项式定理中的特殊项问题

1、二项式定理中的特殊项问题导学案学习目标：1 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式；2 学会利用“赋值”的方法解决有关问题。学习重点：二项式系数性质的应用；学习难点：二项式系数性质的应用。学习过程：学习提纲：(ab)nC 0na nC1n an 1 bC rn an r b rC nn b n ，是二项式展开式定理，主要研究了以下几个方面的问题：（1）展开式；（ 2）通项公式；（ 3）二项式系数及其有关性质。1求 (1x) 3 (2 x 21)5 的展开式中x2 项的系数。变式 1： ( xa )9 的展开式中 x3 的系数是 84，求 a 的值。x2 求二项式 ( x312 )5 的展开

2、式中的常数项。x3 求 (3x2 3 x )11 的展开式中的有理项。4 已知 ( x2 n(n N ) 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1 。x2 )（1）求展开式中各项系数的和；3（ 2） 求展开式中含 x2 的项；（ 3） 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。5 若 (xa)8a0a1xa2 x2ggg a8 x8 ，且 a556 ，求 a0a1a2ggg a8 的值。当堂检测：1（ 2011陕西高考）(4 x2 x )6 ( xR) 的展开式中的常数项是（）A. 20B.15C.15D.202若 ( x1)4a0a xa x2a x3ax4 ，则a0a2 a4的

3、值为。12343若 x(0，)，则(12x)15 的二项展开式中系数最大的项为。4已知 (1 x)n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则 (1x)n 的展开式中系数最小的项是。5若 (3 x1)n 的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项。x作业：课本P40A组 19题； B 组 15 题附加题：若 (x1) n 展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最大项24x补充作业：1若 (3x - 1) 7 = a7 x 7 + a6 x 6 + . + a1x + a0 ，求（1） a1a2a3ggg a7 ；（ 2） a1 + a3 + a5 + a7 ；（

4、3） | a0 | | a1 | | a2 | | a3 | L| a7 |2在 ( x23x2) 5 的展开式中 x 的系数为（）A 160B240C 360D8003已知2i n32(xx) 的展开 式中第三项与第五项的系数之比为14 ，其中 i1，则展开式中系数为实数且最大的项为（）A 第3项B第 4项C第 5项D第 5项或第 6项4设()(1x)m(1x)nm nx一次项的系数和为mf x（ 、 N*），若其开展式中关于11，问、n 为何值时，含x 项的系数取最小值？并求这个最小值5若 (1 2x) 7a0a1 x a2x a2 x2L a7 x7 则 |a0 | | a1 | | a

5、2 | | a3 | L|a7 |6若 n 为偶数，则1 + 3Cn1Cn23Cn3L3Cnn 1Cnn 的值等于7若 (1 2x) 2006a0a1 xa2 x2La2006 x 2006 （ xR），则 (a0 a1 )( a0a2 )( a0a3 ) + + (a0a2006 ) =；(a0 + a 2 + a4 + . + a2006 ) 2 - (a 1 + a3+ a5 + . + a2005 ) 2 =。8若 (1 2 x)100a0a1 (x1) a2 ( x1)2La100 ( x2)100 ， 求 a1 a3 a5L a99 的值9求证： C1n+2C n2 + 3C 3n

6、 + . + nC nn= n ?2n-110求证： C n0C1nC n2Cnn2n 11123n 1n111已知 ( a b) n 展开式中只有第5 项的二项式系数最大，则n 等于() A11B10C9D81 n12x x的展开式中第 8项是常数，则展开式中系数最大的项是() A第 8项B第 9项C 第 8项或第 9项D 第 11项或第 12项13设 (3 x) n 0 1 22anxn ，若n4，则0 a1 a2 ( 1) nn a a xa xaa() A256B136C 120D 1614在二项式 (1 2x) 6 的展开式中，所有项的系数之和为_15如图是一个类似杨辉三角的递推式，

7、则第n 行的首尾两个数均为 _23 (1 x)n a012216设 (1 x) (1 x) (1 x) a x a x anxn，当 a0 a1 a2 an 254 时，求 n 的值17若 ( x 3y) n 展开式的系数和等于(7 a b) 10展开式中的二项式系数之和，则n 的值为 () A5B 8C10 D 1518(2012 济宁高二检测 ) 如果 3x1n132的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 x3x的系数是() A7B 7C 21D2119在 ( ab) 10 的二项展开式中，系数最小项是_20若(1 2 )2 012aa xa x2ax2 012xR) ，则(aa) (

8、aa) (aa) (x00122 01201023 ( a0 a2 012 ) _( 用数字作答 )21已知 (1 2x 3x2) 7 a0 a1x a2x2 a13x13 a14x14，求 (1) a1 a2 a14；(2) a1 a3a5 a13.22 ( 创新拓展 ) 对于二项式 (1 x) 10.(1) 求展开式的中间项是第几项？写出这一项；(2) 求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；(3) 写出展开式中系数最大的项23（ 2013全国新课标卷9题）设 m 为正整数， ( x y) 2m 展开式的二项式系数的最大值为 a ， ( xy)2 m 1 展开式的二项式系数的最大值为b 。

9、若 13a7b ，则 m（）A.5B.6C.7D.824（ 2013全国新课标卷5 题）已知(1ax)(1x)5x25的展开式中（）的系数为 ，则 aA. 4B.3C.2D.125（ 2013全国大纲卷 7题） (1x)8 (1 y)4的展开式中 x2 y2 的系数是（）A.56B.84C.112D.16826（ 2013四川卷 11 题）二项式 ( xy)5 的展开式中，含 x2 y3 的项的系数是（用数字作答）27 （ 2013安徽卷 11题 ） 若 (x3a )8 的 展 开 式 中 x4的系数为7 ， 则 实 数 ax28（ 2013 辽宁卷7题）使(3x1)n (nN ) 的展开式中

10、含有常数项的最小的n 为xx29（ 2013 浙江卷11题）设二项式 (x1) 5 的展开式中常数项为A，则 A3 x30（ 2013 江西卷5 题） ( x223 )5 展开式中的常数项为x31（ 2013 天津卷10题） (x1 )6 的二项展开式中的常数项为x07 学案参考答案1解法一：在(1x)3 中 x2 项的系数为 C32 ( 1) 23 ，常数项为1在 (2x21)5 中 x2 项的系数为 C 24 210 ，常数项为1故在 (1x)3 (2 x21)5 的展开式中x2 项的系数为 31 10 113 。解法二：(1x)3 ( 2x21) 5(1x)(1x)(1x)( 2x21)

11、( 2x21)共 5 个由于积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的积，故展开式中x2 项的系数为 C23( 1)2 16 C15 2 17 13变式 1： 解： Q Tk 1C9k x9 k x k ( a)k( a)k C9k x9 2k ，令 9 2k 3k 3 ， x3 的系数为a3C9384 ，a31,a 12 解 ： Q Tr 1C5r ( 1)r x15 5 r， 令 15 5r 0r3 ，故展开式中的常数项为C53 ( 1)3103解：因为二项展开式中共有12项，其通项公式33rTk 1 C11r (3 x )11r ( 23 x )rC11rg311 r g(2) r

12、 gx 6， r01，2， ，11 其中只有当 r 3 或r 9 时，才是有理项。331792 x 114解：（ 1）1；（ 2）展开式中含 x2的项为 T216x 2 ；（ 3）系数最大的项为T7，二项式系数最大的项为T51120 x 65 28当堂检测：12 83第 11项 43T15215x1C10x 5243x ， T3270x ， T5附加题：解由已知条件得02111 ，所以 n= 8记第 k 项的系数为t k，设第 kCnCn 22 2Cn 2项系数最大，则有 tktk1 且 tktk1 所以C8k 1 2 k 1C8k 2 k，C8k 1 2 k 1C8k 2 2 k 28!28

13、!,(k1)! (92k9 k,所以k)!k! (8k)!的所以所以3k 4，所以系数8!8!10k2(k2,1),(k1)! (9k)!(k2)!(10 k)!57最大的项分别为第3 项和第 4 项，分别是 T47 x2 ,T47 x4补充作业： 2 B3C4解解 : Cm1Cn1m n11,2212m2m2n2111102mnn211n55(n11 299所以 CmCn2(mn )22)24因为 n N*，所以 n = 5或 6， m= 6或 5 时，含 x2 项 的系数最小，最小值为255 21876 2n 1 7 2006 8 解：已知等式令 x = 2得 (14)100a0a1a2L

14、a100 ，令 x = 0得1 a0 a1 a2a3La100 ，两式直减得 51001 2( a1a3La99 ) 所以 a1a1a5La9951002 210证明：左边k1Cnkk1n!1(n1)!n1C nk1111k! (n k )!n 1 (k1)! ( nk)!1C n0C1nC n2C nn112n 11n 11)右23n1n(C n 1C n 1C n 1 )n(2111边故原式得证。11解析只有第 5 项的二项式系数最大，n 15. n 8.2答案D12解析x1 n展开式中的第8 项为7n 71 7n 21xCn(x)x为常数，即0，2 n 21. 展开式中系数最大的项为第1

15、1 项或第12 项答案D13解析在展开式中令x1 得a0 1a23444. 故选 A.aaa答案A14解析令 x1，得 (1 2x) 6 展开式中所有项的系数和为(1 2) 61.答案115解析由 1， 3， 5， 7， 9，可知它们成等差数列，所以 an2n 1.答案2n 116解令x 1，得0 1 2a23 2n2（ 2n 1）n，2 2 2254，2 128a a an2 1即 n 7.17解析(7 a b) 10 展开式的二项式系数之和为210，令 x 1， y1，则由题意知，4n 210，解得 n 5.答案A18解析令 x 1，则 (3 1) n 128 2n， n 73x17即求展

16、开式中通项3x2Trx)7r2 r(1)rr7 rC(3 ( x ) C3 x7r 17375r( 1)r5r6 3. 令 7 3 3，得 r 6，即系数为C 321.7答案C19解析在 ( a b) 10 的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第6 项的二项式系数最大，所以系数最小的项为55555T6 C10 a( b)252a b .答案 252a5b520解析在 (1 2x)2 01222 012中，令 x 0，则 a 1， a a x a x ax0122 0120令 x1，则 a0 a1a2 a3 a2 012 ( 1) 2 012 1，故 ( a0 a1) ( a0 a2) ( a0 a3) ( a0 a2 012 ) 2 011 a0 a0 a1 a2a3 a2 012 2 012.答案2 01221解(1) 令 x 1 得 a0 a1 a2 a14 27.令 x0 得 a0 1， a12147 1. a a 2(2)由 (1) 得 a0 a1 a2 a1427 ，令 x 1 得 a a a a a 6 ，01213147由得：2( a1 a3 a5 a13) 27 67，13 513