自动控制原理课后答案2西工大版

1、第2章习题及解答2-1建立图2-33所示各机械系统的微分方程(其中F为外力，x(/)、y(F)为位移; R为弹性系数，/为阻尼系数，加为质最；忽略巫力影响及滑块与地而的摩擦)。图2-33系统原理图解 (a)以平衡状态为基点，对质块7进行受力分析(不再 考虑重力影响)，如图解2-l(a)所示。根据牛顿泄理可写出F-灿-f吐=皿酸'丿 7 J dt dr整理得弘)图解2-1 (a)心dt2f dy(t)k z x1 厂/、(b)如图解2-1 (b)所示，取A, B两点分别进行受力分析。对A点有(1)对B点有2心哙窃)(2)七1仗一“)/ft -y)4 bi/e -y) k.y图解2-1 (

2、b)联立式(1)、(2)可得:或+昵尸丄竺dt f(kA +k2)k+k dt(c)如图解2-1 (c)所示，取A, B两点分别进行受力分析。对A点有F(m罟-#对B点有k(n害(4)联立式(3)、(4)消去中间变最x可得:- 图解2l(c)图解2-1 (c)另+竺字dmdt m dr nr2-2应用复数阻抗方法求图2-34所示各无源网络的传递丙数。 CIICZ)CZFRR(a)应用复数阻抗概念可写出Ur(t)CZZuc(t)(b)R1 L图2-34无源网络R丄U© = /($) + " (s)R +CS(1)(2)联立式(1)、(2),可解得:S(S)_/?2(1+&am

3、p;C$)U r(5)& + R、+ RR?Cs微分方程为:du Rx +du r12+ CR 足叭 _ dt + CR,Ur(b)由图解2-2(b)可写出(3)uXt)1RczzhG)忑=R1 rG)- RIc(s)(4)ln(s)R+m)+h隔图解2-2 (b)(5)-112 du 1 +、 c2/?- rdt可得:吉人=(Ls + R2)I2 G)联立式(3)、(4)、(5),消去中间变量皿)和几($)，可得/($)_ R2C2s2 +2RCS + 1Ur(s) R2C2s2 +iRCs + l如八亠m丄 du2 3 du1du2微分方程为#+祁牙+丽"#+你(c)由图

4、解2-2 (c)可写出r 匕(S) = & 人($)+ 厶($)+ (厶S+ &”2(S)联立式(6)、(7)、(8),消去中间变量h(s)和厶，Uc (s) 色Ur(5")/?厶C$ + (厶+/?/?)C)$+ (/? +/?2 )牛“ 七tu 斗 di( L+ RR=C du. R + RrR“微分方程为 一+ U = 一 Udr %LC dt %LC R、LC2-3证明图2-35中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统(即有相同形式的 数学模型)。-#-#图2-35系统原理图解(a)取A、B两点分别进行受力分析，如图解2-2®)所示。对A点有

5、(1)“一 y) + 厶(丘一刃=fSy-yi)-13对B点有fAy-yi) = kiy对式(1)、(2)分别取拉氏变换，消去中间 变量儿，整理后得心(x-y)久0_必)刃A»BA(y-y 3心)Z)fJiS2 + ( 4- )5 + 1 & k2图解2-3(可# # (b)由图可写出U©# # 图2-36 :极管电路10.026严4 026 .叫格理得U e (5)/?/?»CC + (/?C+ /? C )s +1U r (5)RR-> CC-(s + (7?C + RjC* + /?C)s +1比较两系统的传递函数，如果设& =1/人，

6、R2 = l/k2 , G =c2=f29则两系统的传递函数相同，所以网系统是相似的。2-4如“图2-36所示，二极管是一个非线性元件，其电流-和电压叫之间的关系为 一 =10口(£矗一1),假设电路在工作点n(0) = 2.39V , i(0) = 2.19x 10A处做微小变化，试推导id = f(ud)的线性化方程。解将i(0) = 2.19xl0A代入° = 10-14(/0G26-1)解得叫。=0.679V将匚=10"(£3°°26-1)在("do，*)处展开为泰勒级数, 并取一次近似，有# # dtd20即在(U

7、dc，几)附近id=f(ud)的线性化方程为4= 0.085-Auo2-5假设某容器的液位高度/?与液体流入量G满足方程 + -Va=-2z ,式中Sat S S为液位容器的横截面积，Q为常数。若力与Q在其丁作点(2r0,/70)附近做微最变化，试 导出力关于Qr的线性化方程。解 将亦在仏处展开为泰勒级数并取一次近似Lo=氣 + :-小亦=何+学代入原方程可得(2)在平衡丁作点处系统满足式(2), (3)相减可得A/j的线性化方程怜命72-6图2-37是一个单摆运动示意图。图中，/为摆杆长度, &为摆和，摆锤质最为7。试建立单摆系统的微分方程，并将其 线性化。解 由图2-37,根据牛顿

8、定律，在不施加外力的情况下，可写 出单摆的运动方程：ml2 + mgl sin 0 = 0, 即 - + sin = 0 drdr I将上式中非线性项sin。在平衡点九=0附近进行泰勒级数展开, 取一次近似有将00 = 0代入上式，得：sin0-sin0o = A0o代入原方程可得线性化后的单摆方程-15 -d込edt2+§0=0-# -# -2-7求图2-38所示各信号x(/)的彖函数X(s)。-# -# -(a) g) = 2 + (f-/o)2 1.X(s)= 土+ *严S 5*(b) *.* x(t) = 1 1(/ 1) (f 1) 2 1(/ 3) (t 3)es 1 严

9、 1X($)+(s +_M(2s +(c) x(t) = a + (b - a)(t -(b- c)(t _ 厶)一 c(/一 心)?. X (s) = a + (b- a)e，lS - (b-c)etlS - cetiS s44 r 4 T 4(d) x(O=+X二希(1-2誌'+严)2-8求下列各拉氏变换式的原函数。 X (s) = J5-1-# -XG)s(s + 2)"s + 3)X")- $($2+2s + 2)(1)X0 =2 3 原式3 厂 + 32x(t) = sin 3t3原式2(s + 2' 4(5 + 2)28(5 + 2) '

10、 245 ' 3(5 + 3)(t)=4+丄宀丄324-17-#-(4)原式=丄£2s s2 +25 + 2 2s 21 1($ + 1)2 +12(5 + 1)2-#-#-.:x(t) = £ + *以(sin t - cost)，试求系统2-9已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为c(r) = 1 - 2e21 + 的传递函数和脉冲响应。解 单位阶跃输入时，有R(s)=-,依题意C(s-2 + _L=« + 2 丄S 5+2 S + l (5 +1)($ + 2) s:.G(s) = R(s) (5 + 1)(5 + 2)-#-#-k(r) = Zf

11、iG(s)=Z7i-1415+15+2-#-2"0己知系统传递函数壽=0可且初始条件为他" 试求系统在输入r(0 = 1(/)作用下的输出c(r) o解系统的微分方程为d2c(t) 3Jc(r)dr dt+ 2c(/) = 2r(Z)(1)-19-(2)s + 3$ 25(52 +35+2)142+S 5+1$+2考虑初始条件，对式(1)进行拉氏变换，得° 2 s2C(s) + 5 + 3sC(s) + 3+ 2C(5)=-#-#-c(t) = 1-4ef + 2e2t图2-39有源网络"11求图“9所示各有源网络的传递函数恃牛-#-#-解(a)根据运算

12、放大器“虚地”概念，可写出/G)二 R】 u© &R、+丄(b)/ ($) _ - Czs _ _ (1 + 5)(1 + R.C2s) r .丄莎1 C.s-#-U r(s)R、/?L (1 + R2 Cs)2-12某位置随动系统原理框图如图2-40所示，已知电位器最大工作角度Q”=330°, 功率放大器放大系数为他。(1) 分别求出电位器的传递函数心，第一级和第二级放大器的放大系数人，k“(2) 画出系统的结构图；(3) 求系统的闭环传递函数2(s)/0(s)。#解(1)电位器的传递函数30180°"717#根据运算放大器的特件，可分别写出两

13、级放大器的放大系数为“ _ 30x1010x107A加2电动机图解22系统结构图(2)可画出系统结构如图解2-12所示:KQKlK2KiKm2 二Ma + 1)丽一 1卜心心心心| K°KK心心 7> + l $(7爲 + 1)1In2 +KrK、K“K s +s + 1 KqKKKK KnK,K,K、K012 3m0123m2-13飞机俯仰角控制系统结构图如图"所示，试求闭环传递函数II。图2-41 E机俯仰角控制系统结构图 解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数Qc(5) _0.7(5 4-0.6)Q(s) 一 2 + (0.9+ 0.7/0卫 + (1.18

14、+ 0.42K)s+ 0.682-14已知系统方程组如下'试绘制系统结构图'并求闭环传递函数需。X($) = G ($)/?($) - $($)($) - G8(5)C(5)x 2($)= G2($) x 1($)G)x 3 (s)X3G) = X2 (s) - C(5)G5(5)G3 (5)C($) =G4(5)X3(5)解系统结构图如图解2-14所示。利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为C(s) _GQ2G3G4/?($)1 + G-,GyG6 + G3G4G5 + G1GGiG4G821图解2J4系统结构图2-15绘制图2W RC无源网络的结构图和信

15、号流图，求传递函数赭R %(s) R Ub(s) R】3(s)c* uc(s)1o-#-图2-42 RC无源网络解 应用电路理论和复阻抗概念，可以绘出网络的结构图如图解2-15(a)所示。-#-#-片=/?七.3为厶A结构图屮有1条前向通路，且与各个回路均有接触，有5个回路，其屮有6对两两不 接触回路，1组三个不接触回路 1 = 1 , L, = = £<=RCs11、 RCsR2C2s2 9=一 R'C-#-6R2C2s21R'cF-23 -ug 二1Ur(s) A - R3C3s3 4- 5R2C2s2 + 6RCs +1"试用结构图等效化简求图所

16、示各系统的传递函数需。（C） 4(d)-# -# -图2-43系统结构图原图=>图解 2-16(a)所以:c二 G_G?-# -# -(b)原图=图解 2-16(b)-# -所以：(c)C(s) _GQ2G3/?(5)1 + GG、+ G G2G3原图n图解 2-16(c)所以:C(j) _G&2G3 + Gfi47?(s)1 + G】H l + G2GyH 2 + GQ2G3 + GtG4 + G4H 2图解 2-16(d)原图所以:C(S)=g +GlG2G3/?($)- 4 l+gqh +qy+GQ3比-# -r试绘制图所示系统的信号流图，求传递函数器。际iI HQIT77

17、7厝琢s)G(s)图2-44系统结构图C GQ2G3G4R 1 + GiGAH + G、G、H. + GQG3G4H32-18绘制图注所示信号流图对应的系统结构图，求传递函数芻。解系统结构图如图解2-18所示。图解2-18系统结沟图23X5G） =。12°23434。45 +。12。24045 + 勺2°25（1 。34°43 +。44）X（S）1 + 23°32 °“43 + a44 + 244332 + °23°32°442-19应用梅逊増益公式求2-16题中各结构图对应的闭环传递函数。(a)图中有2条前向通路

18、，1个冋路 = 1 厶C（s）片+G G、R（s） A - l-G.H（b）图中有1条前向通路，3个冋路片=GQ2G3, = 1,厶=qq，L2 G2G3,厶 3 = GiGqGb，a = 1 （厶 + 厶 + 厶 3），c（s） _ Ml G&2G3/?（j） A 1 + GG、+ G&rGs（c）图中有2条前向通路，5个回路 片=GQ2G3, = 1, P2 = G&4，2=1,厶=-G'GHI，L2 = G2GiH2f厶=GiGqGb，L4 = GtG4,厶 5 = G4 H 2, = 1 （厶 + L、+ 厶 3 + Lq + 厶5 ） 9C（5）_ P

19、1A1 + 巴二 _G&2G3 + G&4R（s）14- G1G2W1 + G2G3/2 + GG-G + GtG4 + G4H 2(d) 图中有2条前向通路，3个回路P、= GQ2G3, = 1, P2 = G“ 0 = , 厶二GGr/i，L、= -G、HL严-G、G、H“ 二 1 （厶+乙+ 厶）,C（$）_Ad +巴_R、P4 _ G IqgR（s） A14- GG.H + G.H + GGiH.2-20应用梅逊增益公式求图2-46屮各系统的闭环传递函数。图2-46系统结构图解(a) 图中有1条前向通路，4个冋路P、- GQ2G3G4, 厶=G2H 厶4 = -GGaH

20、v厶二 GlG2GiG4H4, 1 = 1 厶=-Gfi.GH = 1 （厶+厶，+厶3 +厶4 ）则冇C（$）二也二GGG3G4Z?（5） A - G、G、H 1 + GGrGH$ - G'GrGsGqH$ + G'GH、（b）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路片=G&2G3, = 1, P> = G3G4,= 1 L = 1 + G、H、9厶二-GH，L2 =厶二-GQGHH”, = 1 （厶 + Lj + 厶3） + 厶厶”则有C（s） _ PlA1 + P,A2 _+G3G4（l + Gl/l）R（s） A 1 + G1/71 -GS/7S-

21、G/7.(c) 图中有4条前向通路，5个冋路P = Gp P2 = G&2,P、= G2, P4 = G2G,厶=Gp 厶2 = GG29厶=Gq, La = G2Gp 厶5 = G&2 9At = A2 = A3 = A4 = LA = 1 （厶 + 厶 2 + 厶 3 + 乙4 ），c($) P4 + P4 + P4 + P4则有A(5)-G + G&，+ G, + GqG2GG，- G】+ G21 - G + GG、+ G、+ G、G + GG? 1 - G】+ G、+ 3GQ,(d) 图中有2条前向通路，5个冋路 片=GG?, At = 1, P2 = G3,

22、A2 = 1,J = -G*H, L)= G、G、H、,厶3 = GG” LA G Ls GH y > = 1 (厶 +12 + L4 + 厶 5),贝 |J 有C(s) = P4 + 号= G&2 + G3沖系统的结构图如图2引示，求传递函数誇需/?(5)A1 + GHi + GiG、H、+ G1G2+G3 GsHlGH、-27 -# -(a)(b)图2-47系统结构图解(a)求型，图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路 R©)片=GQ2G3, At = L P2 = G4G39 A2 = 1 厶,L = GiG2Hl9 L2 = 一 G、H 2,A = 1

23、 (厶+厶2 +厶3) +厶i厶”则有C(5) PL + ?GQ2G3 G4G3(1 + G'G'H JR(s)1 + GGH 1 + G3H、+ GH、+ GiGGH H、求需，有2个前向通路，回路数不变，不变片=1, At = 1 + G3W2 4-G2/3, P2=-G4Hfi2Hif A=1则冇 E($)人+ £亠 1 + G3H2 + GgH、一 G4Hi/?(5)A14- GGH 4- GyH4- GH4-(b)求 3,图中有4个前向通路，7个回路R(s)P. = G. P2 = G'GrG、P、= G°Gi P4 = GqGGGb At

24、 = A, = A3 = A4 = 1 11 f *9>9Lr = 一G厶2 = -GjGjGj 厶3 = -GqGj L4 = -GqGjGjGj L5 = -GtG2WtL6 = H 2 Lr = GG'H* fA = 1 (厶i + L= + L3 + 厶4 + 厶 5 + Z>6 + 厶7)则有C(s) _ PlAl + P4 + P4 + P4R(s)AG + GQ2G3 + GqG + G0GQ2G31 + G + Gfi-yGy + GqGj + + H、+ G、G、H、求器，有I条前向通路，回路数不变，不变/£ = 1 > = 1 + G1G

25、2H1 + G2G3H2 + H2E(s) 片1 + G1G2H1 + GGH 2 + H2R(s) A 1 + G + GGGs + G0Gt + G1G>/1 + H、+ GGH、2-22己知系统的结构图如图2-48所示，图屮/?(s)为输入信号，N(s)为干扰信号,求传递函数器赭图2-48系统结构图解(a)令N=0,求 型。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回 阳)路。P = GG” = 1, P, = Ggs，、=1厶= l + GrH,厶=-GqH, L2 = 一0&2，厶3 = GQs ,A = 1 (厶i + L、+ 厶3) + LL、,则冇C(s) PL

26、 + 鬥/XjGQ + GQ3(1 + GH)/?(5)14- GH +4-+ GGGH令R(s) = 0,求£型。有3条前向通路，回路不变。 N(s)Pt = 1, At = 1 Lp P? = G4GQ2, A2 = IfP、= G4G&3, 亠=1 厶，A = 1 (Zq 4- L-, + 厶3) + 厶i厶3,则有C($) 片、+ P3A3 1 GjH + GGfi-, + G 4G (1 + G?H) N($)1 + G?/+ GQ2 + GQ3 + G1G2G3H(b)令Ng, TO,求誥。图中有I条前向通路，I个回路。 = L2K($ + 1)s + 2-29

27、-# -则有C(s) _ P4 KsR(s) (2K+ l)s + 2(K+ 1)令/?($) = 0, N,s) = 0,求 空L。图中有1条前向通路，回路不变。 M片=s, = 1,则有=1 =灾 + 2)N© (2K + l)s + 2(K + l)令/?（5）= 0, N$） = 0,求 空图中有1条前向通路，回路不变。Ng则有（c）则自15 + 21C(s) _ P4 _-2KN、($)(2K +1)5 + 2(K +1)令N(s) = 0 ,求型。图中有3条前向通路，2个回路。/?($)片=G2Cj4, = 1, P2 = (73G4, A2 =1, P、= Ct1G2C

28、!49 A3 = 1, 厶=G2GA9 L2 = -G3G4, A = 1 (厶 + L2)9C(s) _ P1A1 + P22 + P3X _ G2G4 + G3G4 + GQ2G4R(s)1 4- G、Gq + G3G4令R(s) = 0 ,求有1条前向通路，回路不变。N(s)P、 G4f Ar = 1,则有= 坐1 =£N(s) A1 + G-,Ga 4- GG4的质量：摆幅的角位移&很小,sin &, cos &均可进行线性化处理:位于摆2-23图2-49所示为悬挂在无摩擦旋轴上的双摆系统，假设，/为摆杆长度，加为摆-31 -/只作用丁左侧的杆，若令中间的弹