数学选修求曲线方程

1、数学选修求曲线方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，说明：说明： （1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解曲线上的点的坐标都是这个方程的解” ，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（纯粹性）（纯粹性）.（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲

2、线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）（完备性）.定义：定义：一个二元方程一个二元方程 f (x，y) = 0的实数解建立了如下的关系：的实数解建立了如下的关系：那么这个方程叫做曲线的方程；那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线这条曲线叫做方程的曲线(图形图形).复习旧知：复习旧知：新课引入：新课引入： 我们已经建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。 利用这两个概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成是满足某种条件的点的轨迹或集合，用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程F(x,y)=0表示曲线。 在数学中，建立曲线方

3、程，然后用方程研究曲线的方法，叫做解析法解析法（或坐标法坐标法）。 平面解析几何主要研究的问题是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质；知识链接 轨迹和轨迹方程： 如果某条曲线C是由动点M运动产生的，我们就称曲线C是点M的轨迹，曲线C的方程称为M的轨迹方程。 注意：注意：“轨迹”、“方程”要区分：求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型。 解法一：由已知得解法一：由已知得例例1 设设A、B两点的坐标是两点的坐标是(-1, -1)、(3 ,7)，求线段，求线段AB的垂直平的垂直平分线的方程分线的方程.M线

4、段的中点坐标为线段的中点坐标为 M(1，3)，又又ABk3171 线段线段AB的垂直平分线的斜率的垂直平分线的斜率21k1213xy.072yx 线段线段AB的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为即即说明：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决说明：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决 可是，你们是否想过可是，你们是否想过 x + 2y -7= 0 恰好就是所求的方程吗恰好就是所求的方程吗？2例例1 设设A、B两点的坐标是两点的坐标是(-1,-1)、(3,7)，求线段，求线段AB的垂直平的垂直平分线的方程分线的方程.解：设解：设M(x,y)是线段是线段AB的垂直平分线上的垂直平分线

5、上任意一点，也就是点任意一点，也就是点M属于集合属于集合 P=M|MA|=|MB|.由两点的距离公式，点由两点的距离公式，点M所适合的条件可表示所适合的条件可表示为为2222)7() 3() 1() 1(yxyx2222)7() 3() 1() 1(yxyx.072 yx即.M方程x+2y-7=0是线段AB的垂直平分线的方程.下面证明：求解过程说明垂直平分线上每一点的坐标都是方程求解过程说明垂直平分线上每一点的坐标都是方程 x +2y -7=0的解的解 .设点设点M1 的坐标的坐标(x1，y1)是方程是方程x+2y-7=0的解的解 ，即 x1+2y1-7=0 x1= 7-2y1 . 点M1到A

6、、B的距离分别是21211) 1() 1(|yxAM2121) 1()28 (yy)136( 5121yy21211)7() 3(|yxBM2121)7()24(yy)136( 5121yy|11BMAM即点M1在线段AB的垂直平分线上.综上两个方面， 方程x+2y-7=0是线段AB的垂直平分线的方程.M 这样我们就有两种求解方程的方法，解法一借助这样我们就有两种求解方程的方法，解法一借助直线方程的理论直线方程的理论.解法二不借助直线方程的理论，非常解法二不借助直线方程的理论，非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想因此是个好方法因此是个好方

7、法求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用）建立适当的坐标系，用 (x，y) 表示曲线上任意一点表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标； （建系并设点）（建系并设点）（2）写出动点满足的关系式）写出动点满足的关系式(动点的集合动点的集合); （列式）（列式）（3）用坐标）用坐标x,y表示关系式，即列出方程表示关系式，即列出方程 f(x,y)=0; （代换）（代换） （4）化简方程）化简方程 f(x,y)= 0; （化简）（化简）（5 5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. .（证明）（证明）说明：说明： 一

8、般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可予以说明可以省略不写，如有特殊情况，可予以说明.根据情况，根据情况，也可以省略步骤（也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程），直接列出曲线方程 .例例2 已知一条曲线在已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点轴的上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到的距离减去它到x轴的距离的差都是轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程，求这条曲线的方程.MAB解：设点解：设点M(x,y)是曲线上任意一点，是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是轴，垂足是B，则，则 |MA|-|M

9、B|= 2由距离公式，点由距离公式，点M适合的条件适合的条件可表示为可表示为 2)2(22yyx化简化简 222)2()2(yyx281xy 因为曲线在因为曲线在x轴的上方，轴的上方，y0，虽然原点，虽然原点O的坐标的坐标(0,0)是这个方程的是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是 它它的图象是关于的图象是关于y轴对称的抛物线，但缺一个顶点轴对称的抛物线，但缺一个顶点.)0(812xxy。即即)0( x为所求的曲线的方程为所求的曲线的方程 .1. 若条件中只出现一个定点若条件中只出现一个定点 , 常以定点为原点建立直角坐标系常以定点为原点建

10、立直角坐标系 ;2. 若若已已知两定点知两定点 , 常以两定点的中点为原点常以两定点的中点为原点 , 两定点所在的直线两定点所在的直线为为 x 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系 ；3. 若若已已知两条互相垂直的直线知两条互相垂直的直线 , 则以它们为坐标轴建立直角坐标系则以它们为坐标轴建立直角坐标系； 4. 若已知一定点和一定直线若已知一定点和一定直线 , 常以点到直线的垂线段的中点为原点常以点到直线的垂线段的中点为原点 , 以点到直线的垂线的反向延长线为以点到直线的垂线的反向延长线为 x 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系 ;5. 若已知定角若已知定角 , 常以定角的顶点为原点常以定角的顶点为

11、原点 , 定角的角分线为定角的角分线为 x 轴建轴建立直角坐标系立直角坐标系 .由于坐标系的建立不同由于坐标系的建立不同 , 同一曲线在不同坐标系中的方程也不相同一曲线在不同坐标系中的方程也不相同同 , 但它们始终表示同一曲线但它们始终表示同一曲线 .建立坐标系的一般规律：建立坐标系的一般规律：练习练习1：.2的轨迹方程，求点满足动点，长度为线段已知MMBMAMABAB.M解：解：以线段AB所在直线为 x 轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系，设 M(x，y)，则则 A（-1，0），B（1，0）MBMA 由0MBMA有0)0 ,1 ()0 ,1(yxyx即) 1(x122yx122 yxM 轨迹方程是点MBMAyxxyx对应的点满足的解方程),() 1(