单调性的判别法

1、一、单调性的判别法一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA第四节第四节 函数单调性的判定法函数单调性的判定法证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)

2、(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 例例1 讨论函数讨论函数y=x-sinx 的单调性。的单调性。解：解：y =1-cosx 0， y=x-sinx在在(- ，+)上单调增加上单调增加2468101224681012几何上看：单调区间的分界点几何上看：单调区间的分界点是使是使f (x)=0的点的点.注注: 区间内孤立点处导数为零或不存在区间内孤立点处导数为零或不存在 , 不影响函数在区

3、间上不影响函数在区间上的单调性的单调性.例例2 2解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,( )., 0 32xy 例例3 3解解.)11(,0的单调性的单调性函数函数时时讨论讨论xxyx )(11)11ln()11ln()11ln(xexxeyxxxx , 0,0)11ln( xxex时时其中其中, 0)1(1)(,11)11ln

4、()(2 xxxxxx又又0)(lim)(,)(,0 xxxxx单调减少单调减少时时.)11(, 0,0单调增加单调增加时时xxyyx 单调区间求法单调区间求法问题问题: :如例如例1，函数在定义区间上不是单调的，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点讨论函数的单调性可以按以下步骤进行：讨论函数的单调性可以按以下步骤进行：1

5、）确定函数）确定函数 f(x)的定义域；的定义域；2）求）求 f (x)，找出，找出 f (x)=0和和 f (x)不存在的点，不存在的点，以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；3）在各个区间上判别）在各个区间上判别 f (x)的符号，以此确定的符号，以此确定 f(x)的单调性。的单调性。例例4 4解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2 )1 ,()2 , 1(), 2(y xy 例例5 证明当证明当x0时，时，.6sin3xxx 证：令证：令6sin)(3xxxxF 21cos)(2xxxF 0)2(sin)2(222sin22222 xxxx F(x)在在(0,+)内单调上升，又内单调上升，又F(0)=0，F(x)在在x=0处连续，处连续，利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式:, 0)(即即 xF.6sin, 06sin33xxxxxx 例例6 6证证.)1ln(2/,02成成立立试试证证时时当当xxxxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可可