拉普拉斯方程在简单静电场问题中的应用 - 中山大学精品课程

1、拉普拉斯方程在简单静电场问题中的应用张斯特物理科学与工程技术学院光信息专业 指导教师: 方奕忠摘要：Laplace方程在简单静电场问题中的应用一文主要阐述了Laplace方程这一经典方程在求解经电场问题中的使用方法。首先简单介绍了Laplace使用方程的原理和适用的范畴，接下来给出较为常用的坐标系内Laplace方程的解的形式，最后介绍典型的应用举例，这也是本文较为重点的部分，分别从几个例子中由简单到复杂的介绍了Laplace方程在求解过程中的使用方法、边值关系的确定以及求得解所反映的部分物理意义。关键词：Laplace方程 球对称解 轴对称解 边值关系 物理意义一、Laplace方程的使用原

2、理和适用范围众所周知，电磁场的一般特性都是可以由maxwell方程反映出来，如下所示：D=f×E=BtB=0×H=Jf+Dt (1)而在本文所要讲述的静电场问题之中，我们紧紧需要方程组（1）之中的前两式即可。对于静止的情况而言，电场和磁场无关，此时有Bt=0所以上述用来描述电场特性的方程可以写成：D= (2)×E=0 (3)其中，（2）式中的代表的含义是空间中自由电荷的分布，为了表示方便省去了下标。而从式（3）看来，静电场是一个无旋场，所以其特性可以引入一个标势来表示，这类似于在保守力场中引入的势函数。类似重力场中的势能函数一样，单独一点上的电势的绝对大小是没有意

3、义的，只有两点之间的电势差才是有意义的。在电场中电势差的定义方法是：把单位正电荷由一点移动到另一点电厂对其所做的功。当电场做正功时电势下降（具体的定义方式可以参考电动力学第二章，高等教育出版社）。进而可以得出电场和电势之间的关系：E=- (4)这样一来，只要知道了用来描述电场的势函数即可通过它求解出该电场的E分布（不过反过来，当空间电场分布E确定之后，与之对应的势函数却可能不只一个；这是由于电势铃点选取不同造成的，这一点不同只是反映在不同的电势1和2之间可能会相差一个常数uc，但是这并不影响它所描述的电场E的性质）。对于均匀的各项同性介质，D、E之间有如下关系：D=E (5)现在只需要结合式（

4、2）、（4）和式（5）就可以得出如下方程：2=- (6)式（6）是静电场电势满足的基本微分方程，成为Poisson方程。当给出必要的边界条件之后，相应的电势即可确定，当然可以进而得出电场E的空间分布，该静电场的一切特性都可随之解出。而对于更加特殊的情况，即需要求解的区域内部没有电荷分布，即=0的时候，Poisson方程化为更简单的形式：2=0 (7)这就是本文主要阐述的Laplace方程的形式。这虽然是一种特殊的Poisson方程，但是可以适用的范围还是有很多的，比如说在很多情况下，导体上面所代电荷只是分布在其表面，此时就可以选择导体的内部作为求解区域，这是一种完全满足Laplace方程形式的

5、情况。处此之外，还可以对一些空间电荷分布较为简单的情况进行求解。因为对于方程（6）而言，它的解实际上可以写成两部分之和，即：=s+n (8)其中，n对应laplace方程2=0的通解；s对应Poisson方程2=-的特解。而当电荷分布较为简单，比如仅是在一个介质球的中心放置一个点电荷时，这一个特解的形式是很容易根据物理特性写出来的。所以在一定的应用范围之内Laplace方程对于求解静电场问题还是有一定作用的。二、 Laplace方程的一般形式及其一般解如上文所述，Laplace方程的形式如式（7）所示。对于不同的坐标系，Laplace方程的解也会有所不同，但是都可以通过分离变量的方式求出来。在

6、此直接给出Laplace方程在较为常用的球坐标系(R，)中的通解形式（具体的求解过程可以参考）：R，=n,manmRn+bnmRn+1Pnmcoscosm +n,mcnmRn+dnmRn+1Pnmcossinm (9)上式中，anm，bnm，cnm和dnm是任意常数，将在具体问题的求解中确定。Pnmcos是缔合Legendre函数。对于式（9）所示的Laplace方程一般解，如果所选问题具有轴对称性，我们不妨选取球坐标系的极轴为对称轴，则此时的解应该和方位角是无关的，解的形式得到简化，如下所示：R，=nanRn+bnRn+1Pncos (10)其中，an，bn为任意常数，视具体问题而定。Pnc

7、os是Legendre函数。进一步考虑更为特殊的球对称情况，此时Laplace方程的解将是仅仅与R有关的函数，其形式如下：R=a+bR (11)其中a和b是任意常数，视具体问题而定。 以上已经给出了三种情况下，在球坐标系中Laplace方程的解，接下来需要做的就是对应实际问题找到恰当的方程的解的形式来标示相应的电势，并利用边界条件确定之。下面将举例说明。三、 Laplace方程的应用举例本文的重点在于应用举例，即在于习题的解法说明。故本文中的数学过程可能并不够严密，很多时候的做法可能会从实际的物理意义出发，先在此说明。先从最为简单的情况入手，考虑如下情况：A. 均匀介质球的中心置一点电荷Qf，

8、球的电容率为，球外为真空，如何求解空间电势分布呢？Qf首先想象一下上述问题的物理图象，因为介质球本身为球对称空间，而置入的电荷又处于介质球的中心，所以可以推断全空间之内的电势分布也是球对称的，直接选曲介质球的球心作为坐标空间的原点即可。电势函数满足Poisson方程：2=-图1这是对于整个空间之内而言，如果我们把整个空间划分为球内部和外部两个部分呢？不妨设球外空间的电势函数为1，球内部分的电势函数设为2。这样一来，对于1而言，所对应的区域之内并没有自由电荷的分布，所以1实际上是满足Laplace方程的，即：22=0对于完全的球对称情形而言，其合适的解可以写成：2=a+bRR>R0 (A-

9、1)其中R0表示介质球的半径，a和b是任意常数。而对于球内的部分，由于包含了自由电荷，所以其形式并不能化为较为简单的Laplace方程。但是却可以很容易的找到一个满足式21=-的特解，这个解就是单一点电荷在其周围激发电场的势函数：1s=Qf4RR<R0 (A-2)而满足它的通解就是满足方程21=0的通解，即：1n=c+dRR<R0 (A-3)所以球内部的电势可以写成如下形式：1=1s+1n=Qf4R+c+dRR<R0 (A-4)其中的c和d是任意常数，将在下面的计算中确定。首先可以从上面表示电势的函数（A-1）和（A-4）表达式本身的含义出发。2=a+bR表示的是球外部空间的

10、电势，现在考虑无穷远的情况。一般情况下在实际问题中常常会令无穷远处的电势值定为零，以方便解题，按照这样的规定即可得到：2R=a=0则式（A-1）现在可以表示为：2=bRR>R0 (A-5)对于1=1s+1n，它有两部分组成。1s所表示的是置于中心的点电荷电势，1n表示的是介质球面上产生的极化电荷的电势。现在考虑球心一点的电势。由于点电荷的存在，球心处的电势应为无穷大。但是对于位于介质球上的感应电荷在此处产生的电势1n而言，必为以有限值，这要求：1nR=0=c+dR=有限值这样便有d=0的结论，于是式（A-4）可以写成：1=Qf4R+cR<R0 (A-6)现在在表示空间电势的两个式子

11、中仅仅包含两个尚未确定的常数b和c。接下来利用电势的边值关系确定之：1R=R0=2R=R0 (A-7)-02RR=R0-1RR=R0=0 (A-8)其中式（A-8）的值为零是因为在两种绝缘介质的交接面上是没有自由电荷分布的。接下来就可以把式（A-5）和（A-6）分别代入到上面的边界条件表达式之中。可以得到：Qf4R0+c=bR00bR02=Qf4R02由以上二式联立即可解出：b=Qf40c=-0Qf40R0再将其代回至式（A-5）和（A-6），即可得到空间内的电势分布：1=Qf4R+-0Qf40R0R<R0 (A-9)2=Qf40RR>R0 (A-10)既然已经得出空间中的电势分布

12、，电场分布则可以通过E=-来求解（对于完全的球对称问题，算符的作用可以化简为=ReR）:E1=Qf4R3RR<R0 (A-11)E2=Qf40R3RR>R0 (A-12)观察上述的结果，可以看出当在介质中置入点电荷之后，介质内会出现相应的极化电荷，但是这一部分的极化电荷仅仅会对介质球内部的电势分布产生影响；对介质球外的电势以及整个空间之内的电场分布都没有影响。再考虑一下空间中极化电荷的分布情况：既然电场分布E现在已知，则可以根据在均匀线性介质中的性质得到如下的关系：D=E=0E+P (12)于是可以得出电场强度矢量和极化强度矢量之间的关系，即：P=-0E (13)直接把式（A-11

13、）和（A-12）所示的电场强度函数带入到式（13）中即可得到计划强度。在此先不必带入，因为最终感兴趣的是介质球内的极化电荷分布。所以由极化电荷体密度与极化强度矢量之间的关系p=-P就可以得到相应部分的计划电荷体密度。对于球内部分：P1=Qf-04R3R=Qf-04R2eR (A-13)而算符在完全的球对称问题当中的作用即为：f=1R2R(R2fR)则球内的极化电荷体密度：p=-P1=-1R2RR2Qf-04R2=0注意到，上述计算均是在0<R<R0的条件之下得出的，这意味着在球内除去球心和球面之外的部分是没有极化电荷分布的。如此看来极化电荷可能存在的区域是球心处以及球面上。现在再次

14、利用式（13）所示的关系，在等式的两边同时乘，即得：P=-0E=-0D在对上式两边同时求散度，有：P=-0D同时利用P=-p和D=f这两个关系，则上式可以化为：-p=-0f即：p=-1-0f (14)以上的推导过程并没有用到与本题目已经求出的结论相关的结论，即这是一个在均匀介质中普遍存在的规律，当然也是适用于本题目中球心这一点的。而现在球心处放置了单个的点电荷Qf，故在球心处应该产生一个相应的计划点电荷，其带电量为：Q'=-1-0Qf (A-14)再来考虑球面上的极化电荷体密度。这一点可基于绝缘介质的电中性来考虑。由于介质球是不带电的，但是可以肯定的是在球心处存在极化点电荷；而且在球心

15、与球面之间又是没有极化电荷的存在的，所以在球面上必然存在与球心极化电荷电量大小相同符号相反的计划电荷-Q'。而且由于球对称性的存在，这些极化电荷一定是均匀分布在球体表面的，所以球面上的极化电荷面密度为：p=-Q'S=1-0Qf4R02 (A-15)B. 现在将上述问题稍微复杂化一点，将置入介质球中心的单个点电荷改为单个的电偶极子Pf。解决方法是类似的，首先整体考虑以下该问题的电势分布：由于置入介质球中心的是一个电偶极子，可以想象此时的空间电势分布将不再具有完全的球对称性。不过若此时以电偶极矩矢量的方向作为球坐标系的极轴方向，则该问题还是具有轴对称性的，其对称轴就是坐标系的极轴。

16、整个空间的电势分布函数仍然满足Poisson方程，因此方程的通解部分仍然可以参照式（10）得出。接下来可以模仿上面一个例子的做法，将空间区域划分为介质球内部和外部两个部分。对于球外，即R>R0的情况下，此空间中依然没有电荷分布，因此这部分的电势分布函数可以写成：2=nanRn+bnRn+1PncosR>R0 (B-1)对于球内的部分，可以将Poisson方程的解分为特解和通解两部分的合成，方法与上例中的做法类似。不同点在于此时特解对应的电势分布函数应该是有居于球心的电偶极子产生的，可以表示为：1s=PfR4R3 (B-2)进而球内区域的电势分布函数可以表示为：1=PfR4R3+nc

17、nRn+dnRn+1PncosR<R0 (B-3)再根据无穷远处电势为零以及极化电荷在球心处产生的电势应为有限值这两个条件，可以得出（具体的论证过程可以参考上文）：an=0, dn=0则此后表示空间电势分布的函数式（B-1）和（B-3）可以写成如下形式：2=nbnRn+1PncosR>R0 (B-4)1=PfR4R3+ncnRnPncos =Pfcos4R2+ncnRnPncosR<R0 (B-5)接下来应用电势在R=R0处连续的特点可以得到如下的关系：2R=R0=2R=R0 即：nbnR0n+1Pncos=Pfcos4R02+ncnR0nPncos (B-6)并且应用在介质

18、的交界面上的另一边值关系以及绝缘介质表面无自由电荷的特点，可以得到：-02RR=R0-1RR=R0=0 即：-0nn+1bnR0-n+2Pncos=-Pfcos2R03+nncnR0n-1Pncos (B-7)通过式（B-7）和（B-6）的比较即可得出相应的bn与cn的数值。现在以此题为例说明比较的方法。先观察式（B-6）本身，发现等式的右边第一项包含cos，即P1cos项；式（B-7）也是如此，便可以得到n=1时的关系：b1R02-c1R0=Pf4R0220b1R03+c1=Pf2R03 (B-8)由此可以解出：b1=3Pf4+20c1=-0Pf2R03+0 (B-9)同样的，可以通过比较得

19、出n=1时各系数的关系如下：c0=b0R0b0=0即：c0=b0=0而对于n=k(k2)的时候，亦可类似地得出ck=bk=0。至此，用以描述空间电势分布的函数可以写成：2=3Pfcos4+20R2 =PfR4+20R3R>R0 (B-10)1=Pfcos4R2+-0PfRcos2R03+0 =PfR4R3+-0PfR2R03+0R<R0 (B-11)既然已经得到空间电势分布函数，就可以通过E=-来求解空间电势。在这个轴对称的问题中，算符的作用可以表示为：=ReR+1Re利用以上关系即可得出空间内的电场分布情况：E2=-3Pfcos2(+20)R3eR-3Pfsin4+20R3e (

20、B-12)E1=cos(-0)Pf2R03(+0)-Pf2R3eR-sinPf4R2+-0PfR2R03+0e (B-13)一旦知晓了空间内的电场分布函数，其他关于该问题的性质都将可以一一求出。如上一例中所说的计划电荷密度等，都可以解出。C. 最后在上一例子的基础上稍作变化。现将上例中的介质球改为有一定厚度的导体球Pf壳，并且球壳带电量为Q，其他条件不变。画出一幅截面的示意图，如图2所示。图2R1R2与上面的做法类似，一样以Pf 的方向为极轴的方向建立球左表系，可见此问题一样是具有轴对称性的。设导体外壳之外的空间中的电势分布为2，而导体内壳以内空间的电势表示为1。类似的利用无穷远处以及球心处的

21、条件可以将上述函数表示为：2=nbnRn+1PncosR>R2 (C-1) 1=PfR40R3+ncnRnPncos =Pfcos40R2+ncnRnPncosR<R1 (C-2)接下来利用在两种介质交界面上电势值的连续性，同时注意到对于导体而言，上面每一点的电势值都是相等的，即导体是等势体。所以，导体球壳外表面和内表面上的电势也是一样的，即可得：2R=R2=1R=R1将（C-1）和（C-2）两个表达式代入可得：nbnR2n+1Pncos=Pfcos40R12+ncnR1nPncos (C-3)而对于另一个条件，整个导体球壳上带电总量是Q，应该如何利用？可以先初步的分析一下该问题下

22、的条件：因为球壳是导体，基于这个特点我们可以知道自由电荷Q一定是分布在导体表面，即只可能在R=R2或者R=R1两处有自由电荷分布，而对于R1<R<R2的这一区域内是不可能有自由电荷分布的。但是接下来如何确定自由电荷是仅仅分布在内（外）表面还是在内外表面上均有分布呢？i. 先从物理的角度作一下分析：如果导体球壳的内表面上带电，不妨使用高斯定理来考察空间的电场分布，对R=Rc, R1<Rc<R2这样的一个球面，它刚好处于球壳的内外表面之间，假设球壳的内表面上带电量为Qi，而球心处的电偶极子对于R=Rc球面之所包含的电荷总量是没有贡献的，故由高斯定律得到：EdS=Qi而导体之

23、内部是没有电场的，即在R1<R<R2之内处处有E=0。则上面等式的左边几分结果必然是零，这将导致等式的右边Qi=0，也就是说导体球壳的内表面是不带电的。这样的一种推算方法计算简单，但是需要对导体的性质比较熟悉才能做到。ii. 或者也可以先假设内外两个表面上均有自由电荷分布，然后直接利用上面已经做过的结果直接从数学上推算。此方法可能在计算上比较繁琐，但是原理很容易理解。既然只有表面上才有电荷分布，则可以先计算表面上的面电荷密度。下面以球壳外表面的自由电荷面密度为例求解。由上面的式（C-1）可以算得在球外空间的电场分布：E2=-2=nn+1bnRn+2Pn(cos)eR+1RnbnRn

24、+1Pncose (C-4)则电场沿着球面法向分量就是沿着坐标系的eR方向的分量：E2n=nn+1bnRn+2Pn(cos)又根据均匀介质中D=E这一关系即可得到：D2n=0nn+1bnRn+2Pncos (C-5)注意到导体内部的电场是零，自然可以得到导体内部的电位移矢量满足:D0n=0不妨作出如下规定：以下标0表示导体内部，下标2表示球壳外壳之外，下标1表示球壳内壳的内部。接下来就可以得到球壳外表面的自由电荷面密度：2=D2n-D0nR=R2=0nn+1bnR2n+2Pncos=-0R2 R=R2 (C-6)可见到体表面的面电荷密度可以直接由相应区域的电势分布函数的法向方向导数来表示。同理

25、可以得到球壳内表面的自由电荷面密度（注意此时内球壳表面的法向方向变为-eR方向）：1=0R1R=R1=-Pfcos2R13+0nncnR1n-1Pncos (C-7)现在球壳内外表面的面电荷密度已经表示出，观察式（C-6）和（C-7），可见面电荷密度也是呈现轴对称特性的，即与R, 有关。现在计算球壳所带的电荷总量，仅需要将电荷面密度对相应的面积积分，如下所示：Q=2R22sindd+1R12sindd (C-8)可见上述积分的计算的确是比较困难的，因此不妨在开始计算之前先观察一下，因为2和1的表达式中都是不含有的，所以上述积分实际上就是对的但积分而已，所以现在先观察以下含有的部分即可。Lege

26、ndre函数的表达式可以写成：Pncos=12nn!dnd(cos)ncos2-1n则有：P0cos=1P1cos=cosP2cos=123cos2-1P3cos=125cos3-3cos而且可以证明下面的积分结果：0sind=20cossind=00123cos2-1sind=00125cos3-3cossind=0所以积分式（C-8）就可以写成是：20b00sind=40b0=Q所以：b0=Q40而球壳内表面所带的电荷数表示为：1R12sindd=0此时也同样证明了球壳内表面不带自由电荷这一结论，而且利用球壳带电总量为Q这一条件求出了b0的值。不过此种方法需要做大量积分的计算和验证，耗时较多。可见无论是数学的推算还是从物理规律的来得结论都是一样的，现在已经确定导体所带的自由电荷完全分布在