实验三 矩阵的特征值和特征向量 二次型

1、实验三实验三矩阵的特征值和特征向量 二次型实验目的实验目的1、学会用MATLAB软件求矩阵的特征值和特征向量2、学会用MATLAB软件将二次型化为标准型3、通过用MATLAB软件编程来判断二次型的正定性一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 矩阵A与向量x相乘，即表示矩阵对向量的变换(Transformation)。一般说来，向量在变换的作用下将发生旋转(Rotation)、反射(Reflection)和放大缩小。但对于任何一个矩阵来说，总存在那么一些特殊的向量，在对其变换的作用下，向量的方向不变，而仅长短发生变化。这种向量就是所谓的特征向量。 定义：定义：设A是n阶方阵， 是一个数。如果存

2、在非零的列向量x，使得 xAx 成 立 ， 则 称 数 为 方 阵A的 特 征 值(Eigenvalue)，非零列向量x称为方阵A的属于特征值 的特征向量(Eigenvector)，该方程称为特征方程(Eigenvalue Equation)。 A的全体特征值的和称为矩阵A的迹(Trace)。它等于A的主对角元素的和。 其中：D为由特征值构成的对角阵，V为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使 AV=VD 成立用Matlab计算特征值和特征向量的命令如下：d=eig(A)仅计算A的特征值(以向量形式d存放)V,D=eig(A)trace(A)计算矩阵A的迹例例1 1：求方阵 542452222A

3、的特征值、特征向量和迹解：解： A=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5; V D=eig(A) trace(A)V = -0.2981 0.8944 0.3333 -0.5963 -0.4472 0.6667 -0.7454 0 -0.6667D = 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 10.0000 trace(A)ans = 12答：答： 特征值为：, )(121二重二重 103 对应于特征值12, 1 的全部特征向量为： 04472. 08944. 07454. 05963. 02981. 021kk其中21, kk不能同时为零。 对应于特征值103 的全部特征向

4、量为： 6667. 06667. 03333. 03k其中3k不能为零。 矩阵A的迹为：12)( Atr 例例2 2：求方阵 163053064A的特征值、特征向量和迹解：解： A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1; V D=eig(A) trace(A)设A，B都是n阶方阵，若存在 n阶可逆矩阵P，使：APPB1 ，则称矩阵A，B是相似的。 二、矩阵的相似对角化二、矩阵的相似对角化设A是n阶方阵，若A与对角矩阵相似，则称A可对角化。 定理定理 1 1：n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 例例3 3：判断下列方阵是否可对角化。若可对角 化，求出可逆阵P，使

5、P-1AP为对角阵。 163053064)1(A 111021010)2(A解解(1)(1)： A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1; V D=eig(A) rank(V)ans = 3答：答：A可对角化，且可对角化，且V = 0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1.0000 -0.5774 0D = 1 0 0 0 -2 0 0 0 1DAVV 1 A=0 1 0;-1 2 0;-1 1 1; V D=eig(A) rank(V)ans = 2答：答：A不可对角化。不可对角化。解解(2)(2)：V = 0 0.6325 0.4511 0 0.6325

6、 0.4511 1.0000 0.4472 0.7701D = 1 0 0 0 1 0 0 0 1A 的特征值 的几何重数为方程组0)( xAI 的解空间的维数； A 的特征值 的代数重数为 作为特征根的重数。 下述函数可用来判断矩阵是否可对角化，若可对角化返回1，否则返回0。定理定理 2 2：方阵A可对角化的充分必要条件是它的几何重数等于代数重数。 function y=trigle(A)%可对角化返回1 1，否则返回0 0。y=1;c=size(A);if c(1)=c(2) y=0; return;ende=eig(A);n=length(A);while 1 if isempty(e)

7、return; endd=e(1); f=sum(abs(e-d)10*eps); g=n-rank(A-d*eye(n); if f=g y=0; return; end e(find(abs(e-d)10*eps)= ;endfunction y=trigle(A)%可对角化返回1 1，否则返回0 0。y=1;c=size(A);if c(1)=c(2) y=0; returnende=eig(A);n=length(A);while 1 if isempty(e) %若为空阵则为真若为空阵则为真return; endd=e(1); f=sum(abs(e-d)10*eps); %特征值d

8、的代数重数 g=n-rank(A-d*eye(n); %特征值d的几何重数 if f=g y=0; return; end e(find(abs(e-d) A=4 -3 1 2;5 -8 5 4;6 -12 8 5;1 -3 2 2 trigle(A)ans = 0 A=1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 1 1 ;1 1 1 1; trigle(A)ans = 1答：答：A不不可对角化。可对角化。 P D=eig(A)解解(2)(2)：答：答：A可对角化，且可对角化，且P = -0.5000 0.2113 0.2887 0.7887 0.5000 0.7887 -0.2887 0.211

9、3 0.5000 -0.5774 -0.2887 0.5774 0.5000 0 0.8660 0D = -2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000DAPP 1三、三、 二次型化标准型二次型化标准型定义：定义：二次齐次多项式 ),(21nxxxfnnxxaxxaxa112112211122 nnxxaxa2222222 2nnnxa 称为一个(n元)二次型。 若一个二次型只含平方项， 不含交叉项， 则称此二次型为标准型。 若令 jiaajiij ,，则矩阵 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 称为上述二次型的矩

10、阵。显然，二次型的矩阵是对称的。 例例5 5：判断下列矩阵是否对称 0156149459736431AA=1 3 4 6;3 7 9 5;4 9 4 1;6 5 1 0;B=A;if(A=B) fprintf(A是对称矩阵是对称矩阵)else if(A=-B) fprintf(A是反对称矩阵是反对称矩阵) else fprintf(A既不是对称矩阵，也不是反对称矩既不是对称矩阵，也不是反对称矩阵阵) endendA A是对称矩阵是对称矩阵解：解：n阶实方阵A称为正交矩阵，如果IAA 。正交矩阵对应的线性变换称为正交变换。 我们有以下结论：我们有以下结论： 实对称矩阵一定可以对角化， 且对于实对

11、称矩阵A， 一定存在正交矩阵P， 使APP 为对角形，且对角线上的元素为A的特征值，P的列向量为对应的特征向量。 即任意实二次型都可以通过正交变换化成标准型。 Matlab中二次型化成标准形的命令为： P , T = schur (A)其中： A 二次型矩阵(即实对称矩阵)； T 为 A 的特征值所构成的对角形矩阵； P 为 T 对应的正交变换的正交矩阵 ， P 的列向量为 A的特征值所对应的特征向量 P , T = eig (A)例例6 6：求一个正交变换，将二次型解：解：该二次型所对应的矩阵为43324121242322212222xxxxxxxxxxxxf 化成标准形 110111100

12、1111011A A = 1 1 0 1; 1 1 1 0; 0 1 1 1;-1 0 1 1; P , T = schur (A)P = -0.5000 0.7071 0.0000 0.5000 0.5000 -0.0000 0.7071 0.5000 0.5000 0.7071 0.0000 -0.5000 -0.5000 0 0.7071 -0.5000 P , T = eig (A)T = -1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 3.0000答：所作的正交变换为：PYX 二次型的标准型为：242322213yyyyf 例例7 7：求一

13、个正交变换，将二次型解：解：该二次型所对应的矩阵为323121232221444xxxxxxxxxf 化成标准形 12122112224A A = 4 2 2;-2 1 1/2;2 1/2 1; P , T = schur (A)P = 0.5458 -0.0000 0.8379 0.5925 0.7071 -0.3859 -0.5925 0.7071 0.3859T = -0.3423 0 0 0 0.5000 0 0 0 5.8423答：所作的正交变换为：PYX 二次型的标准型为：2322218423. 55 . 03423. 0yyyf 三、三、 正定二次型的判定正定二次型的判定定义定义

14、 1：实二次型),(21nxxxf称为正定的 ， 如 果 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 实 数nccc,21，都有0),(21 ncccf。 定义定义 2：实对称矩阵A称为正定的，如果二次型AXX 是正定的。 定理定理 1： 实二次型AXXxxxfn ),(21为正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式都大于零。 定理定理 2：实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值都大于零。 1. 1. 顺序主子式判断法顺序主子式判断法 求二次型求二次型 F=XAX 的矩阵的矩阵 A 的各阶顺序的各阶顺序 主子式主子式 Di (i=1,2,3.); 判断判断 Di 是否大于是否大于0 . .

15、程序：建立函数文件程序：建立函数文件 shxu.mfunction C,M =shxu(A)% C为为A的各阶顺序主子式组成的向量的各阶顺序主子式组成的向量% M为判定向量为判定向量: if C(i)0, then M(i)=1; % others M(i)=0 n=size(A); C= ; M= ; for i=1:n(1) A1=A(1:i,1:i); D=det(A1); C=C D; if D0 m=1; else m=0; end M=M,m; end 2 2、特征值判别法、特征值判别法 求二次型求二次型 f =XAX 的矩阵的矩阵 A 的全部特征的全部特征 值值 （i=1,2,i

16、=1,2,）；）；i 判断判断 是否大于是否大于 0 .i 程序：建立函数文件程序：建立函数文件 tezh.m function T , M = tezh (A) n=size(A); T=(eig(A) ; M= ; for i =1:n(1) if T(i)0 m=1; else m=0; end M=M,m; end例例8 8 判定下列二次型是否正定 4342413121242322211262421993xxxxxxxxxxxxxxf 解解 二次型矩阵 19631690230311211A方法一方法一 顺序主子式顺序主子式 A = 1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1

17、3 6 19 ; C,M = shxu (A)答：此二次型是正定的。 C = 1 2 6 24 M = 1 1 1 1方法二方法二 特征值法特征值法 T = 0.0643 2.2421 7.4945 22.1991 M = 1 1 1 1 A = 1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1 3 6 19 T , M = tezh (A)答：此二次型是正定的。 例例9 9 判定下列二次型是否正定 32312123222116048127113099xxxxxxxxxf 解解 二次型矩阵 71302430130624699A方法一方法一 顺序主子式顺序主子式 A = 9 6 24;-6

18、130 30;24 30 71 ; C,M = shxu (A)答：此二次型是正定的。 C = 9 1134 6174 M = 1 1 1 方法二方法二 特征值法特征值法 T = 0.6576 65.0894 144.2530M = 1 1 1 A = 9 6 24;-6 130 30;24 30 71 ; T , M = tezh (A); 答：此二次型是正定的。 例例1010 判定下列二次型是否正定 323121232221228248210 xxxxxxxxxf 解解 二次型矩阵 11412142412410A方法一方法一 顺序主子式顺序主子式 A = 10 4 12;4 2 14;12

19、 14 1 ; C,M = shxu (A)答：此二次型不是正定的。 C = 10 4 -3588M = 1 1 0方法二方法二 特征值法特征值法T = -17.4209 10.1708 20.2501M = 0 1 1 A = 10 4 12;4 2 14;12 14 1 ; T , M = tezh (A)答：此二次型不是正定的。 定理定理 3： 实二次型AXXxxxfn ),(21为负定的充分必要条件是矩阵A的偶数阶顺序主子式都大于零，而奇数阶顺序主子式都小于零。 定理定理 4：实对称矩阵A负定的充分必要条件是A的特征值都小于零。 function C,M =shxuf(A)% C为为A的各阶顺序主子式组成的向量的各阶顺序主子式组成的向量% M为判定向量为判定向量: if C(i)0, then M(i)=1; if C(i)0 m=1; elseif D0 m=-1； else m=0; end M=M,m; end function T , M = tezhf (A) n