华师大八年级数学暑假专题辅导 函数解题中的数学思想应用

1、. 暑假专题函数解题中的数学思想应用重点、难点 数学思想的应用【典型例题】一. 方程思想的应用 例1. 点Px，x+y与点Qy+5，x-7关于x轴对称，那么点Q坐标为_。 分析：P点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标相反 构造方程组 解得： Q点坐标为4，-3 例2. 一次函数的图像经过第一、二、三象限，求m的值。 分析：一次函数条件：x的次数为1 即： 得： 解得： 而当 此时图像经过一、三、四象限 不符合题意，舍去 故m=3 例3. ：在ABC中，P为AB上一动点P不与A、B重合，过点P作PE/BC交AC于E，连结BE，设AP=x，BPE的面积为y，求y与x之间的函数关系，并求自变量x的取

2、值范围。 分析： 知道PE的长、EC的长是关键，而PE、EC与三角形相似有关。 所以此题借助比例式找出PE、EC与x之间的等量关系。 即：用含x的式子表示PE、EC，进而得到函数关系式。 解： 二. 数形结合思想的应用 例1. 一次函数的图像经过第_象限。 分析：充当中的k，此时大于0 充当中的b，此时小于0 那么根据直线，当的图象示意图：可知图像经过一、三、四象限。 例2. 反比例函数是反比例函数图象上的三个点，假设，试判断的大小关系。 分析：反比例函数的图像位于二、四象限 只需将在图像上找到相对应的点，那么可确定相应的函数值。从而根据位置判断大小。 y轴上，越往上数越大，所以。 例3. 如

3、下图，一次函数的图像过第一、三、四象限，且与双曲线的图像交于A、B两点，与y轴交于C，是终边上的一点，假设，原点O到A点的间隔 为 1求A点坐标； 2求反比例函数的解析式； 3假设，求一次函数的解析式。 分析：此题关键是在平面直角坐标系中借助及，在Rt中求A点坐标。从而进一步借助到y轴间隔 等于，求出b，确定一次函数的解析式。 解：1设点A坐标为a，b，且 过A作轴交x轴于M 那么 在 所以点A坐标为5，1 2此反比例函数解析式为 3，且OC=|b|，C在x轴下方 一次函数解析式为： 又直线过点 一次函数解析式为三. 分类讨论思想的应用 例1. 点N在x轴下方，且到x轴间隔 为2，到y轴间隔

4、为，那么点N的坐标为_。 分析：设点N坐标为x，y 由题意得： 那么 又点N在x轴下方，y0 例2. 直线与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积为9，那么直线解析式为_。 分析：设直线与x轴交点为A，与y轴交点为B 那么 直线解析式为 例3. 点A为平面直角坐标系内第四象限夹角平分线上一点，且OA=5，试在坐标轴上找一点C，使得AOC为等腰三角形，并写出C点坐标。 分析：首先应分别在x轴和y轴上找点C 其次，AOC应分类找：1OA为腰；2OA为底当C点在x轴上时 当C点在y轴上时 四. 转化思想的应用 例1. 一次函数的图像经过二、三、四象限，求k的取值范围。 分析：直线经过二、三、四象限

5、那么 得： 所以 例2. 待定系数解题转化为方程组 如：与成正比例，其中m，n是常数，当时，；当时，求y与x的函数关系。 分析：设 当时，得： 当时，得： 解方程组 解得： 所求函数关系式为： 例3. 如下图，直线与y轴交于点A0，3与x轴交于点B，正方形OPQR的两边在坐标轴上，Q在直线AB上，OP：PB=1：2，求直线的解析式。 分析：求直线AB解析式，需要知道A、B坐标。而A点0，3，那么OA=3，求B点即可，即求OB长，此问题转化为几何问题。 又知PQRO为正方形，设正方形边长为x，那么 B点坐标为6，0 直线解析式为五. 几何解题思想的综合应用 例：反比例函数和一次函数，其中一次函数

6、的图象经过a，b，a+1，b+k两点。 1求反比例函数的解析式； 2如下图，点A是上述两个函数的图象在第一象限的交点，求点A的坐标； 3利用2的结果，答复：在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？假设存在，把符合条件的P点坐标都求出来；假设不存在，请说明理由。 分析：1由一次函数的图象经过两点a，b，a+1，b+k，代入消去a，b，可得k=2，进而可确定反比例函数的关系式。 2将联立成方程组，易求出点A的坐标； 3应根据OA为腰和底进展分类，结合2探求出点P的存在性。 解：1依题意可得： 两式相减，得 所以反比例函数的解析式为 2由，得， 经检验都是原方程组的解。 因为A点在第一象限，所以

7、A点坐标为1，1 3，OA与x轴所夹锐角为45 如图下所示，当OA为腰时，由OA=OP，得 由，得 当OA为底时，得 所以这样的点有4个，分别是、【模拟试题】答题时间：30分钟 1. 反比例函数的图象上两点，当时，有，那么m的取值范围是_。 2. 反比例函数的图象在第一、三象限，那么一次函数的图象不经过第_象限。 3. 直线与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，那么m的取值范围是_。 4. 三角形三边长为3cm，5cm，xcm，那么三角形的周长为与的函数关系式是_，自变量x的取值范围是_。 5. 当m取何值时，函数是x的一次函数？它是否是正比例函数？ 6. 一次函数的图象经过第一、三、

8、四象限，求m的取值范围。 7. 直线和直线的交点在第_象限。 8. 两个一次函数的图象交于y轴上一点A，分别交x轴于点B、C，如下图，假设|OB|：|OA|：|OC|=1：2：3，且ABC的面积是16，求两函数的解析式。 9. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，且m为整数，那么过点A的反比例函数的解析式为_。 10. 假如一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为10，那么此一次函数为_。 11. 点A是正比例函数和反比例函数在第一象限的交点 1求点A的坐标； 2假如直线经过点A且与x轴交于点C，求b及点C的坐标。 12. 如下图，在第四象限内的矩形OABC，两边在坐标轴上，一个顶点在一次

9、函数的图象上，当点A从左向右挪动时，矩形的周长与面积也随之发生变化，设线段OA长m，矩形的周长为，面积为s。 1试分别写出与m的函数关系； 2能否求出当m取何值时，矩形的周长最大？为什么？ 3你能否估计矩形的面积是否有最大值，简单说一下你的想法？【试题答案】 1. 2. 三 3. 4. 5. 解：， 那么 ，它是一次函数也是正比例函数。 6. 解：， 7. 三 8. 解：设 直线AB解析式为，直线AC解析式为 9. 10. 11. 解：1，解得：不合题意，舍去 2经过点 那么 12. 解：1由题意得， 2周长的一次函数，且的增大而增大。是否有最大值，关键在于m的取值范围。与x轴交点为6，0，所以