过程1计数过程则 第一节第一节 泊松过程的定义和例子泊松过程的定义和例子注注 如果在不相交的时间区间中发生的如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。立增量。 若在任一时间区间中发生的事件个若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则数的分布只依赖于时间区间的长度，

2、则称计数过程有平稳增量。称计数过程有平稳增量。首页首页2泊松过程满足设 随 机 过 程 )(tX，0t是 一 个 计 数 过 程 ，（1）0)0(X（2）)(tX是独立增量过程首页首页则称（ 3） 对 任 一 长 度 为 t 的 区 间 中 事 件 的 个 数即对一切0, ts，有)()(ksXstXPtkekt!)(, 2 , 1 , 0k注意从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且ttXE)(并称为此过程的生起率或强度（单位时间内发生的事件的平均个数）。首页首页说明说明 要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满足三个条件：要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满足三个条件：为此给出一个与泊松过程

3、等价的定义然而全然不清楚如何去确定条件（3）是否满足则称其中)(h表示当0h时对 h 的高阶无穷小，（1）0)0(X首页首页设 随 机 过 程 )(tX，0t是 一 个 计 数 过 程 ，参数为（0） ，满足定义定义3.3例例3.1 3.1 考虑某电话交换台在某段时间接到的考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫呼叫. . 令令X(tX(t) ) 表示电话交换台在表示电话交换台在(0,t(0,t时间段内收到的时间段内收到的呼叫呼叫次数次数, , 则则 X(t),t0X(t),t0满足满足定义定义3.33.3中的各个条件中的各个条件, ,故故X(t),t0X(t),t0 是一个是一个泊松过程泊松过程

4、. . 其实对于任意的其实对于任意的0t0t1 1t t2 2t tn n, ,随机变量随机变量X(tX(t2 2)-)- X(t X(t1 1),X(t),X(t3 3)-X(t)-X(t2 2),X(t),X(tn n)-X(t)-X(tn-1n-1) )分别表示分别表示, ,在时间在时间 段段(t(t1 1,t,t2 2,(t,(t2 2,t,t3 3,(t,(tn-1n-1,t,tn n 内内, ,电话交换台接到的电话交换台接到的 呼叫呼叫次数次数, ,它们是相互独立的它们是相互独立的, ,所以随机过程所以随机过程X(t),t0X(t),t0 是一个是一个独立增量过程独立增量过程. .

5、 而且对于任意的而且对于任意的s st,t,随机变量随机变量X(t)-X(sX(t)-X(s) )的分布可以的分布可以 认为仅与认为仅与t-st-s有关有关, ,故故X(t),t0X(t),t0是是平稳独立增量过程平稳独立增量过程. .例例3.23.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客. .如果如果 记记X(tX(t) )为在时间为在时间(0,t(0,t内到达售票窗口的旅客数内到达售票窗口的旅客数, , 则计则计 数过程数过程X(t),t0X(t),t0满足满足定义定义3.33.3中的各个条件中的各个条件, ,故是一故是一 个个泊松过程泊松过程. .

6、例例3.33.3 考虑机器在考虑机器在( (t,t+ht,t+h) )时间段内发生故障的事件时间段内发生故障的事件. . 若若 机器发生故障机器发生故障, ,立即修理后继续工作立即修理后继续工作, ,则在则在( (t,t+ht,t+h) )时间时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数段内机器发生故障而停止工作的事件数, ,构成一个随机构成一个随机 点过程点过程, ,该过程可以用泊松过程进行描述该过程可以用泊松过程进行描述. .补例补例顾客到达某 商店服从 参数4人/小时的泊松过 程，已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。解解)5)5 .

7、 2(, 1)5 . 0(XXP)4)5 . 0()5 . 2(, 1)5 . 0(XXXP)4)2() 1) 5 . 0(XPXP5 . 041! 1)5 . 04(e244! 4)24(e0155. 0设 表示在时间t时到达的顾客数)(tX首页首页定理定理3.13.1 泊松过程的两种定义泊松过程的两种定义, ,即即定义定义3.23.2与与定义定义3.33.3是等价的是等价的. .证明证明: : 首先证明首先证明定义定义3.23.2蕴涵蕴涵定义定义3.33.3. .比较两条定义比较两条定义, ,由于由于定义定义3.23.2的条件的条件(3)(3)中蕴涵中蕴涵X(t)X(t)为平稳增量为平稳增

8、量过程过程, ,所以只需证明由所以只需证明由定义定义3.23.2的条件的条件(3)(3)可以推出可以推出定义定义3.33.3的的条件条件(3)(3). .由式由式 PX(t+s)-X(s)=n=ePX(t+s)-X(s)=n=e-t-t ,n=0,1,2,n=0,1,2,. . 对对充分小的充分小的h h, ,有有 PX(t+h)-X(t)=1=PX(h)-X(0)=1PX(t+h)-X(t)=1=PX(h)-X(0)=1 =e =e-h -h =h =h =h1-h+o(h) =h1-h+o(h) =h+o(h); =h+o(h); PX(t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2 PX(

9、t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2 = = =o(h). =o(h).!)(ntn! 1)(1h0!)(nnnh2()!nhnhen 以下证明以下证明定义定义3.33.3蕴涵蕴涵定义定义3.23.2. . 经比较经比较, ,只需证明由只需证明由 定义定义3.33.3中后两式可以推出中后两式可以推出定义定义3.23.2的的(3)(3)式式. .为此令为此令 P Pn n(t)=PX(t)=n=PX(t)-X(0)=n.(t)=PX(t)=n=PX(t)-X(0)=n. 根据根据定义定义3.33.3的的(2)(2)与与(3)(3), ,有有 P P0 0(t+h)=PX(t+h)=0=P

10、X(t+h)-X(0)=0(t+h)=PX(t+h)=0=PX(t+h)-X(0)=0 =PX(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0PX(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0PX(t+h)-X(t)=0 =P =P0 0(t)1-h+o(h),(t)1-h+o(h), 所以所以 =-P=-P0 0(t)+ .(t)+ . 令令h0h0取极限得取极限得 PP0 0(t)=-P(t)=-P0 0(t) (t) 或或 =-.=-.htPhtP)()(00hho)()()(00tPtP 积分得积

11、分得 lnPlnP0 0(t)=-t+C (t)=-t+C 即即 P P0 0(t)=ke(t)=ke-t-t. . 由于由于P P0 0(0)=PX(0)=1, (0)=PX(0)=1, 代入前式得代入前式得 P P0 0(t)=e(t)=e-t-t. . 类似地类似地, ,对于对于n1,n1,有有 P Pn n(t+h)=PX(t+h)=n=PX(t+h)-X(0)=n(t+h)=PX(t+h)=n=PX(t+h)-X(0)=n =PX(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0+ =PX(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0+ PX(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X

12、(t)=1+ PX(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1+ PX(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j. PX(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j. 根据根据定义定义3.33.3的的(2)(2)与与(3)(3), ,得得 P Pn n(t+h)=P(t+h)=Pn n(t)P(t)P0 0(h)+P(h)+Pn-1n-1(t)P(t)P1 1(h)+o(h)(h)+o(h) =(1-h)P =(1-h)Pn n(t)+hP(t)+hPn-1n-1(t)+o(h)(t)+o(h) 于是于是, ,有有nj 2 =-P =-Pn n(t)+P(t)+Pn-

13、1n-1(t)+ .(t)+ . 令令h0h0取极限得取极限得 PPn n(t)=-P(t)=-Pn n(t)+P(t)+Pn-1n-1(t),(t), 所以所以 e ettPPn n(t)+P(t)+Pn n(t)=e(t)=ettP Pn-1n-1(t),(t), 因此因此 eettP Pn n(t)=e(t)=ettP Pn-1n-1(t).(t). 当当n=1n=1时时, ,得得 eettP P1 1(t)=e(t)=ettP P0 0(t)=e(t)=ette e-t-t=,=, P P1 1(t)=(t+c)e(t)=(t+c)e-t-t. .htPhtPnn)()(hho)(dt

14、ddtd 由于由于P P1 1(0)=0, (0)=0, 代入上式得代入上式得 c=0, Pc=0, P1 1(t)=te(t)=te-t-t. . 以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明: P: Pn n(t)= e(t)= e-t-t成立成立. . 假设假设n-1n-1时有结论时有结论, ,证对证对n n有有: : PX(t+s)-X(s)=n=e PX(t+s)-X(s)=n=e-t-t ,n=0,1,2, ,n=0,1,2,. . 根据根据 eettP Pn n(t)=e(t)=ettP Pn-1n-1(t)(t) 式式, ,有有 eettP Pn n(t)=e(t)=et t e

15、e-t-t= ,= , 积分得积分得 e ettP Pn n(t)= +c(t)= +c . .!)(ntn!)(ntn!)(ntn)!1()(1ntn)!1()(1ntndtddtd!)(ntn!)(ntn 由于由于P Pn n(0)=PX(0)=n=0, (0)=PX(0)=n=0, 因而因而c=0, c=0, 所以所以 P Pn n(t)=e(t)=e-t-t . . 由条件由条件(2)(2)X(t)X(t)是独立、平稳增量过程是独立、平稳增量过程, ,故有故有 PX(t+s)-X(s)=n=ePX(t+s)-X(s)=n=e-t-t , n=0,1,2, , n=0,1,2, 故故定义

16、定义3.33.3蕴涵蕴涵定义定义3.23.2. . 第二节第二节 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质一数字特征一数字特征( )( )( )( )()E X tX sD X tX sts2(0)0,( )( )( )(0)( )( )( )(0)XXXmtE X tE X tXttD X tD X tXt由于故22( , )( )( )( )( )( )( )( )(0)( )( )( )()()(1)XRs tE X s X tE X s X tX sX sE X sXX tX sE X sstsssst ( , )min( , )XBs ts t( )( )exp(1)iuX tiuXgu

17、E et e特征函数为特征函数为2到达时间间隔和等待时间的分布定义则称设)(tX，0t为泊松过程，iW（, 2 , 1i）表示事件第 i 次发生的等待时间nW，1n为等待时间序列以nT（1n）表示第1n次发生到第n次发生之间的时间间隔则称nT，1n为到达时间间隔序列首页首页定理定理3.2证证或事件tT 1的发生当且仅当没有泊松事件在0t，内发生故当0t时，有0)(1tXPtTPtteet!0)(01tTPte1首页首页那么类似地有0,00,1)(1ttetFtT即1T是服从均值为/1的指数分布。又因2T为事件第一次发生到第二次发生之间的时间间隔，|112sTtTP|,(1111sTtssP内没

18、有事件发生在,(11内没有事件发生在tssP（增量的独立性）0)()(11sXtsXP0)0()(XtXP（平稳独立增量过程）tetXP0)(首页首页可见可见一般地2T也服从均值为/1的指数分布且2T与1T独立同分布。对1n和0121nssst，,|112211nnnsTsTsTtTP内没有事件发生在,(1111tssssPnn,|112211nnsTsTsT内没有事件发生在,(1111tssssPnn0)()(1111nnsstssXPX0)0()(XtXPtetXP0)(首页首页这就证明了到达时间间隔序列 是相互独立同分布的随机变量序列，且都具有相同均值为 的指数分布。/1首页首页定理定理3.3其概率密度为设)(tX，0t为泊松过程，证证则等待时间nW（1n）服从),(n分布，)(tf)!1()(1ntent，0t因为事件tWn等价于事件ntX)(所以nW的 分 布 函 数为)(tWPtFn)(ntXPtnkkekt!)(0t首页首页于是nW的概率密度为)()(tFtftnkkekt)!1()(1tnkkekt)!()(tnent)!1()(1tnkkekt11)!1()(tnkkekt)!()()!1()(1ntent首页首页又称为爱尔兰分布，它是又称为爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。和的概率密度。n